Đề thi khảo sát chọn học sinh giỏi - Môn Toán 8

Nội dung text: Đề thi khảo sát chọn học sinh giỏi - Môn Toán 8

1. ĐỀ THI KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI Mụn toỏn 8 Bài 1 (5 đ) 1) Phõn tớch biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) 2) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bỡnh phương của một đa thức khỏc . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3) Tỡm x biết: a) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x b) 2x 1 3 2018 x 3 x 2019 3 0 . Bài 2 (5 đ) x 2 6 1 10 x 2 : x 2 x 2; x 2 1) Cho biểu thức A = 3 Với x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm giá trị của x để A > O 1 1 1 2) Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0 . x y z yz xz xy Tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy 3) Cho A = n5 – 5n3 + 4n. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên dương Bài 3 (3 đ) 1) Tỡm x, y Z thỏa món : x2 + x + 6 = y2 2) Tìm các giá trị của x để biểu thức P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 4 (6 đ) Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là điểm bất kì trên đáy BC. Kẻ MP vuông góc AB (P thuộc AB), MQ vuông góc AC (Q thuộc AC). Gọi O là trung điểm của AM 1) Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cách đều điểm O 2) Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh 3) Xác định vị trí của điểm M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của PQ theo a ( a là độ dài cạnh tam giác ABC) Bài 5 (1 đ) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bài 1 1) Phõn tớch biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = xy (x + y + z) + xz (x + y + z) + yz (x + y + z) 0,75 đ = ( x + y + z)(xy + xz + yz) 0,75 đ 2) A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + c)2 0,5 đ Khi đú x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 = x4 – 6 x3 + x2(9 + 2c) – 6xc + c2 Vậy c = 1 ; a = 11 ; b= 6 0,5 đ Hoặc c = -1 ; a = 7 ; b = 6 0,5 đ Bài 2 1) x 2 1 6 a, Cho A = : x 2 4 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 = : x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 = . x 2 x 2 6 2 x 1 b, Để A > 0 thì 0 2 x 0 x 2 2 x 1 1 1 2) Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0 . x y z yz xz xy Tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Ta cú xy + yz + xz = 0 nờn yz = -xy – xz Mặt khỏc x2 + yz + yz = (x – y )(x – z ) Tương tự y2 + 2xz = (y – x )(y – z ) Z2 + 2xy = (z – y )(z –x ) 0,75 đ Vậy B = yz(y – z ) – xz (x – z ) + xy(x – y ) = y2z – yz2 - x2z + xz2 + x2y – xy2 = (x – y )((x – z )(y – z ) Từ đú A = 1 0,75 đ 3) Cho A = n5 - 5n3 + 4n ( n là số nguyên dương ) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên dương A = n(n- 1 )(n – 2 )(n + 1)(n + 2) 0,75 d Vỡ A phõn tớch được thành tớch 5 số nguyờn liờn tiếp vậy A chia hết cho 120 0,75 đ Bài 3 1) Tỡm x, y Z thỏa món : x2 + x + 6 = y2 (2x + 1)2 – (2y)2 = -23 (2y – 2x – 1 )(2y + 2x + 1) = 23 0,5 đ
3. 2y – 2x – 1 1 -1 2y + 2x + 1 23 -23 x 2 -4 Y 6 -6 ( 0,5 đ) Kết luận cặp nghiệm 0,5 đ 2) Tìm các giá trị của x để biểu thức P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó P = (x2 + 5x – 6 )(x2 +5x + 6) 0,5 đ Đặt x2 + 5x = t Khi đú P = t2 – 36 Vậy GTNN P = -36 0,5 đ Khi x2 + 5x = 0 Vậy x = 0 hoặc x = -5 0,5 đ Bài 4 A O Q I P B C M H 1) Các góc APM, AHM, AQM = 900 5 điểm A, P, M H, Q cách đều O 2đ 2) Góc POH = 2 góc BAH = 600 nên tam giác POH đều suy ra PH = PO = OH Tơng tự HQ = QO = OH Vây POHQ là hình thoi 2 d 1) Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo hình thoi Theo Pi Ta Go PI2 + OI2 = OP2 3 .AM Từ đó PI = 4 1d PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất vậy M trùng H khi đó PQ = 2 PI = 3a 1d 4 Bài 5 (2 đ) 2) Gọi số phải tìm là abc
4. 100a 10b c11 a b c11 10a 10b 10c11 Ta có 0,5d 90a 9c11 9 11a a c 11 a c11 Vì c chẵn nếu c = 2 thì a = 9 Vậy b =0 Nếu c = 4 thì a = 7 Vậy b = 0 Nếu c = 6 thì a = 5 Vậy b = 0 Nếu c = 8 Thì a = 3 Vậy b =0 Nếu c = 0 vậy a không có giá trị 1 d Vậy các số cần tìm là 704, 506, 308 0,5d
5. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mụn toỏn 8 Thời gian làm bài 150 phỳt Bài 1( 5 điểm): Cho biểu thức: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x 2 1) P = 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. c) Tìm x để P > 0. 2) Tỡm x biết 2x x 5 x2 x 1 x2 x 1 3 Bài 2( 4 điểm): a) Cho a, b, c 0. Tớnh giỏ trị của D = x2013 + y2013 + z2013 2 2 2 2 2 2 Biết x,y,z thoả món: x y z = x +y + z a2 b2 c2 a2 b2 c2 b) CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n N) Bài 3( 3 điểm): 1) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: a) x6 3x 2 1 y4 b) 6x2 + 10y2 + 2xy – x – 28y +18 = 0 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x 1 A x2 x 1 Bài 4( 6 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng Tại A (AC>AB) , đường cao AH. Trờn tia HC lấy HD =HA, đường vuụng gúc với BC Tại D cắt AC Tại E. a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm của BE . Tớnh gúc AHM. Bài 5( 2 điểm): a) Cho n là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng n n n n 1 2 3 2013  1 2 3 2013 b) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức M x3 y3 xy
6. Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? b. Chứng minh AQ = OM. c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào? Bài 5( 2 điểm): a) Cho n là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng n n n n 1 2 3 2013  1 2 3 2013 b) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức M x3 y3 xy
7. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mụn toỏn 8 Thời gian làm bài 120 phỳt Câu 1: (5 đ) 2x2 x 1 2x3 x x2 x2 x 1) Cho biểu thức A 1 2 3 . 1 x 1 x 2x 1 a) Rút gọn A 2 1 b) Chứng minh rằng A > Với mọi x thỏa mãn x 0, x 1, x 3 2 2) Giải phương trình x2 2x 3 x2 x 1 . x4 x2 4 Câu 2 (4 đ) 1 1 1 1) Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0 . x y z yz xz xy Tớnh giỏ trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy 2) Tìm các số nguyên k để biểu thức k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương Câu 3 (4 đ) 1) Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn phương trình 2x2 2xy 5x y 19 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 3y2 2xy 4x 2y 2013 Bài 4 (5 đ) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. 1). Tứ giác BEDF là hình gì? chứng minh điều đó. 2).Gọi CH và CK lần lượt là đường cao của tam giác ACB và ACD. CH CK a). Chứng minh: . CB CD b). Chứng minh hai tam giác CHK và ABC đồng dạng với nhau. c). Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC 2. Câu 4*(2 đ) 1) Cho a b c d 7 và a2 b2 c2 d 2 13 Tìm a, b, c khi d đạt giá trị lớn nhất 2) Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
8. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mụn toỏn 8 Cõu 1. 1) Phõn tớch biểu thức sau thành nhõn tử P = a4 + 4a2b2 + 16b4 , với a,b ẻ Ă . 2) Cho n là số tự nhiờn lẻ. Chứng minh rằng S = 1+ 5n + 7n + 11n chia hết cho 12 . Cõu 2 2 1 1 1 x 1 1) Cho biểu thức: A . 1 . 1 : 3 2 2 2 3 x 3x 3x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1 c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn Cõu 3 1)Tìm các số nguyên của x để biểu thức A x4 x2 2x 2 có giá trị là số chính phương 2)Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ac - bd).(b + d) 3) Chứng minh với mọi số tự nhiên n lẻ thì n5 – n chia hết cho 240 Cõu 4 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : 4x2y = (x2+1)(x2+y2) 4x 3 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: B = x2 1 3) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để n 4 + 3n 3 + 3n 2 là số chớnh phương. 4) Tỡm phần dư của phộp chia đa thức P(x) cho (x - 1)(x + 2) . Biết rằng đa thức P(x) chia cho (x - 1) dư 7 , chia cho (x + 2) dư 1 . Cõu5. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AD = 10 cm, AB = 29 cm. Trờn cạnh CD lấy điểm M sao cho DM = 4 cm. a) Chứng minh rằng AM vuụng gúc với MB . ã b) Tia phõn giỏc của gúc AMB cắt AB tại E . Kẻ đường thẳng d qua E vuụng gúc với AB . Đường thẳng d cắt MA và MB lần lượt tại H,K . Đường thẳng AK cắt BH tại N . Chứng ã minh rằng MN là tia phõn giỏc của gúc BMH . Bài 4: (5,5 điểm) Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B. a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a). CA OA2 b, DB OB2 c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA. 8a2 d, Cho S . Tính CA + DB theo a. V AOB 3
9. BÀI TẬP TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI ĐẠI SỐ Bài 1. 1) Chứng minh rằng: số A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương 2) Chứng minh rằng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n 3) Giải phương trỡnh a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = 1 c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x+ 6 = 0 3) Tỡm x, y nguyờn 6x2 + 10y2 + 2xy – x – 28y +18 = 0 2x x 5 4) Giải phương trỡnh: x2 x 1 x2 x 1 3 5) Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1. Chứng minh rằng f(x) luụn cú giỏ trị là số chớnh phương với mọi giỏ trị nguyờn của x x 1 6) Tớnh giỏ trị biểu thức P = 28x5 – 2x4 – 2013x3 +14606x – 3454 khi . x2 x 1 4 Bài 2. 1) Cho đa thức Q x x4 3x2 1 a. Phõn tớch đa thức Q x thành nhõn tử. b. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh y2 = x4 + 3x2 +1 2) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn 8x2 3xy 5y 25 3) Tỡm tất cả số nguyờn dương n sao cho A= n.4n 3n 7 x2 yz y2 zx z2 xy 4) Cho cỏc số thực dương a,b,c,x,y,z khỏc 0 thoả món . a b c a2 bc b2 ca c2 ab Chứng minh rằng x y z 3 2 3 5) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn x, y của phương trỡnh x 2x 3x 2 y . Bài 3. 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số. 2. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x;y) thỏa món: x 2 y 4 18x 2 y 2 85x 2 3y 4 54y 2 243 0 3. Với a, b là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia hết cho 5 thỡ a4 b4 chia hết cho 5. 4. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho n4 n3 1 là số chớnh phương. a2 b2 c2 1 5. Cho ba số a,b,c thỏa: Tớnh S a2 b9 c2005 . 3 3 3 a b c 1 2 6. Cho a, b, c là những số nguyờn thỏa món điều kiện 1 1 1 1 1 1 2 2 2 . a b c a b c Chứng minh rằng a3 b3 c3 chia hết cho 3. x2 yz y2 xz 7. Chứng minh rằng nếu x 1 yz y 1 xz 1 1 1 với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 thỡ x y z x y z 8. Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiờn n. 9. Giải phương trình x2 1 x2 4 x2 2x 4