Đề thi Olympic toán tuổi thơ THCS cấp huyện - Đề 2 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic toán tuổi thơ THCS cấp huyện - Đề 2 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN OLYMPIC TỐN TUỔI THƠ THCS CẤP HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ THI CÁ NHÂN ĐỀ 2 Thời gian làm bài: 30 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 16 câu, được in trong 04 trang Các giám khảo Số phách Điểm bài thi (Họ tên, chữ ký) (Do chủ tịch HĐ ghi) Bằng số Bằng chữ Lưu ý: - Đề thi gồm 15 câu trắc nghiệm ghi đáp số (từ câu số 1 đến câu số 15, mỗi câu giải đúng được 05 điểm) và 01 câu tự luận (câu số 16, giải đúng được 25 điểm). - Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x42 2 x 2016. Đáp số: Câu 2. Điền số cịn thiếu vào hai dấu ? trong dãy số sau sao cho đúng quy luật: 10; 30; 32; 96; 98; 294; 296; ? ; ?. Đáp số: 1235.2469 1234 Câu 3. Tính N 1234.2469 1235 Đáp số: Câu 4. Điền vào dấu ? trong hình vẽ cuối sao cho hợp quy luật với hai hình đầu. 5 9 13 2 3 8 4 5 14 6 ? 20 11 19 27 Đáp số: Câu 5. Tìm cặp số nguyên dương (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4. Đáp số: Câu 6. Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 Đáp số: 1
2. Câu 7. Cho 0 abc , , 1 và a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2 Đáp số: 4x 2 16 A Câu 8. Tìm nghiệm của đa thức A biết x 0 và . x 2 2 x Đáp số: 1 1 1 1 Câu 9. Tìm x biết x x x x 5 x 1.5 5.9 9.13 13.17 Đáp số: DB 1 Câu 10. Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho , điểm O nằm DC 2 OA 3 AK trên đoạn AD sao cho . Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số . OD 2 KC Đáp số: Câu 11. Cho ABC có AC = 6 cm, AB = 4 cm. Kẻ các đường cao AH, BK, CI. Biết AH = CI + BK . Tính độ dài BC. 2 Đáp số: Câu 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 4 chữ số khác nhau, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 6 lần chữ số hàng chục và tổng các chữ số của nĩ là số chia hết cho 9. Đáp số: Câu 13. Tam giác đều ABC cĩ diện tích là 3 . Điểm M nằm tùy ý trong tam giác. Tính tổng khoảng cách từ điểm đến 3 cạnh của tam giác . Đáp số: Câu 14. Một đa giác đều cĩ tổng số đo tất cả các gĩc ngồi và một gĩc trong của đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác đều đĩ cĩ bao nhiêu cạnh. Đáp số: Câu 15. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 ax b chia cho x 1 thì dư 7, chia cho x 3 thì dư 5. Đáp số: Câu 16 (Tự luận). 2
3. 1 1 1 Cho a x ; b y ; c xy , ( x , y , z 0). Tính giá trị của biểu thức: x y xy Q a2 b 2 c 2 abc Lời giải: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hết UBND HUYỆN NHO QUAN OLYMPIC TỐN TUỔI THƠ THCS CẤP HUYỆN 3
4. PHỊNG GD&ĐT NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CÁ NHÂN Lưu ý: Từ câu số 1 đến câu số 15, mỗi câu giải đúng được 05 điểm. Câu 16 (tự luận) giải đúng được 25 điểm. Tổng tối đa là 100 điểm. Khơng cĩ đơn vị vẫn cho điểm tối đa. Cho điểm nguyên, khơng cho điểm lẻ. Câu Đáp số Câu Đáp số Câu Đáp số 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9 14 5 10 15 Câu 16 (Tự luận) Đáp án Điểm 11 a2 x 2 2 ; b 2 y 2 2 4đ xy22 1 1 1 xy xy ab ( x )( y ) ( xy ) ( ) = c () 6đ x y xy y x yx x y1 x y 1 1 abccc2( ) cxy 2 ( )( ) cxy 2 ( 2 2 ) 6đ y x xy y x x22 y = abc2 2 2 4 4đ a2 b 2 c 2 abc 4 3đ Vậy Q = 4 2đ Hết ĐÁP ÁN CHO TỪNG CÂU 4
5. Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x42 x 2016 . Đáp số 2016 Câu 2. Điền số cịn thiếu vào hai dấu ? trong dãy số sau sao cho đúng quy luật: 10; 30; 32; 96; 98; 294; 296; ? ; ?. Đáp số 888; 890 1235.2469 1234 Câu 3. Tính N 1234.2469 1235 (x 1).(2 x 1) x 2 x22 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 Đặt x = 1234 ta cĩ: N = 1 x(2 x 1) ( x 1) 2 x22 x x 1 2 x 2 x 1 Câu 4. Điền vào dấu ? trong hình vẽ cuối sao cho hợp quy luật với hai hình đầu. 5 9 13 2 3 8 4 5 14 6 ? 20 11 19 27 Số cần điền là 7. Câu 5. Tìm các cặp số nguyên dương (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4. Ta cĩ x 1 y x22 4 x 1 y x 1 5 x 1 y x 1 5 (*) Vì x, y N * nên từ (*) suy ra x 1 Ư(5) và x 1 2 x 1 5 x 4 y 4 Câu 6. Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 Từ a2 + b2 = 20 (a + b)2 – 2ab = 20 ab = -8 M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 23 – 3.(-8).2 = 56 Câu 7. Cho 0 abc , , 1 và a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2 Suy luận để cĩ a( a – 1) 0 a2 a tương tự b2 b; c2 c suy ra được a2 + b2 + c2 a + b + c = 2 Tìm được GTLN của P bằng 2 khi và chỉ khi a = b = 1; c = 0 hoặc b = c = 1; a = 0 hoặc a = c = 1; b = 0 4x 2 16 A Câu 8. Tìm nghiệm của đa thức A biết x 0 và . x 2 2 x x(4 x2 16 x [(2 x ) 2 4 2 x (2 x 4)(2 x 4) x .2( x 2).2( x 2) A 4( x 2) 4 x 8 x22 2 x x 2 x x ( x 2) x ( x 2) x 2 1 1 1 1 Câu 9. Tìm x biết x x x x 5 x 1.5 5.9 9.13 13.17 suy luận để cĩ x 0 => Mỗi biểu thức trong dấu gttđ luơn dương Ta cĩ pt: 5
6. 1 1 1 1 x x x 5 x 1.5 5.9 9.13 13.17 44 Thu gọn dược pt: 45x x x 17 17 DB 1 Câu 10. Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho , điểm O nằm DC 2 OA 3 AK trên đoạn AD sao cho . Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số . OD 2 KC Từ D kẻ DM // BK, áp dụng định lí Ta - lét vào AOK A AK AO 3 ta cĩ: (1) K KM OD 2 M KM CD 1 O Tương tự, trong CKB thì: (2) CK DB 3 AK 1 B D C Nhân (1) với (2) vế theo vế ta cĩ: CK 2 Câu 11. Cho ABC có AC = 6 cm, AB = 4 cm. Kẻ các đường cao AH, BK, CI. Biết AH = CI + BK . Tính độ dài BC. 2 2S 2S Ta có: BK = ABC ; CI = ABC AC AB 11 BK + CI = 2. SABC AC AB 1 2AH = 2. . BC. AH . BC. = 2 2 11 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm. 64 Câu 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 4 chữ số khác nhau, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 6 lần chữ số hàng chục và tổng các chữ số của nĩ là số chia hết cho 9. Đáp số 2016 Câu 13. Tam giác đều ABC cĩ diện tích là 3 . Điểm M nằm tùy ý trong tam giác. Tính tổng khoảng cách từ điểm đến 3 cạnh của tam giác . Đáp số 3 Câu 14. Một đa giác đều cĩ tổng số đo tất cả các gĩc ngồi và một gĩc trong của đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác đều đĩ cĩ bao nhiêu cạnh. - Gọi đa giác cần tìm cĩ n cạnh ( nn ¥ ,2) 6
7. - Tổng số đo các gĩc của đa giác đĩ là ( n – 2).1800 0 => số đo một gĩc trong của đa giác đĩ là: (n 2).180 n - Do tổng số đo các gĩc ngồi của một đa giác là 3600 nên ta cĩ 3600 + = 5040 => n = 10 - Vậy đa giác cần tìm là thập giác đều. Câu 15. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 ax b chia cho x 1 thì dư 7, chia cho x 3 thì dư 5. Ta cĩ: x3 ax b x 1 P x 7 x 3 Q x 5 Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được: a b8;3 a b 32 a 10; b 2 7