Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học lớp 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học lớp 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1. Tìm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tính A = c d a d a b b c Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2. 27 2x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên) 12 x Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC. c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD. d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.
2. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 a) (1,5đ) 0,75 (4,5 đ) 3x 1 (1+5) = 162  3x 1 = 27 0,75 => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 0,75 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 0,75 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) x-3 nên 0,5 x 1 0 1,0 (x-1)(x-3) 0 => 0,5 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a 2 0,5 a+b+c+d >0) suy ra a = b = c= d 0,5 Thay vào tính được P = 2 Câu 3 a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta có x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3  (x+1)(y+1)=3 0,75 Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có: x+1 1 3 -1 -3 0,5 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 y 2 0 -4 -2 Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) 0,25 b) (1,5 đ) 27 2x 3 Q = = 2+ 0,25 12 x 12 x
3. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 3 0,25 A lớn nhất khi lớn nhất 12 x 0,25 3 * Xét x > 12 thì 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử 0,25 12 x không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 0,25 3 Vậy để lớn nhất thì x Z  x = 11 12 x 12-x nhỏ nhất A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 0,25 Câu 4 a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta có: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) 0,75 -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c 0,5 Vậy a và c là hai số đối nhau. b) (2,0 đ) 2 Ta có x 3 2 2 ,x => x 3 2 4 . Dấu "=" xảy ra  x = 3 0,5 y 3 0 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 0,5 2 Vậy P = x 3 2 y 3 2007 4 + 2007 = 2011. 0,5 Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3 0,5 Câu 5 (5,5 đ) B K D M H I A N C O' O a) (2,0 đ) 0,5 - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK 1,0 - Chứng minh IMC = KMB 0,5 => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M
4. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC 0,5 1 0,25 AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = AC 2 1 0,25 Mặt khác MC = BC 2 1 1 Lại có ABC vuông tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > 2 2 0,5 KN Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM 0,5 => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có ABM cân tại M 0,5 (2) Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600 Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN 0,5 Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB 0,5 => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao )