Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 6 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 6 - Môn: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2016 – 2017 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,0 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} 151515 179 1500 1616 c) C = 10 161616 17 1600 1717 1 1 1 1 d) D = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 100 Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 x x x x x x x x x x 220 b) 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0 Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 . 4n 5 b) Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n 1 Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m· 'Oz 300 c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 1 1 1 1 b) Cho A = 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 2017 3 Chứng minh A 4
2. ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm). 1. a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100 151515 179 1500 1616 c) C = 10 161616 17 1600 1717 15.10101 1 15 16.101 C = 16.10101 17 16 17.101 15 1 15 16 C = 16 17 16 17 15 15 1 16 C = 16 16 17 17 C = 0 + 1 C = 1 1 1 1 1 d) D = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 100 1 4 1 9 1 16 1 1000 D = 2 2 2 2 2 3 4 100 3 8 15 9999 D = . . 22 32 42 1002 1.3 2.4 3.5 99.101 D = . . 22 32 42 1002 (1.2.3 99)(3.4.5 101) D = (2.3.4 100).(2.3.4 100) 1.101 D = 100.2 101 D = 200 Câu 2:
3. a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32 3x + 2 = 25 – 32 3x + 2 = – 7 3x = – 9 x = – 3 x x x x x x x x x x 220 b) 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 x 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 2x 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 2x 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 2x 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 39 1 1 220 2x 3 13 39 10 220 2x. 39 39 220 10 2x : 39 39 2x 22 x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90  5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + + 386.121 A = 121(3 + 36 + + 386) A = 11.11(3 + 36 + + 386)  11 A 11 A có 90 số hạng mà 90  3 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + + 390
4. A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + + 388.(1 + 3 + 32) A = 3.13 + 34.13 + + 388.13 A = 13(3 + 34 + + 388)  11 A 13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0 x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2 (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x + 1 1 – 3 y – 2 – 3 1 x 0 – 4 y – 1 3 Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a (a N,100 a 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên: a 78 a 7 88 a 18 a 1 648 a 658 a 2831 a 28 3131 a 331 a 3 6231 a 6531 Vì (8, 31) = 1 nên a + 65  (8.31) hay a + 65  248 a = 248k – 65 (k N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927. Vậy số cần tìm là 927 4n 5 4n 2 7 n(2n 1) 7 7 b) Ta có: = n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 4n 5 7 Vì n nguyên nên để nguyên thì nguyên hay 2n – 1 Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n 1 2n 1 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} 4n 5 Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} thì có giá trị là một số nguyên 2n 1 Câu 5: (5,0 điểm). n y a) Vì x· Oy kề bù với z·Oy nên: x· Oy + z·Oy = 1800 Vì tia Om là tia phân giác của x· Oy nên: m 1 m· Oy x· Oy 2 z O x Vì tia On là tia phân giác của z·Oy nên: 1 n· Oy z·Oy 2 m'
5. Vì x· Oy kề bù với z·Oy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của x· Oy và tia On là tia phân giác của z·Oy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: m· Oy + y· On = m· On 1 1 x· Oy + z·Oy = m· On 2 2 1 x· Oy z·Oy = m· On 2 1 .1800 = m· On 2 m· On = 900 b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m· 'Oz kề bù với z·Om m· 'Oz + z·Om = 1800 300 + z·Om = 1800 z·Om = 1500 Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó z·Om kề bù với m· Ox z·Om + m· Ox = 1800 1500 + m· Ox = 1800 m· Ox = 300 Vì tia Om là tia phân giác của x· Oy nên: m· Oy m· Ox = 300 Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó y·Om kề bù với y·Om' y·Om + y·Om' = 1800 300 + y·Om' = 1800 y·Om' = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: n 5 n 6 góc 2 n 5 n 6 Vì có 300 góc được tạo thành nên: = 300 (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 2
6. n + 5 = 24 n = 19 Câu 6: 100a 3b 1 a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên cùng lẻ (2) a 2 10a b *) Với a = 0: (1) (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 3b 1 25 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 b 8 1 b 9 *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) 3b + 1 lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b  Vậy: a = 0 ; b = 8 1 1 1 1 b) Ta có: A = 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 2017 1 1 1 1 A = (1 3).2 (1 5).3 (1 7).4 (1 2017).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 A = 2.4 3.6 4.8 1009.2018 1 1 1 1 A = 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1 1 1 1 A < 2.2 2.3 3.4 1008.1009 1 1 1 1 1 1 1 A < 4 2 3 3 4 1008 1009 1 1 1 A < 4 2 1009 1 1 A < 4 2 3 A < 4