Đề thi KĐCL mũi nhọn - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề thi KĐCL mũi nhọn - Môn thi: Toán 8

1. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 2xy y2 4x 4y 5 b) Chứng minh n ¥ * thì n3 n 2 là hợp số c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ Câu 2. x 1 x 2 x 3 x 2012 a) Giải phương trình : 2012 2012 2011 2010 1 b) Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1. Tính S a2 b2012 c2013 Câu 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 b) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: a b c a b c a b c a b c Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.M lầ giao điểm của CE và DF a) Chứng mnh tứ giác EFGH là hình vuông b) Chứng minh DF  CE và MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x y 2 4 x y 5 x y 2 4 x y 2 4 9 x y 2 2 32 x y 5 x y 1 b) Ta có: n3 n 2 n3 1 n 1 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 n2 n 2 Do n N * nên n 1 1 và n2 n 2 1 . Vậy n3 n 2 là hợp số c) Gọi hai số lần lượt là a2 và a 1 2 Theo đề bài ra ta có: a2 a 1 2 a2 a 1 2 a4 2a3 3a2 2a 1 2 a4 2a3 a2 2 a2 a 1 a2 a 2 a2 a 1 2 = a2 a 1 là một số chính phương lẻ vì a2 a a a 1 là số chẵn a2 a 1là số lẻ Câu 2. a) Phương trình đã cho tương đương với: x 1 x 2 x 3 x 2012 1 1 1 1 0 2012 2011 2010 1 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 1 1 1 1 x 2013 x 2013 2012 2011 2010 1
3. b) a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 a;b;c  1;1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 0 a3 b3 c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0hoặc 1 b2012 b2;c2013 c2; S a2 b2012 c2013 1 Câu 3. a) Ta có: A 2 x2 2xy y2 y2 8x 2y 18 A 2 x y 2 4 x y 4 y2 6y 9 1 A 2 x y 2 2 y 3 2 1 1 x 5 Vậy min A 1 y 3 b) Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a b c 0; a b c 0;a b c 0 Đặt x a b c 0; y a b c 0; z a b c 0 y z x z x y Ta có: x y z a b c;a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz 3x 3y 3z 3 x y z . 2 2 2 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y . 3 x y z . . . 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 . 3 x y z x y z x y z 4 Mà x y z a b c nên suy ra điều phải chứng minh.
4. Câu 4. A E B H M F D G C a) Chứng minh EFGH là hình thoi và có 1 góc vuông nên EFGH là hình vuông b) BEC CFD c.g.c E· CB F· DC mà CDF vuông tại C nên C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M Hay CE  DF Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự : AG  DF GN / /CM mà G là trung điểm của DC nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MAD cân tại A CD CM c) CMD : FCD g.g FD FC 2 2 SCMD CD CD Do đó: SCMD .SFCD SFCD FD FD
5. 1 1 Mà S .CF.CD CD2 FCD 2 4 CD2 1 Vậy S . CD2 CMD FD2 4 Trong DCF theo Pytago ta có: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD CD 2 4 4 CD2 1 1 1 Do đó: S . CD2 CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 5 4