Đề thi Olympic Toán 8

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán 8

1. Trường THCS Hồng Dương ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 Năm học: 2013-2014 Thời gian : 120 phút Bài 1. (6 điểm) 6 a) Giải phương trình: y2 2y 3 x2 2x 4 b) Giải bất phương trình: 1 1 1 1 0 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 Bài 2. (5 điểm) 2.1 ) Cho đa thức P(x) 6x3 7x2 16x m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x 3 b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất 2.2) Cho đa thức P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e Biết P(1) 1;P(2) 4;P(3) 16;P(5) 25. Tính P(6);P(7)? Bài 3. (2 điểm) Cho a,b,c 0;1 và a b c 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Bài 4. (7 điểm) Cho hình bình hành ABCD AC BD .Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AC a) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: CHK : BCA c) Chứng minh: AC 2 AB.AH AD.AK
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) 2 6 2 2 y 2y 3 2 y 2y 3 x 2x 4 6 x 2x 4 y 1 2 2 . x 1 2 3 6 x 1 2 . y 1 2 3 y 1 2 2 x 1 2 6 6 x 1 2 . y 1 2 3 y 1 2 2 x 1 2 0 Vì x 1 2 0; y 1 2 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 1 1 1 1 b) 0 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 1 1 1 1 0 x 1;2;3;4;5;6 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 0 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 1 1 4 0 0 x 2 x 6 0 x 2 x 6 x 2 x 6 x 2 0 x 6 0 2 x 6 x 2 0 x  x 6 0 Kết hợp với điều kiện ta có2 x 6 và x 3;4;5 Bài 2. 2.1) a) P(x) 6x3 7x2 16x m 6x3 9x2 16x2 24x 8x 12 m 12
3. 3x2 2x 3 8x 2x 3 4 2x 3 m 12 2x 3 3x2 8x 4 m 12 Để P(x) 2x 3 thì m 12 0 m 12 b) Với m 12;P(x) 6x3 7x2 16x 12 6x3 4x2 3x2 2x 18x 12 2x2 3x 2 x 3x 2 6 3x 2 3x 2 2x2 x 6 Phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất: P(x) 6x3 7x2 16x 12 2x 3 3x 2 x 2 2.2 ) Vì P(1) 1;P(2) 4;P(3) 9;P(4) 16;P(5) 25 Mà P(x) x5 ax4 bx3 cx2 dx e P(x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x2 P(6) 5.4.3.2.1 62 156 P(7) 6.5.4.3.2 72 769 Bài 3. Vì a,b,c 0;1 1 a 1 b 1 c 0 Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ac abc Vi a b c 2 1 ab bc ac abc 0 ab bc ac abc 1 1(Vi abc 0) 2 ab bc ac 2 Lại có: a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac P a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ac 4 2 ab bc ac 4 2 2 Vậy Pmax 2 a,b,c là hoán vị của 0;1;1
4. Bài 4. H A B 1 F 1 E 2 D C K a)DF / /BE (vì cùng vuông góc với AC) AFD CEB (Cạnh huyền – góc nhọn) DF BE DFBE là hình bình hành b) BC / / AK B· CK 900 ·ABC 900 B· CH (góc ngoài của CHB) H· CK 900 B· CH ·ABC H· CK Có: C· KD ·ACD D· AC (góc ngoài của DKC) H· BC B· AC B· CAmà B· CA D· AC;B· AC D· CA CD CK AB CK CKD : CBH CHK : BCA c.g.c BC CH BC CH AB AE c) AEB : AHC AE.AC AB.AH 1 AC AH AF AD AFD : AKC AF.AC AD.AK 2 AK AC Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: AE.AC AF.AC AB.AH AD.AK(3)
5. Mà AFD CEB cmt AF CE 3 AC. AE EC AB.AH AD.AK AC 2 AB.AH AD.AK