Đề thi Olympic cáp huyện - Môn Toán 8

Nội dung text: Đề thi Olympic cáp huyện - Môn Toán 8

1. ĐỀ THI OLYMPIC CÁP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1. Phân tích thành nhân tử: a) a3 2a2 13a 10 2 b) a2 4b2 5 16 ab 1 2 Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a,b,c.Chứng minh rằng nếu a b c chia hết cho 3 thì a3 b3 c3 3a2 3b2 3c2 chia hết cho 6 1 Bài 3. a) Cho a b 1 . Chứng minh a2 b2 2 b) Cho 6a 5b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 25b2 Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f (1) 5; f (2) 11; f (3) 21.Tính f ( 1) f (5) Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC(AB AC).M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM MA;CN cắt AB tại E. Chứng minh : a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN NC NB b) 1 AN AB
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Ta nhận thấy a 1,a 2 là nghiệm của đa thức nên: a3 2a2 13a 10 a 1 a 2 a 5 2 a2 4b2 5 16 ab 1 2 a2 4b2 5 4ab 4 a2 4b2 5 4ab 4 b) a 2b 2 1 a 2b 2 9 a 2b 1 a 2b 1 a 2b 3 a 2b 3 Bài 2. A a b c3 2A6;B a3 b3 c3 3a2 3b2 3c2 C B 2A a3 3a2 2a b3 3b2 2b c3 3c2 2c a a 1 a 2 b b 1 b 2 c c 1 c 2 a a 1 a 2 ,b(b 1)(b 2) ,c(c 1)(c 2)là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 C6 B6 Bài 3. a) Từ a b 1 a 1 b a2 1 2b b2 , thay vào đẳng thức cần chứng 1 minh ta có: 1 2b 2b2 2 2 1 4b2 4b 1 0 2b 1 0.BĐT này luôn đúng . Vậy a2 b2 2 1 a 2 2 Dấu " "xảy ra 2b 1 0 1 b 2 b) Đặt x 2a, y 5b . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 1 1 3x y x2 y2 9 1 x2 y2 hay 4a2 25b2 10 10 1 b 3 1 50 Dấu bằng xảy ra 3y x 15b 2a 6a 45b x y 3 a 20
3. Bài 4. Nhận xét g(x) 2x2 3thỏa mãn g(1) 5; g(2) 11; g(3) 21 Q(x) f (x) g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x 1; x 2; x 5 Vậy Q(x) x 1 x 2 x 3 x a ; ta có: f ( 1) Q( 1) 2( 1)2 3 29 24a f (5) Q(5) 2.52 3 173 24a f ( 1) f (5) 202 Bài 5. C F M N A E B a) ANC vuông tại N (vì AM MC MN) C· NM M· NA 900 & B· AN N· AC 900 Mà M· NA N· AC C· NM B· AN Mặt khác C· NM B· NE (đối đỉnh) B· NE B· AN BNE : BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM MN Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
4. CE / / AF ·AFB E· NB (đồng vị) BAN : BFA FA BF NC AB NB NC NB 1(dfcm) AN BA AN AB AN AB