Đề thi khảo sát học sinh giỏi lần 2 - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi lần 2 - Môn: Toán 8

1. TRƯỜNG THCS DANH THẮNG ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN 2 Môn: Toán 8 – NH 2017-2018 Thời gian: 120 phút Câu 1 1. Chứng minh rằng B x3 (x2 7)2 36x chia hết cho 105 với mọi số nguyên x 2. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a +b 2b+c 2c+d 2d +a + + 6. Chứng minh A = abcd là số chính phương a b b+c c d d +a 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 4. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab 5. 6.
2. Đáp án 2) 2a +b 2b+c 2c+d 2d+a a) + + 6 a b b+c c d d +a a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 a b b+c c d d +a a b c d + + 2 a b b+c c d d +a a b c d 1 1 0 a b b+c c d d +a 0,25 b b d d 0 a b b+c c d d +a b(c-a) d(a -c) 0,25 0 (a b)(b+c) (c d)(d +a) b(c d)(d a) d(a b)(b c) 0 abc acd bd2 b2d 0 (b d)(ac bd) 0 0,25
3. ac bd 0 ac bd (vì b ≠ d) Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3. +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d F b c c d d a a b a c b d a(d a) c(b c) b(a b) d(c d) b c d a c d a b (b c)(d a) (c d)(a b) a2 c2 ad bc b2 d2 ab cd 4(a2 b2 c2 d2 ab ad bc cd) 1 2 1 2 2 b c d a c d a b (a b c d) 4 4 0,5 1 (theo bất đẳng thức xy (x y)2 ) 4 2 2 2 2 2 +) Mặc khác: 2(a b c d ab ad bc cd) (a b c d) a2 b2 c2 d2 2ac 2bd (a c)2 (b d)2 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 0,25 2 x y y 2015 4031 x 2016 0,25 Đẳng thức xảy ra y = 2016; x = 2015 4. Với 2 số a, b dương: Xét: a2 b2 1 ab a2 + b2 – ab 1 0,5 (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0) a3 + b3 a + b (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b 0.5 0.5
4. ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0 0,25 2 ab a2 b2 0 đúng  a, b > 0 . 0,25 Vậy: a2 b2 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 5. 6. 7.