Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2009-2010 môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2009-2010 môn Toán 7

1. PHềNG GD&ĐT ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI o0o NĂM HỌC 2009-2010 Mụn: Toỏn 7. ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 120phỳt, khụng kể thời gian giao đề) Bài 1(4 điểm) a/ Tớnh: 3 3 3 1 1 1 A= 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khỏc 0 thỏa món điều kiện: y z x z x y x y z x y z Hóy tớnh giỏ trị biểu thức: x y z B = 1 1 1 . y z x Bài 2 (4điểm) 1 2 a/ Tỡm x,y,z biết: x y x2 xz 0 2 3 b/ CMR: Với mọi n nguyờn dương thỡ 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10. Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sỏch dày 555 trang được giao cho 3 người đỏnh mỏy. Để đỏnh mỏy một trang người thứ nhất cần 5 phỳt, người thứ 2 cần 4 phỳt, người thứ 3 cần 6 phỳt. Hỏi mỗi người đỏnh mỏy được bao nhiờu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cựng nhau làm từ đầu đến khi đỏnh mỏy xong. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH BC (H BC). Biết gúc HBE bằng 50 0; gúc MEB bằng 250, tớnh cỏc gúc HEM và BME ? Bài 5(2điểm): Tỡm x, y N biết: 36 y2 8 x 2010 2
2. Hướng dẫn chấm Bài ý Nội dung Điểm a 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3x135 3 1 4 11 13 2 4 11 13 2 3 4 + 2 3 4 =4x11x13 + 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5 1 1 1 5x129 5 2 5 7 11 13 4 6 8 7 11 13 2 2 3 4 7x11x13 4 điểm 3x135 7x11x13 2 189 2 189x5 172x2 1289 =x + = = = 4x11x13 5x129 5 172 5 172x5 860 y z x z x y x y z y z z x x y b Ta cú: 1 1 1 0,5 x y z x y z y z z x x y 2 x y z 2 x y z x y z 0,5 x y z x y y z z x B 1 1 1 . . 0,5 y z x y z x x y z x y z . . 2.2.2 8 0,5 z y x Vậy B=8 a 1 2 x y x2 xz 0 2 2 3 Áp dụng tớnh chất A 0 0,25 1 1 1 x 0 x 0 x 2 2 2 2 2 2 y 0 y 0 y 1,5 4 điểm 3 3 3 x2 xz 0 x x z 0 1 z x 2 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 b Ta cú: 3n 2 2n 2 3n 2n = (3n 2 3n ) (2n 2 2n ) 0,75 3n 32 1 2n 22 1 0,5 3n .10 2n .5 = 10.(3n – 2n-1) 0,5 n n-1 Vỡ 10.(3 – 2 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyờn dương 0,25 Suy ra điều phải chứng minh. Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đỏnh mỏy được 0,5 theo thứ tự là x,y,z. 3 Trong cựng một thời gian, số trang sỏch mỗi người đỏnh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đỏnh xong 1 trang; tức là số trang 3 1,0 người đỏnh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
3. 1 1 1 4điểm Do đú ta cú: x : y:z : : 12 :15:10 . 0,75 5 4 6 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: x y z x y z 555 15 0,75 12 15 10 12 15 10 37 0,75 x 180; y 225; z 150 . Vậy số trang sỏch của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đỏnh được lần 0,25 lượt là: 180, 225, 150 . (2 điểm) A 4 a Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) I gúcãAMC bằng gúc Eã MB (đối đỉnh ) B M C BM = MC (gt ) H Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) 0,75 AC = EB K 0,25 Vỡ AMC = EMB => Gúc MAC bằng gúc MEB E 0,5 (2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b 0,5 (2 điểm) Xột AMI và EMK cú : 6 điểm AM = EM (gt ) Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nờn AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ãAMI = Eã MK 0,5 0,5 Mà ãAMI + IãME = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự ) ã ã o EMK + IME = 180 0,5 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 c (1,5 điểm ) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã BE = 90o - Hã BE = 90o - 50o =40o (1.0đ) Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o = 15o 0,5 Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM 0,5 Nờn Bã ME = Hã EM + Mã HE = 15o + 90o = 105o ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) 0,5 Ta cú: 36 y2 8 x 2010 2 y2 8 x 2010 2 36 . 0,25
4. 5 2 2 2 36 Vỡ y 0 8 x 2010 36 (x 2010) 8 0,25 Vỡ 0 (x 2010)2 và x N , x 2010 2 là số chớnh phương nờn (x 2010)2 4 hoặc (x 2010)2 1 hoặc (x 2010)2 0 . 0,5 x 2012 + Với (x 2010)2 4 x 2010 2 x 2008 2 điểm 2 y 2 y 4 0,25 y 2(loai) + Với (x 2010)2 1 y2 36 8 28 (loại) 0,25 2 2 y 6 + Với (x 2010) 0 x 2010 và y 36 y 6 (loai) 0,25 Vậy (x, y) (2012;2); (2008;2); (2010;6). 0,25 Chỳ ý : Nếu học sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn chấm điểm tối đa. tài nguyờn giỏo dục