Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn Toán 7

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2008 – 2009 MễN : TOÁN 7 Thời gian : 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. 1 1 1 1 1 1 a. Chứng minh rằng: 65 53 63 73 20043 40 b. Cho A = 1. 3. 5. 2009. Chứng minh rằng ba số : 2A - 1 ; 2A ; 2A + 1 đều không phải là số chính phương. Cõu 2. Cho f(x) là hàm số xỏc định với mọi x 0 và thỏa món: a. f (1)= 1; 1 1 b. f ( ) = . f(x) với mọi x 0; x x 2 c. f (x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2 0 và x1 + x2 0 5 5 Chứng minh rằng : f 7 7 Cõu 3. a. Cho . Chứng minh rằng: ( abc 0 và các mẫu số khác không) b. Tỡm một số cú ba chữ số biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ với 1:2:3. Cõu 4. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Cõu 5. Cho tam giỏc ABC, I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc gúc B và gúc C, M là trung điểm của BC. Biết gúc BIM = 90 0 và BI = 2 IM. a. Tớnh gúc BAC; b. Vẽ IH  AC. Chứng minh rằng BA = 3 IH. Lưu ý: Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm !
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MễN : TOÁN 7 A. Hướng dẫn chung - Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày túm tắt lời giải theo một cỏch, nếu thớ sinh làm theo cỏch khỏc đỳng, cỏc giỏm khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm. - Với những ý đỏp ỏn cho từ 0,5 điểm trở lờn, nếu cần thiết cỏc giỏm khảo cú thể thống nhất để chia nhỏ từng thang điểm. - Thớ sinh làm đỳng đến đõu, cỏc giỏm khảo vận dụng cho điểm đến đú. - Điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần, khụng làm trũn. B. Đỏp ỏn và biểu điểm. Bài Hướng dẫn giải Thang điểm 1 a 0.5 Đặt Xột tương tự ta cũng cú 0.5 Tớnh VT của BDT, ta cú: 0.5 Ta cú: Phần lớn hơn, làm tương tự. Xột 0.5 1b Ta có 2A chia hết cho 2 nhưng 2A không chia hết cho 4 nên 2A không 0.5 là số chính phương. 2A - 1 = ( 2A - 3) + 2 2A - 1 chia cho 3 dư 2 2A - 1 không là số 0.5 chính phương. Giả sử 2A + 1 = k2 , k là số nguyên lẻ 2A = k2 - 1 = (k - 1)(k + 1)  4 (Vì k - 1 và k + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên (k - 1)(k + 1) chia hết cho 4) Vô lý. 1 Vậy 2A + 1 không là số chính phương. Vậy 3 số 2A - 1, 2A, 2A + 1 không là số chính phương. 2 Theo a); c) : f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = 2 0.5 f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = 3 0.5 f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = 5 0.5 f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = 7 0.5 Theo b) và cỏch phõn tớch f(7) ta cú : f(1 ) =1 f(7) = 1 .7 = 1 7 7 2 7 2 7 0.5 Từ đú ỏp dụng c) ta được:
3. 2 1 1 1 1 1 1 2 0.5 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + = 7 7 7 7 7 7 7 7 3 2 1 2 1 2 1 3 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + = 7 7 7 7 7 7 7 7 0.5 5 3 2 3 2 3 2 5 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + = 7 7 7 7 7 7 7 7 0.5 3 a Từ giả thiết suy ra: = (1) 0.5 2x y z 2x y z (2) 0.5 2a 4b 2c 2a b c 4a 4b c 9b 4x 4y z = (3) 0.5 9c 2x y z 4x 4y z Từ (1), (2), (3) suy ra: = 9b 9c 9a 9b 9c x 2y z 2x y z 4x 4y z a b c 0.5 . x 2y z 2x y z 4x 4y z 3b Số x cần tỡm chia hết cho 18= 9. 2; mà (9;2) = 1 nờn x chia hết cho 2 và 0.5 x chia hết cho 9. Gọi 3 chữ số của x là a; b; c a b c a b c 0.5 Theo giả thiết: (1) 1 2 3 6 Vỡ x chia hết cho 9 nờn a+b+c 9 , mà 1 a+b+c 27, do đú a+b+c nhận một trong ba giỏ trị : 9; 18 ; 27. Kết hợp với (1) ta cú a+b+c = 18 0.5 Do đú a= 3; b= 2.3 = 6, c= 3.3 = 9 Vỡ x phải chia hết cho 2 nờn x = 396 hoặc 936. 0.5 4 E F I 1 A C B H M D
4. Đường thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM 3 =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC 5 1 A H I k K l 2 1 2 j 1 B C M a Theo bài ra: BI= 2 IM, do đú lấy K là trung điểm của BI. Ta cú KIM 1.5 vuụng cõn, IMK = 450, KM là đường TB của BIC, do đú KM// IC CIM = IMK = 450 Suy ra BIC = 1350, B1+C1= 450, B+ C = 900 Vậy BAC =900 b Gọi E là giao điểm của BI và AC. Ta cú BIC = 1350 nờn CIE = 450. Do 1.5 CIE = CIM (g.c.g) nờn IE = IM Do đú BK = KI= IE. Từ đú dễ dàng chứng minh được BA = 3 IH Tổng điểm 20