Đề thi olympic 27/4 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Vũng Tàu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic 27/4 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Vũng Tàu (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 – NĂM HỌC 2017- 2018 THÀNH PHỐ VŨNG TÀU MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1:(2 điểm) Cho biểu thức sau : x 2 x 6 x 2 2x 7 7 A 2 2 2 : 2 x 0; x 2; x x 2x x 4 x 2x x 4x 4 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (5 điểm) 1) Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương. 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a3 b3 6ab 8 3) Cho x,y, z thoả mãn: x y z 0 và xy yz xz 0 . Tính giá trị của biểu thức: Q (x 1)2016 (y 1)2017 (z 1)2018 Bài 3:(5 điểm) 1) Gỉai phương trình: (2x2 1)3 (2 5x)3 (2x2 5x 3)3 a b c 2) Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn : 0 b c c a a b a b c Chứng minh rằng: 0 (b c)2 (c a)2 (a b)2 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 5y2 4xy 2x 8y 2018 Bài 4:(3,5 điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ AH  CD tại H. Gọi M là trung điểm của BC, E và F lần lượt là trung điểm của AM và DM; AF cắt DE tại K. Lấy điểm N đối xứng với A qua M. a) Chứng minh: DN = AB + CD. MK 2 b) Chứng minh: CH 3 Bài 5:(4,5 điểm) Cho ABC nhọn có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của ABC. Kẻ IM BC tại M. Lấy điểm K đối xứng với A qua I a) Chứng minh ·ACK 900 a) Chứng minh: AH = 2.IM AH BH CH c) Chứng minh: 2 AD BE CF HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC CẤP THÀNH PHỐ – NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN: TOÁN 8 Bài Câu Nội dung Điểm x 2 x 6 x 2 2x 7 A 2 2 2 : 2 x 2x x 4 x 2x x 4x 4 x 2 x 6 x 2 2x 7 : 2 x(x 2) (x 2)(x 2) x(x 2) (x 2) (x 2)2 x(x 6) (x 2)2 (x 2)2 0,25 . 1a x(x 2)(x 2) 2x 7 x2 4x 4 x2 6x x2 4x 4 (x 2)2 . 0,25 x(x 2)(x 2) 2x 7 x2 2x (x 2)2 . 0,25 x(x 2)(x 2) 2x 7 1 x(x 2) (x 2)2 x 2 . x(x 2)(x 2) 2x 7 2x 7 0,25 2.0 đ x 2 2x 4 2x 7 3 3 A 2A 1 2x 7 2x 7 2x 7 2x 7 3 A Z 2A Z Z 2x 7 U (3) 2x 7 0,25 2x 7 1; 1;3; 3 2x 8;6;10; 4 x 4;3;5; 2 1b 0,25 7 Mà x 0; x 2; x x 4;3;5 2 0,25 Kiểm tra với x để 2A nguyên thì A có nguyên không x 3;4;5 A 1;2;1 Z . Vậy x 3;4;5 thì A có giá trị nguyên. 0,25 Gọi hai số lẻ là a và b. 2 Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) 0.25 5.0 đ 2.1 a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 0,75 2
3. Bài Câu Nội dung Điểm a2 + b2 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Vậy a2 + b2 không thể là số chính phương. 0.5 a3 b3 6ab 8 (a b)3 8 3ab(a b) 6ab 0,25 2.2 2 2 0,75 (a b 2)(a b 2ab 2a 2b 4) 3ab(a b 2) (a b 2)(a2 b2 ab 2a 2b 4) 0,5 x y z 0 (x y z)2 0 0,25 x2 y2 z2 2(xy yz xz) 0 0,25 2 2 2 x y z 0 (Vi xy yz xz 0) 0,25 2.3 x y z 0 0,5 Q (x 1)2016 (y 1)2017 (z 1)2018 2016 2017 2018 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0,75 (2x2 1)3 (2 5x)3 (2x2 5x 3)3 (2x2 5x 3)3 3(2x2 1)(2 5x)(2x2 5x 3) (2x2 5x 3) 0,5 3(2x2 1)(2 5x)(2x2 5x 3) 0 (2 5x)(x 1)(2x 3) 0 0,5 3.1 2 x 2 5x 0 5 x 1 0 x 1 2x 3 0 3 0,5x2 3 x 5 đ 2 a b c 0 b c c a a b a b c b2 ab ac c2 b c a c b a (a c)(b a) a b2 ab ac c2 3.2 (b c)2 (a b)(b c)(c a) 0,5 Chứng minh tương tự ta được: b c2 bc ab a2 0,25 (c a)2 (a b)(b c)(c a) 3
4. Bài Câu Nội dung Điểm c a2 ac bc b2 (a b)2 (a b)(b c)(c a) 0,25 a b c (b c)2 (c a)2 (a b)2 b2 ab ac c2 c2 bc ab a2 a2 ac bc b2 0 (a b)(b c)(c a) 0,5 M x2 5y2 4xy 2x 8y 2022 2 2 2 x 4xy 4y 2x 4y y 4y 4 2018 0,25 2 2 (x 2y) 2(x 2y) 1 (y 2) 2017 0,25 2 2 3.3 (x 2y 1) (y 2) 2017 2017 0,25 x 2y 1 0 x 3 Dấu “=” xảy ra khi y 2 0 y 2 0,25x2 x 3 0,25 Vậy Mmin = 2017 khi y 2 A B E K M Q F D N 0,5 H C 4 Chứng minh được CN // AB và CN = AB 0,25x2 3.5 đ 4a từ đó suy ra 3 điểm D, C, N thẳng hàng và DN = DC + AB 0,25x2 Chứng minh được K là trọng tâm của ADM từ đó suy ra MK đi 2 qua trung điểm Q của AD MK MQ 0,5 3 4b AHD vuông tại H có HQ là đường trung tuyến ứng với cạnh 1 huyền AD QH QD AD QHD cân tại Q 0,5 2 Q· HD B· CD ( Q· DH ) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị QH // BC 0,25 4
5. Bài Câu Nội dung Điểm QM là đường trung bình của hình thang ABCD QM // HC 0,25 Tứ giác MQHC là hình bình hành MQ CH 0,25 2 Suy ra MK CH 3 0,25 A E F H I 0,5 B D M C K I là giao điểm của ba đường trung trực của ABC IA = IB = IC 0,25 5 K đối xứng với A qua I I là trung điểm của AK 0,25 4,5 đ 5a 1 IC = IA = AK mà CI là đường trung tuyến của ACK 2 0,25 0 ACK vuông tại C ·ACK 90 0,25 I là giao điểm của 3 đường trung trực của ABC, IM BC tại M M là trung điểm của BC 0,25 0,25 Ta có: CK // BH ( AC) 5b 0,25 Chứng minh tương tự câu a ta có ·ABK 900 BK/ /CH( AB) Tứ giác BHCK là hình bình hành mà M là trung điểm của BC M là trung điểm của HK 0,25 5
6. Bài Câu Nội dung Điểm 0,25 I là trung điểm của AK 0,25 IM là đường trung bình của AHK AH = 2IM AH S S Chứng minh được : AHB AHC 0,25 AD SADB SADC Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: AH S S S S S S AHB AHC AHB AHC AHB AHC 0,25 AD SADB SADC SADB SADC SABC 5c Chứng minh tương tự ta có BH SAHB SBHC SAHB SBHC SAHB SBHC 0,25 BE SBEA SBEC SBEA SBEC SABC CH S S S S S S CHB AHC CHB AHC CHB AHC 0,25 CF SCFB SCFA SCFB SCFA SABC AH BH CH 2S Từ đó suy ra: ABC 2 AD BE CF SABC 0,5 Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa 6