Đề thi HSG - Môn: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi HSG - Môn: Toán lớp 8

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI DUY XUYÊN NĂM HỌC : 2017-2018 Môn: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. (3,5 điểm) a) Chứng minh n3 17n chia hết cho 6với mọi n ¢ x2 a 1 a a2 x2 1 b) Rút gọn biểu thức: x2 a 1 a a2 x2 1 Bài 2. (4,5 điểm). a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8mdừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. a2 b2 b) Biết a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính M 2018 Bài 3. (4 điểm) a) Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Bài 4. (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD,BC,DC a) Chứng minh APQR là hình thang cân b) Biết AB 6cm, AC 8cm. Tính độ dài của AR Bài 5. (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh: 1 1 1 BN BM BK Bài 6. (1,0 điểm) Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 4a2b2 0
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1 nên chia hết cho 6 18n6 , suy ra điều phải chứng minh b) 2 2 2 x a 1 a a x 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 x2 a 1 a a2 x2 1 x2 x2a a a2 a2 x2 1 2 2 2 x2 x2a a2 x2 1 a a2 x 1 a a 1 a a x2 x2a a2 x2 1 a a2 x2 1 a a2 1 a a2 2 2 x 1 1 a a 1 a a2 x2 1 1 a a2 1 a a2 Bài 2. a) Gọi x là số lần đi x ¥ , x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 2 2 2 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 1 x 1 x(x 1) 1 2 3 x 1 2 2 Lập được phương trình x 10 (tm) x(x 1) 2 x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m)
3. b) a3 3ab2 5 a6 6a4b2 9a2b4 25 b3 3a2b 10 b6 6a2b4 9a4b2 100 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 2 2 3 a b 5 a2 b2 53 2018 2018 Bài 3. a) x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X 2 X 12 0 X 2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 b) P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2
4. Bài 4. A D P R C B Q a)PQ là đường trung bình tam giác BDC, suy ra PQ / / AR nên APQR là hình thang. 1 AQ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) 2 1 PR BC (đường trung bình tam giác DBC) 2 Suy ra AQ PR APQR là hình thang cân b) Tính được BC 10cm Tính chất đường phân giác trong của ABC DA BA DA BA DC BC AC BC BC Thay số tính đúng AD 3cm,DC 5cm,DR 2,5cm Kết quả AR 5,5cm Bài 5. A B N D M C K
5. AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet có: MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB BM BM AB MC AB MD MC MD Từ (1) và (2) BN BK AB AB AB BM BM Mà MC MD CD AB nên 1(Điều phải chứng minh) BN BK Bài 6. 2 a2 b2 c2 4a2b2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 a b 2 c2 a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.