Đề thi olympic - Môn: Toán lớp 7

Nội dung text: Đề thi olympic - Môn: Toán lớp 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 HUYỆN THANH OAI Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1(5điểm) a, Chứng minh rằng : Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) Thì b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax3 + 4x( x2 – 1 ) + 8 g(x) = x3 -4x(bx + 1 ) + c -3 Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) . Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức : f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 không có nghiệm nguyên . Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : khi x thayđổi . Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có . Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C saocho vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng : a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng. b, Tam giác AOB cân. Hết Họ và tên thí sinh:: SBD Chữ ký giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Câu Nội dung Điểm Câu 1 1. a) 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) (5 điểm) => 0,75 đ => Biếnđổi : (1) 1,25đ (2) 0,5đ Từ (1) và (2) =>đpcm . b) Gọi 2 số đó là a , b . Ta có : 30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab 0,5 đ Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tìm được 0,5 đ Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tìm được 0,5đ Từ đó tìm được : a = 5 ; b = 3 . 1 đ Câu 2 Biến đổi : (4 điểm) f(x) = ( a + 4 )x3 – 4x + 8 0,75đ g(x) = x3 – 4bx2 – 4x + c – 3 0,75đ f(x) = g(x) 1,25 đ 0,75 đ Kếtluận 0,5 đ Câu 3 Nếu đa thứcf(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 có nghiệm thì 0,5 đ (2 điểm) nghiệm đó là ước của -1 . Mặt khác Ư(-1) = { } 0,5 đ Ta có : f(-1) = -11 0 0,5 đ F(1) = -3 0,5đ Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên . 0,5đ Câu 4 Có ≥ 0,75đ (2 điểm) Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra (x – 2006 )( 2007 – x ) ≥ 0 2006 0,75đ Vậy Amin = 1 2006 0,5đ Câu 5 - Vẽ hình đúng
3. (7 điểm) 1đ a, ABC cân tại A , => 0,5 đ Xét BOC có 0,75đ => BOC = MOC ( c.g.c ) . => 0,75 Mà nên hai tia CM và CA trùng nhau 0,5đ Do đó 3 điểm C , O ,M thẳng hàng 0,5đ b, CBM có CM = CB => CBM cân tại C ; 0,75đ => 1đ Vậy BAM cântại B 0,75đ => BA = BM = BO => AOB cân tại B . 0,5đ