Đề thi Khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 12 - Lần 1 - Mã đề: 132 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Lam Kinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 12 - Lần 1 - Mã đề: 132 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Lam Kinh (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT LAM KINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN ĐỀ CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI - LẦN 1 Năm học: 2021-2022 Môn thi: TOÁN Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề Ngày khảo sát: 23/10/2021 (Đề khảo sát có 07 trang, gồm 50 câu) Họ, tên thí sinh: Mã đề thi: 132 Số báo danh: Phòng thi x2 x 1 khi x 1 Câu 1: Cho hàm số f x ( a là tham số). Khi hàm số liên tục tại điểm x 1 thì ax 2 khi x 1 giá trị của a bằng: A. 0 . B. 1 C. 3 . D. 1. Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số y tan 2x . 4 3  3 k  A. D ¡ \ k ,k ¢ . B. D ¡ \ ,k ¢  . 4  4 2  3 k   C. D ¡ \ ,k ¢  . D. D ¡ \ k ,k ¢  . 8 2  2  1 Câu 3: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1. Tính F 3 ? x 1 7 1 A. F 3 . B. F 3 ln 2 1. C. F 3 . D. F 3 ln 2 1. 4 2 Câu 4: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 5: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Lăng trụ lục giác đều. B. Tứ diện đều. C. Hình lập phương. D. Bát diện đều. 4 Câu 6: Cho hàm số f x x3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x2 x4 4 4 A. f x dx C . B. f x dx x3 C . 4 x x
2. x4 1 x4 4 C. f x dx C . D. f x dx C . 4 x 4 x Câu 7: Một hình trụ có bán kính đáy r a độ dài đường sinh l 2a Diện tích toàn phần của hình trụ này là A. 2 a2. B. 4 a2. C. 6 a2. D. 5 a2. 2 Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 2x x 1 0 là 3 3 1 A. 1; . B. 0; . 2 2 1 3 C. ;0  ; . D. ;1  ; . 2 2 Câu 9: Hình vẽ sau là đồ thị hàm số y f x . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f x m có 4 nghiệm phân biệt y 1 O x 3 A. m 1. B. m 3 . C. . 3 m 1 D. m 1. 2 n 2 2n Câu 10: Cho khai triển 1 x x ao a1x a2 x a2n x , với n 2 và ao , a1, a2 , , a2n là các hệ số, khi đó tổng S ao a1 a2 a2n bằng A. S 33n . B. S 2n . C. S 32n . D. S 3n . Câu 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà B. Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AD 2BC 2a và BD a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SB và ABCD bằng 30 . 4a3 21 a3 3 A. V . B. V . SABCD 9 SABCD 6 a3 3 2a3 21 C. V . D. V . SABCD 8 SABCD 3 Câu 12: Đồ thị được cho trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào? y 1 O 1 x
3. x 2 x 2 A. .y B. . y x 1 x 1 x 1 C. y . D. .y x3 3x 2 x 1 Câu 13: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x .g x dx f x dx. g x dx . C. f ' x dx f x C . D. kf x dx k f x dx, k 0 . Câu 14: Một nhóm gồm 4 nam, 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Tính xác suất để có cả nam và nữ được chọn. 3 1 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 15: Với các số thực dương a,b bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng? a ln a A. ln B. ln ab ln a ln b b ln b a C. ln ln b ln a D. ln ab ln a.ln b b Câu 16: Số nghiệm của phương trình sin x cos 2x thuộc đoạn 0;20 là   A. 60 . B. 40 . C. 20 . D. 30 . Câu 17: Cho cấp số nhân un có công bội q , số hạng đầu u1 2 và số hạng thứ tư u4 54 . Giá trị của q bằng A. 3 . B. 6 . C. 3 . D. 6 . Câu 18: Hàm số y x2ex nghịch biến trên khoảng nào? A. 2;0 . B. ;1 . C. ; 2 . D. 1; . Câu 19: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ , liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 1. C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1. D. Hàm số có đúng một cực trị. Câu 20: Cho log2 5 a . Tính log2 200 theo a . A. 3 2a . B. 4 2a . C. 1 2a . D. 2 2a . 1 Câu 21: Cho hàm số y ln . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 1 x
4. 1 1 A. y ' . B. x.y ' 1 . C. x.y ' 1 0 . D. x.y ' 1 e y . x 1 x 1 Câu 22: Cho a 0,b 0 và a2 b2 7ab . Chọn mệnh đề đúng. 1 3 A. 3ln a b ln a ln b . B. ln a b ln a ln b . 2 2 a b 1 C. 2 ln a ln b ln 7ab . D. ln ln a ln b . 3 2 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 2 2a3 a3 2 A. 2a3 2. B. . C. . D. a3 2. 3 3 Câu 24: Đạo hàm của hàm số y 22x 3 là A. 22x 3.ln 2 . B. 2.22x 3 . C. 2x 3 22x 2 . D. 22x 4.ln 2. Câu 25: Tổng T tất cả các nghiệm của phương trình: 32x 1 4.3x 1 0 là 4 A. T 0. B. T . C. T 1 D. T 1. 3 Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y x3 3x2 m2 3m 2 x 5 đồng biến trên 0; 2 ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết S· BA S· CA 90o , SA a 3 . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 90o . B. 45o . C. 60o . D. 30o . y 1 Câu 28: Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log3 x 1 y 1 9 x 1 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là 11 A. P . B. P 5 6 3 . min 2 min 27 C. P . D. P 3 6 2 . min 5 min Câu 29: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 8a2 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 4 a2 . B. 8 a2 . C. 16 a2 . D. 2 a2 . x3 Câu 30: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 2mx 1 có hai điểm cực trị là 3 m 2 A. m 0 . B. m 2 . C. . D. 0 m 2. m 0 Câu 31: Cho hàm số y f x thỏa mãn f 2 1 2x x f 3 1 x .Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 1. 1 6 1 6 1 6 1 6 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 7
5. 12 5 Câu 32: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y trên đoạn ; là: 7 4sin x 6 6 12 4 12 A. M ;m . B. M 4;m . 5 3 11 12 12 4 C. M ;m . D. M 4;m . 5 7 3 x 2 Câu 33: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng 3 đường tiệm x2 mx 1 cận. m 2 m 2 m 2 5 m 2 A. 2 m 2. B. . C. m . D. . m 2 2 5 m m 2 2 Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng: 3a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 35: Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A BC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và a 3 BC bằng . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA B C . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 24 3 6 . Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN. 3 3 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 730 730 370 370 Câu 37: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 3 . A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
6. Câu 38: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho AM 2MA , NB 2NB , PC PC . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối đa V diện ABCMNP và A B C MNP . Tính tỉ số 1 . V2 V V 2 V 1 V A. 1 2 B. 1 C. 1 D. 1 1 V2 V2 3 V2 2 V2 Câu 39: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD , khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng 2a , Thể tích của khối chóp có giá trị nhỏ nhất bằng A. 2 3a3 . B. 4 3a3 . C. 2a3 . D. 3 3a3 . Câu 40: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 6. 11 17 13 2 A. . B. . C. . D. . 45 45 60 9 Câu 41: Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số y f / x là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất 3 của hàm số g x f 2x 1 4x 3 trên đoạn ;1 bằng 2 A. f 1 1. B. f 2 5 . C. f 0 . D. f 1 3. 2 Câu 42: Cho phương trình log3 x 4log3 x 5 m log3 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc 27; . A. 0 m 1. B. 0 m 2 . C. 0 m 1. D. 0 m 2 . Câu 43: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0 có hai nghiệm trái dấu là A. 0;2 . B. 1;2 . C. 1; . D. ;2 . Câu 44: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a; AD 2a; AA 2a . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C ? A. 9 a2 . B. 4 a2 . C. 12 a2 . D. 36 a2 . Câu 45: Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng 8 11 16 11 A. 20 . B. . C. . D. 10. 3 3 Câu 46: Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích V 36 cm3 . Mặt phẳng AB C và A BC chia khối lăng trụ thành 4 khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện có chứa một mặt là hình bình hành BCC B . A. 15 cm3 . B. 12 cm3 . C. 9 cm3 . D. 18 cm3 .
7. Câu 47: Cho hàm số f x biết hàm số y f (x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. 1 2 2 Đặt g(x) 2 f x f x 6 , biết rằng g(0) 0 và g 2 0 . Tìm số điểm cực trị của 2 hàm số y g x . A. 3 . B. 5 . C. 7 D. 6 . y Câu 48: Cho 0 x 2021 và log3 (3x 3) x 3y 27 . Có bao nhiêu cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ? A. 4. B. 2021. C. 3. D. 2020. Câu 49: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m  5;5 để hàm số y f x2 2mx m2 1 nghịch biến trên khoảng 1 0; . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 2 A. 10 . B. 14. C. 12 . D. 15. 3 Câu 50: Cho hàm số f (x) 2e x log m x2 1 mx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình f (x) f ( x) 0 đúng với x ¡ ? A. 21. B. 4. C. Vồ số. D. 22. HẾT Trắc nghiệm khách quan: (20điểm) Mỗi đáp án đúng 0,4 điểm Câu Mã đề 132 Mã đề 209 Mã đề 357 Mã đề 485
8. 1. B D B B 2. C A A A 3. B D C C 4. A B C A 5. B A C D 6. D B C B 7. C A C A 8. C C B A 9. C D A B 10. D A A C 11. B C B A 12. A B B B 13. B D B A 14. D A B C 15. B B B C 16. D A D A 17. A A D D 18. A D D B 19. B A C A 20. A B A D 21. C B A A 22. D B A C 23. B D C C 24. D C A C 25. D C C B 26. A C D A 27. C C D C 28. D A D D 29. B D B C 30. C A D D 31. D D D C 32. D A C D 33. C B A A 34. D B D C 35. A A D B 36. D D A B 37. C D B C 38. D B B B 39. A C A D 40. C C C B 41. D C A D 42. A B C D 43. B C B B 44. A B B C 45. B D B D 46. A D B D 47. C C D C 48. C B D D 49. B C C B 50. A D A A
9. HẾT HD CHI TIẾT MỘT SỐ CÂU VD, VDC Câu 1. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 6. 13 2 17 11 A. . B. . C. . D. . 60 9 45 45 Lời giải Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn bài toán có dạng abc ( a 0 ) Theo bài ra: Vì abc chia hết cho 6 nên abc phải là số chẵn.
10. Như vậy, c có 4 cách chọn. Trường hợp 1: c = 0 Khi đó, a;b là hoán vị của bộ số 1;2 , 1;5 , 2;4 , 3;6 , 4;5 . Mỗi trường hợp có 2 cách sắp xếp. Như vậy có 5.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 1. Trường hợp 2: c 2 Khi đó, a;b là hoán vị của bộ số 0;1 , 0;4 , 1;3 , 1;6 , 3;4 , 4;6 . Mỗi trường hợp có chữ số 0 có 1 cách sắp xếp. Mỗi trường hợp không có chữ số 0 có 2 cách sắp xếp. Như vậy, có 2 + 4.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 2. Trường hợp 3: c 4 Khi đó, a;b là hoán vị của bộ số 0;2 , 0;5 , 2;3 , 2;6 , 3;5 , 5;6 . Làm tương tự trường hợp 2, có 2 + 4.2 = 10 số tự nhiên thỏa mãn bài toán trong trường hợp 3. Trường hợp 4: c 6 Khi đó, a;b là hoán vị của bộ số 0;3 , 1;2 , 1;5 , 2;4 , 4;5 . Làm tương tự trường hợp 2, trường hợp này có 1 + 4.2 = 9 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Số phần tử của không gian mẫu: n() 6.6.5 180 Xác suất để chọn được số chia hết cho 6: 10 10 10 9 39 13 P . 180 180 60 2 Câu 2 Cho phương trình log3 x 4log3 x 5 m log3 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc 27; . A. 0 m 1. B. 0 m 2 . C. 0 m 1. D. 0 m 2 . Lời giải Vì x 27;  log3 x 3 2 Đặt t log3 x t 3 ta có: t 4t 5 m t 1 t 3 m 0 . Khi đó ta có t 2 4t 5 m t 1 t 1 t 5 m t 1 Vì t 3 t 1 4 Từ điều kiện t 5 t 1 0 t 5 2 Do đó t 1 t 5 m t 1 t 1 t 5 m2 t 1 2 2 2 2 m 5 t 5 m t 1 m 1 t m 5 t 2 m 1 m2 5 6m2 Yêu cầu bài toán t 5 0 1 m 1 m2 1 m2 1 Kết hợp với điều kiện m 0 0 m 1 Câu 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0 có hai nghiệm trái dấu là A. 0;2 . B. ;2 . C. 1; .D. 1;2 . Lời giải
11. Đặt 2x t 0, phương trình đã cho trở thành: t 2 2mt 3m 3 0 . 2 1 có hai nghiệm trái dấu khi 2 có hai nghiệm phân biệt t1;t2 thỏa mãn: 0 t1 1 t2 hay: 0 m2 3m 3 0 m2 3m 3 0,m ¡ S 0 2m 0 m 0 1 m 2 P 0 3m 3 0 m 1 a. f 1 0 1 2m 3m 3 0 m 2 Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a; AD 2a; AA 2a . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C ? A. 9 a2 . B. 4 a2 . C. 12 a2 . D. 36 a2 . Lời giải Ta có: AB  BCC B AB  BC ABC vuông tại B . Lại có: B C  ABB A B C  AB AB C vuông tại B . Gọi I là trung điểm của AC IA IB IB IC R . Mặt khác, I là tâm mặt cầu ngoại 1 3a tiếp hình hộp chữ nhật nên R AB2 AD2 AA 2 . 2 2 Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C là: S 4 R2 9 a2 . Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà B. Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AD 2BC 2a và BD a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SB và ABCD bằng 30 . a3 3 a3 3 4a3 21 2a3 21 A. V . B. V . C. V . D. V . SABCD 8 SABCD 6 SABCD 9 SABCD 3 Lời giải Trong ABD µA 90 , ta có AB2 AD2 BD2 ( định lí Py-ta-go) Suy ra AB a . AB a Trong SAB µA 90 ta có SA . 3 3 AD BC .AB a 2a .a 3a2 Diện tích hình thang vuông ABCD : S . ABCD 2 2 2 1 1 a 3a2 a3 3 Thể tích khối chóp S.ABCD : V SA.S . . . SABCD 3 ABCD 3 3 2 6
12. Câu 6. Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng 8 11 16 11 A. 20 . B. . C. . D. 10. 3 3 Lời giải S H A M O B Thiết diện là tam giác SAB cân tại S . Gọi M là trung điểm AB suy ra OM  AB . Mà SO  AB . Suy ra AB  SOM . Kẻ OH  SM . Do AB  SOM AB  OH . Suy ra OH  SAB hay 2 d O, SAB OH . 1 1 1 1 1 1 Xét SOM vuông tại O có . OH 2 SO2 OM 2 22 42 OM 2 4 3 Suy ra OM . 3 8 3 SM SO2 OM 2 . 3 2 2 2 2 4 3 33 Xét tam giác OAM vuông tại M có MA OA OM 3 . 3 3 2 33 Suy ra AB 2AM . 3 1 1 8 3 2 33 8 11 Diện tích thiết diện là S SM.AB . . (đvdt). SAB 2 2 3 3 3 Câu 7. Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số y f / x là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất 3 của hàm số g x f 2x 1 4x 3 trên đoạn ;1 bằng 2
13. A. f 0 . B. f 1 1. C. f 2 5 . D. f 1 3. Lời giải Đặt t 2x 1 t  2;3 , xét hàm số h t f t 2t 1 trên  2;3 . t 1 Ta có / / , / . h x f x 2 h t 0 t 1 t 2 h/ x 0 f / x 2 x 1;3 h/ x 0 f / x 2 x 2;1 Ta có bẳng biến thiên sau Ta có min h t h 1 f 1 3 .  ;3 Câu 8: Cho hàm số f x biết hàm số y f (x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. 1 2 2 Đặt g(x) 2 f x f x 6 , biết rằng g(0) 0 và g 2 0 . Tìm số điểm cực trị của 2 hàm số y g x . A. 3 . B. 5 . C. 7 D. 6 .
14. HD: Từ đồ thị hàm số y f (x) ta có f (x) 0,x ¡ Hàm số y f x đồng biến trên ¡ . 1 2 2 1 2 2 g (x) 2x. f x 2x. f x 6 2x f x f x 6 . 2 2 2x 0 x 0 x 0 g (x) 0 x 2 . 1 2 2 1 2 2 f x f x 6 x x 6 2 2 x 2 ( do hàm số y f x đồng biến trên ¡ ) ' 9 ' g '(3) 6 f f 1 0 2 1 2 2 Vì g(x) 2 f x f x 6 là hàm số chẵn trên ¡ và có g 2 0 nên 2 g 2 g 2 a 0, g(0) b 0 . Bảng biến thiên của hàm số g x : Vậy hàm số y g(x) có 7 điểm cực trị. y Câu 9: Cho 0 x 2021 và log3 (3x 3) x 3y 27 . Có bao nhiêu cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ? A. 4. B. 2021. C. 3. D. 2020. HD: Chọn C Do 0 x 2021 nên log3 (3x 3) luôn có nghĩa . y 3 y Ta có log3 (3x 3) x 3y 27 log3 (x 1) x 1 3y 3 (1) u Đặt u log3 (x 1) x 1 3 (1) u 3u 3y 33 y (2) Xét hàm số f (t) t 3t . Tập xác định D ¡ và f (t) 1 3t ln 3 f (t) 0 t ¡ . Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Do đó (2) log3 (x 1) 3y y log27 (x 1) . Ta có 0 x 2021 nên 1 x 1 2022 suy ra 0 log27 (x 1) log27 2022 0 y log27 2022 .
15. Vì y ¢ nên y 0;1;2. Vậy có 3 cặp số (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán Câu 10. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 3 . A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Quan sát đồ thị ta có y f x đổi dấu từ âm sang dương qua x 2 nên hàm số y f x có một điểm cực trị là x 2. x 0 x 0 Ta có y f x2 3 2x. f x2 3 0 . Do đó hàm số 2 x 3 2 x 1 y f x2 3 có ba cực trị. Câu 11 Trong các khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng 2a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng A. 2 3a3 . B. 2a3 . C. 3 3a3 . D. 4 3a3 . Lời giải S L A B I O K D C Gọi Ilà trung điểm của AD; K là trung điểm của CB, O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Trong tam giác SOK kẻ đường cao OL. 1 1 Ta có d(O;(SBC)) OL và d(O;(SBC)) d(I;(SBC)) d(A;(SBC)) a . 2 2 Suy ra OL a . Đặt OK x , x a suy ra độ dài cạnh đáy hình chóp đều S.ABCD là 2x . Xét trong tam giác SOK vuông tại O có OL là đường cao, ta có
16. 1 1 1 1 1 x2 a2 a2 x2 ax 2 2 2 2 2 2 2 OS 2 2 OS OL OK a x a x x a x2 a2 1 ax 4a x3 Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là V 4x2. . 3 x2 a2 3 x2 a2 4a x3 Đặt f (x) . 3 x2 a2 2 2 2 3 x 3x x a x . 2 2 2 4a x2 a2 4a x 2x 3a f '(x) . 2 2 . 3 x a 3 x2 a2 x2 a2 a 6 f '(x) 0 x . 2 Bảng biến thiên: a 6 Suy ra MinV Min f (x) f 12a3 2 3a3. x a; 2 Câu 12. Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường a 3 thẳng AA và BC bằng . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA B C . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 24 12 3 6 Lời giải Chọn B A' C' H B' A C G M B M là trung điểm của BC thì BC  AA M . Gọi MH là đường cao của tam giác A AM thì
17. MH  A A và HM  BC nên HM là khoảng cách AA và BC . a 3 a 3 a2 Ta có A A.HM A G.AM .A A A A2 4 2 3 a2 4a2 4a2 2a A A2 4 A A2 3A A2 A A2 A A . 3 3 9 3 4a2 3a2 a Đường cao của lăng trụ là A G . 9 9 3 a 3a2 a3 3 Thể tích V . . LT 3 4 12 Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y x3 3x2 m2 3m 2 x 5 đồng biến trên 0; 2 ? A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Lời giải Ta có y x3 3x2 m2 3m 2 x 5 y 3x2 6x m2 3m 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 khi y 0,x 0;2 và dấu '' ''chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng 0; 2 . 3x2 6x m2 3m 2 0, x 0;2 3x2 6x m2 3m 2 * x 0;2 Xét hàm số g x 3x2 6x, x 0;2 . Ta có g x 6x 6 0,x 0;2 . Bảng biến thiên: Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để * xảy ra là: m2 3m 2 0 . 1 m 2. Do m ¢ m 1; 2 . Câu 14. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích V 36 cm3 . Mặt phẳng AB C và A BC chia khối lăng trụ thành 4 khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện có chứa một mặt là hình bình hành BCC B . A. 18 cm3 . B. 15 cm3 . C. 9 cm3 . D. 12 cm3 . Lời giải Chọn B
18. A' C' B' J I A C B Gọi I AB  A B , J A C  AC . Ta có VIJBB'C 'C VA.BB'C 'C VA.BCIJ . 2 2 Mặt khác V V V V V V 24 . A.A B C A.BCC B ABC.A B C A.BCC B 3 ABC.A B C 3 VA.IJA AI AJ 1 1 1 Ta lại có . VA.IJA . .36 3 . VA.A B C AB AC 4 4 3 1 V V V .36 3 9 . A.IJBC A .ABC A.IJA 3 3 Vậy VIJBB'C 'C 24 9 15 cm . Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết S· BA S· CA 90o , SA a 3 . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 90o .B. 30o .C. 45o . D. 60o . Lời giải Chọn B S H A C B Kẻ CH  SA , chứng minh được BH  SA . Do đó, góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng SAB , SAC CH, BH . CA.CS a 6 Ta có, CH , CB a 2 . SA 3
19. CH 2 BH 2 BC 2 1 Xét tam giác CHB , có cos H . 2.HB.HC 2 Vậy SAB , SAC CH, BH 60o . y 1 Câu 16. Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log3 x 1 y 1 9 x 1 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là 11 27 A. P . B. P . C. P 5 6 3 . D. P 3 6 2 . min 2 min 5 min min Lời giải Chọn D y 1 Ta có log3 x 1 y 1 9 x 1 y 1 y 1 log3 x 1 log3 y 1 x 1 y 1 9 . y 1 log3 x 1 log3 y 1 x 1 9 9 log x 1 x 1 log y 1 3 y 1 3 9 9 log x 1 x 1 2 2 log (*). 3 y 1 3 y 1 1 Xét hàm số f t log t t 2 với t 0 có f t 1 0 với mọi t 0 nên hàm số 3 t ln 3 f t luôn đồng biến và liên tục trên 0; . 9 9 8 y Từ (*) suy ra x 1 x 1 , do x 0 nên y 0;8 . y 1 y 1 y 1 8 y 9 9 Vậy P x 2y 2y 2y 1 2 y 1 3 3 6 2 . y 1 y 1 y 1 9 3 Vậy P 3 6 2 khi 2 y 1 y 1. min y 1 2 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN. 3 3 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 730 370 370 730 Lời giải Chọn B
20. S A D H N A D I N J I B C J M E B M E C - Vì hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD S· BA 60 là góc giữa SB và mặt phẳng đáy SA AB.tan 60 3 3 . - Trong mặt phẳng ABCD dựng NE // DM cắt BC tại E , cắt AC tại J . Gọi I là giao điểm của DM và AC . Ta có: DM // NE DM // SNE d DM ;SN d DM ; SNE d I; SNE . CJ CE CN 2 1 Do NE // DM IJ IC . CI CM CD 3 3 IC CM 1 1 1 1 Lại có: BC // AD IC IA IJ IA IJ AJ IA AD 3 3 9 10 d I; SNE IJ 1 1 Mặt khác: d I; SNE d A; SNE . d A; SNE AJ 10 10 - Xét tam giác DAN và tam giác CDM có: DA CD , DN CM , ·ADN D· CM 90 DAN CDM (c.g.c) D· AN C· DM D· AN ·ADM C· DM ·ADM 90 AN  DM AN  NE NE  SAN SNE  SAN (có giao tuyến là SN ). - Dựng AH  SN tại H AH  SNE AH d A; SNE . - Ta có: SA 3 3 , AN AD2 DN 2 10 . 1 1 1 1 1 37 3 30 AH AH 2 SA2 AN 2 27 10 270 37 1 3 3 d DM ;SN AH . 10 370 Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m  5;5 để hàm số y f x2 2mx m2 1 nghịch biến 1 trên khoảng 0; . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 2
21. A. 10 .B. 14. C. 12 . D. 15. Lời giải x 1 Dựa vào đồ thị của hàm số f x ta thấy f x 0 và f x 0 x 2 x 2 Ta có: y 2x 2m f x2 2mx m2 1 2 x m f x m 2 1 x m x m 0 2 y 0 2 x m 1 1 f x m 1 0 2 x m 1 2 2 2 x m 1 1 x m 2 phương trình vô nghiệm 2 2 x m 1 x m 1 x m 1 2 x m 1 x m 1 x m 1 2 2 2 x m 1 x m 1 Lại có: f x m 1 0 x m 1 2 x m 1 x m 1 x m 1 Bảng biến thiên: Do đó, hàm số y f x2 2mx m2 1 nghịch biến trên 1 m 1 3 2 m 1 2 0; m 0 2 1 1 m 0 m 1 2 2 Mà m nguyên và m  5;5 m S 0;2;3;4;5 Vậy tổng các phần tử của S là 0 2 3 4 5 14 .
22. Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho AM 2MA , NB 2NB , PC PC . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của V hai khối đa diện ABCMNP và A B C MNP . Tính tỉ số 1 . V2 V V 1 V V 2 A. 1 2 B. 1 C. 1 1 D. 1 V2 V2 2 V2 V2 3 Lời giải Chọn C A' C' M B' P A C N B Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . Ta có V1 VM .ABC VM .BCPN . 1 1 2 2 VM .ABC SABC .d M , ABC . SABC .d A , ABC V . 3 3 3 9 1 1 1 1 VM .A B C SA B C .d M , A B C . SA B C .d M , A B C V . 3 3 3 9 7 Do BCC B là hình bình hành và NB 2NB , PC PC nên S S . B C PN 5 BCPN 7 Suy ra V V , Từ đó V V V V V M .B C PN 5 M .BCPN M .ABC M .BCPN M .A B C M .B C PN 2 1 7 5 V V V V V V V . 9 M .BCPN 9 5 M .BCPN M .BCPN 18 2 5 1 1 V1 Như vậy V1 V V V V2 V . Bởi vậy: 1. 9 18 2 2 V2 3 Câu 20. Cho hàm số f (x) 2e x log m x2 1 mx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình f (x) f ( x) 0 đúng với x ¡ ? A. 21. B. 4. C. Vồ số. D. 22. Lời giải Xét bất phương trình: f (x) f ( x) 0,x ¡ 3 3 2e x 2ex log m x2 1 mx log m x2 1 mx 0,x ¡ 1 2 2 m x 1 x 0 m x 1 mx 0 Ta phải có điều kiện ,x ¡ ,x ¡ * . m x2 1 mw 0 m x2 1 x 0
23. + Ta có x2 1 x2 | x |,x ¡ nên từ * suy ra m 0 . Khi đó 1 2 e x ex 3log m x2 1 mx m x2 1 mx 0,x ¡ 1 2 e x ex 3log m2 0,x ¡ log m e x ex ,x ¡ 2 . 3 2 Mà ta có e x ez 2 e x ex 2 nên để 2 đúng x ¡ thì log m 0 m 3 100 . 3 Vì m nguyên nên ta được m {1;2;3;4} .