Đề thi học sinh giỏi vào câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận - Môn Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi vào câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận - Môn Toán

1. PHềNG GD&ĐT QUẬN LONG BIấN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀO CÂU LẠC BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC MễN HỌC EM YấU THÍCH CẤP QUẬN (Đề thi gồm 01 trang) NĂM HỌC: 2019 – 2020 Mụn: Toỏn Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề) 2x2 4 x 8 Bài 1. Cho biểu thức A 3 2 . 2 2 với x 0 và x 2 x 8 x 2x 4 x 2x 4 a) Chứng minh A . x2 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A biết 2x 3 x 1 . Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau 4 1 5 a) x2 4 x2 5x 6 4 2 2 b) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x Bài 3. 1) Cho a là tớch của 2020 số nguyờn tố đầu tiờn. Chứng minh rằng: a 1 khụng là số chớnh phương. 2) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món điều kiện: 4x2 8x 38 6y2 Bài 4. Cho ABC vuụng tại A cú AB AC . Kẻ đường cao AH (H BC ), phõn giỏc AM (M BC ). Kẻ ME vuụng gúc với tại E , MF vuụng gúc với AC tại F . a) Cho AB 9cm, AC 12cm. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng BC và AH. b) Chứng minh: BE.BA BH.BM và HE là tia phõn giỏc của gúc A HB. BE HB c) Chứng minh:  CF HC Bài 5. 1) Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b3 ab a b 2) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện: a b c 2020 . Tỡm giỏ trị lớn 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3 nhất của biểu thức: A ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2  HẾT 
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MễN TOÁN 8 (2019 – 2020) 2x2 4 x 8 Bài 1. Cho biểu thức A 3 2 . 2 2 với x 0 và x 2 x 8 x 2x 4 x 2x 4 a) Chứng minh A x2 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A biết 2x 3 x 1 Lời giải 2x 4 a) Chứng minh A x2 2x2 4 x 8 A 3 2 . 2 2 x 8 x 2x 4 x 2x2 4 x(x 2) 2x2 8 A 2 2 . 2 2 (x 2)(x 2x 4) (x 2)(x 2x 4) x x 2x2 4 x2 2x 2x2 8 A 2 . 2 2 (x 2)(x 2x 4) x x x2 2x+4 2x2 8 A 2 . 2 (x 2)(x 2x 4) x 1 2(x 2)(x 2) A . 2 (x 2) x 2x 4 A x2 2x 4 Vậy A x2 b) Ta cú 2x 3 x 1 2x 3 1 x 2 Với x , ta cú 2x 3 2x 3 3 Khi đú 2x 3 1 x x 2 (thỏa món). 2 Với x ta cú 2x 3 2x 3 3 Khi đú 2x 3 1 x x 4 x 4 (khụng thỏa món) Với x 2 thay vào biểu thức A ta cú 2.2 4 A 2 22 Vậy với x 2 thỡ A= 2
3. Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau 4 1 5 a) x2 4 x2 5x 6 4 2 2 b) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x Lời giải Điều kiện x 2; x 3 4 1 5 a) x2 4 x2 5x 6 4 4 1 5 x 2 x 2 x 2 x 3 4 4 x 3 x 2 5 x 2 x 2 (x 3) x 2 x 3 (x 2) 4 4 x 3 x 2 5 x 2 x 2 (x 3) 4 5x 10 5 x 2 x 2 (x 3) 4 5 5 x 2 (x 3) 4 5(x2 x 6) 20 (x2 x 6) 4 x2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1(TM ) x 2(KTM ) Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1 2 2 b) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x Đặt x2 x t x2 4 a Phương trỡnh trở thành t 2 a2 2ta t 2 2ta a2 0 (t a)2 0 t a Với t a ta cú x2 x x2 4 x 4 . Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 4 . Bài 3.
4. 1) Cho a là tớch của 2020 số nguyờn tố đầu tiờn. Chứng minh rằng a 1 khụng là số chớnh phương. 2) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món điều kiện: 4x2 8x 38 6y2 Lời giải a) Vỡ trong 2020 số nguyờn tố đầu tiờn chỉ cú 2 là số nguyờn tố chẵn duy nhất nờn a chẵn và a khụng chia hết cho 4 1 a 1 là số lẻ. Giả sử a 1 là số chớnh phương thỡ tồn tại số nguyờn dương k sao cho a 1 2k 1 2 a 1 4k 2 4k 1 4k k 1 a4 . Điều này trỏi với 1 Vậy a 1 khụng phải là số chớnh phương. 2 2) 4x2 8x 38 6y2 2x2 4x 19 3y2 2 x 1 3 7 y2 * Ta thấy 2 x 1 2 2 7 y2 2 y2 là số lẻ. Ta lại cú 7 y2 0 y2 7 y 1 Lỳc đú: 2 x 1 2 18 x 1 3 x 2; 4 Ta thấy cỏc cặp số 2;1 , 2; 1 , 4;1 , 4; 1 thỏa món * nờn là nghiệm của phương trỡnh. Bài 4. Cho ABC vuụng tại A cúAB AC . Kẻ đường cao AH (H BC ), phõn giỏc AM (M BC ). Kẻ ME vuụng gúc với AB tại E, MF vuụng gúc với AC tại F . a) Cho AB 9cm, AC 12cm. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng BC và AH. b) Chứng minh: BE.BA BH.BM và HE là tia phõn giỏc của gúc A HB. BE HB c) Chứng minh:  CF HC Lời giải:
5. B 1 H 1 2 1 M E 2 3 4 1 2 3 A C F a) Ta cú: B(Pi-Ta-Go)C AB2 AC 2 92 122 15 cm Mà: 1 1 AB.AC 9.12 S AB.AC AH.BC hay AB.AC AH.BC AH 7,2 cm ABC 2 2 BC 15 ã ả b) Ta cú: (đồngM1 vị)C ả ả ả ảA ãM ảC Mà: A1 C (cựng phụ với B ) 1 1 ả ã A1 M 1 cmt Xột BEM và BHA cú: BEM ∽ BHA g.g ả B Chung BE BM BE.BE BH.BM (đpcm) BH BA BE BM cmt Xột BHE và BAM cú: BH BA BHE ∽ BAM c.g.c ả B Chung ãBHE ãBAM (2 gúc tương ứng) ã ã ã Mặt khỏc: AM là tia phõn giỏc của BAC gt BAM A2 45 ã ã ã ã ã BHE BAM 45 H1 H2 45 HE là tia phõn giỏc của AHB (đpcm) ả ả ả E A F 90 gt c) Ta cú: là hỡnh vuụng Y EMFA ã ã BAM MAC 45 gt EM MF FA AE
6. ả ả E H 90 Mà: BEM ∽ AHC g.g Do : ãM ảC 1 BE EM BE.HC AH.EM AH.MF Do : EM MF 1 AH HC ả ã B M 4 Mặt khỏc: BHA ∽ MHC g.g Do : ảA ảC 1 BH HA BH.CF AH.MF 2 MF FC BE HB Từ (1) và (2) BE.HC BH.CF AH.MF (đpcm) CF HC Bài 5. 1) Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b3 ab a b . 2) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện: a b c 2020 . Tỡm giỏ trị lớn 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3 nhất của biểu thức: A ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2 Lời giải 1) Giả sử a3 b3 ab a b a3 b3 ab a b 0 a b a2 ab b2 ab a b 0 a b a2 ab b2 ab 0 2 a b a b 0 , đỳng với mọi số thực dương a,b Dấu bằng xảy ra khi a b Vậy a3 b3 ab a b 5b3 a3 1) Trước hết ta chứng minh BĐT: 2b a ab 3b2 Giả sử 5b3 a3 2b a ab 3b2 5b3 a3 ab 3b2 2b a 5b3 a3 2ab2 a2b 6b3 36ab2
7. ab2 a2b a3 b3 a3 b3 ab a b , đỳng với mọi số thực dương a,b . Dấu bằng xảy ra khi a b 5b3 a3 Vậy 2b a ab 3b2 Chứng minh tương tự ta cú 5c3 b3 2c b Dấu bằng xảy ra khi c b bc 3c2 5a3 c3 2a c Dấu bằng xảy ra khi a c ca 3a2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức 1 2 3 ta được. A 2b a 2c b 2a c a b c 2020 . Dấu bằng xảy ra khi a b c 1 Vậy .Max A 2020 a b c 673 3  HẾT 