Đề thi hsg năm 2011-2012 môn Toán lớp 7 - Trưòng THCS Đáp Cầu

Nội dung text: Đề thi hsg năm 2011-2012 môn Toán lớp 7 - Trưòng THCS Đáp Cầu

1. PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI HSG NĂM 2011-2012 TRƯÒNG THCS ĐÁP CẦU Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1(3điểm): a) So sánh hai số : 330 và 520 3 10 9 b) Tính : A = 16 .3 120.6 46 .3 12 6 11 Câu 2(2điểm): Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z x 1 x 2 x 3 x 4 Câu 3(4điểm):: a) Tìm x biết : 2009 2008 2007 2006 b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của 2 2 x; y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y1 + y2 = 52 và x1=2 , x 2= 3. Câu 4(2điểm):: Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết f(1) 3; f (0)  3; f ( 1)  3.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Câu 5(3điểm):: Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 . a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm củ A(x) b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1 2 Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm 10 10 303 10 20 2 10 10 30 20 1.5đ a)3 3 27 ;5 5 25 27 3 5 3 410 2 9 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 212 .3 10 3 10 .2 12 .5 212 .3 10 1 5 1 b) P 6 12 12 11 11 11 11 212 11 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 1.5đ 6.212 .3 10 4.2 11 .3 11 4 7.211 .3 11 7.2 11 .3 11 7 Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy 1đ x z y x z y x y z ;; .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau y x z y x z y z x 2 x y z x y z 1 x y z 1đ y z x y z x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 1đ x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2009 2008 2007 2006 a x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 1 1 1 1 1đ x 2010 0 x 2010 0 x 2010 2009 2008 2007 2006 Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 2 2 2 2 2 2 1đ xyy1222 yyy 212 y 1 yyyy 1212 52 4 x2 y 1 y 1 323 2 3 949413 b 2 )y 36 y 6 1 1 Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ; 1đ Với y1 = 6 thì y2= 4 . Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c 1đ 4
3. )f (0) 3 c  3 )f (1) 3 a b c  3 a b  3 1 1đ )f ( 1) 3 a b c  3 a b  3 2 Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2a  3 a  3 vì ( 2; 3) = 1 b3 Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 5 A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) a Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) 1 1 1 1 1 1 1 Với x= thì giá trị của đa thức A = 1.5đ 2 2 22 2 3 2 98 2 99 2 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.A 2 ( ) =1 2 22 2 3 2 98 2 99 2 100 2 22 2 3 2 98 2 99 b 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A =( ) +1 - 2AA 1 2 22 2 3 2 98 2 99 2 100 2100 2100 1 A 1 2100 A 6 B M H N C K Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AM 2đ a Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900 AH  BC
4. Tính AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16 AH = 4cm 2đ b Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17 AM = 17 cm Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- 2đ c g- c) MAN = BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM BA > BK BKA > BAK  MAN >BAM=CAN
5. PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A = (a b )( x y ) ( a y )( b x ) abxy() xy ay ab by Với a = 1 ; b = -2 ; x = 3 ; y = 1 3 2 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < < a9 thì: a a a 1 2 9 3 a3 a 6 a 9 Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó. Bài 4: Cho 2 biểu thức: 2 A = 4x 7 ; B = 3x 9 x 2 x 2 x 3 a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên. Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.
6. PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS ĐAP CẦU LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Điểm Điểm Bài Cách giải TP toàn bài (a b )( x y ) ( a y )( b x ) A = abxy() xy ay ab by axy()()()() bxy abx ybx = 0,5 abxy() xy ay ab by ax ay bx by ab ax by xy = 0,5 abxy() xy ay ab by ay bx ab xy = 1 abxy() xy ay ab by 0,5 2,5 ()xy ay ab by = abxy() xy ay ab by 0,25 = 1 abxy 0,25 1 3 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 1 1 3 0,5 3 2 ( 2)   1 3 2 Ta có: 0 0 nên ta được: 3 0,5 a3 a 6 a 9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C 0,25 theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta có: SA 4 SB 7 ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = S 5 S 8 0,5 B C 24(m) Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có: 3 1 4,5 S4 r r r r r 27 AA ABAB 3 S5 r 4 5 4 5 9 BB 0,25 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có: 1 SBB7 d 7dC 7.24 dB = 21 (m) = dA SCC8 d 8 8
7. 2 Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 0,5 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 0,5 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 0,5 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta có: A = = 4 0,5 x 2 x 2 x 2 Với x Z thì x - 2 Z. 1 Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1 0,25 x 2 Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1 Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1 0,5 3x2 9 x 2 3x ( x 3) 2 2 4 +) B = = 3x 3 x 3 x 3 x 3 0,5 Với x Z thì x - 3 Z. 2 Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2 x 3 0,25 Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 0,5 b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1 0,5 A ABC có AB = AC. GT DB = CE (D tia đối của CB; E tia đ ố i c ủ a BC) H K a) ADE cân M 0,5 b) MB = MC, ch ứ ng minh AM D B C E KL l à tia ph â n gi á c g ó c DAE O c) BH  AD = H; CK  AE = K chứng minh: BH = CK Chứng minh: a) ABC cân có AB = AC nên:  CC   5 8 Suy ra:  D  CE 0,5 Xét ABD và ACE có: AB = AC (gt)  D  CE (CM trên) DB = CE (gt) Do đó ABD = ACE (c - g - c) 1 AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A. 0,5 b) Xét AMD và AME có: MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do đó AMD = AME (c - c - c) 1 MAD MAE .
8. Vậy AM là tia phân giác của DAE c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên ADE AED 0,5 Xét BHD và CKE có: 0,25 BDH CEK (Do ADE AED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn) Do đó: BH = CK. 1 d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. 0,5 Xét AHO và AKO có: 0,25 OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE )) AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông) Do đó OAH OAK nên AO là tia phân giác của KAH hay AO là 1 tia phân giác của DAE . Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của DAE . 0,25 Do đó AO  AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O. 0,75