Đề thi KSCL học sinh giỏi - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi KSCL học sinh giỏi - Môn: Toán 8

1. ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Bài 1. (2 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : 2 A n3 n2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Bài 2. (2 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Bài 3. (1 điểm) Cho ba số a,b,cthỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Bài 4. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh APM là tam giác vuông b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân Bài 5. (1 điểm) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho x2 y2 2y 13
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a)x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 b) Theo phần a ta có: 2 A n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7 Mà 2,3,5,7 1 nên A 2.3.5.7 A210 Bài 2. a) Với x 1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x 2 2 b) Tại x 1 A 10 3 27 c) Với x 1 thì A 0 1 x2 1 x 0 1 x 0 x 1
3. Bài 3 Thay 2004 abc vào M ta có: a2bc b c M ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ab(1 ac c) b c 1 ac ac c 1 ac 1 c ac c 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 1 ac c Bài 4. A M B 1 1 P I N H 1 D C µ µ a) Chứng minh ADM BAN(cgc) A1 D1 µ ¶ 0 Mà D1 M1 90 ( ADM vuông tại A) µ ¶ 0 · 0 Do đó: A1 M1 90 APM 90 . Hay APM vuông tại P
4. 4 5 2 5 4 b) Tính được AP (cm), AM cm,S (cm2 ) 5 5 APM 5 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành AN / /CI mà AN  DM CI  DM Hay CH là đường cao trong CPD(1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ADP chứng minh được H là trung điểm DP suy ra CH là trung tuyến trong CPD(2) Từ (1) và (2) suy ra CPD cân tại C Bài 5. Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1 và x y 1; x y 1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x, y nguyên dương nên x; y 4;1