Đề thi học sinh giỏi Toán học 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Toán học 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1. Tìm một số có 8 chữ số: a1a2 a8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau: 2 3 a)a1a2a3 a7a8 b) a4a5a6a7a8 a7a8 Câu 2. Chứng minh rằng: xm xn 1 chia hết cho x2 x 1 khi và chỉ khi mn 2 3 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 1 Câu 3. Giải phương trình: 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Câu 4. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD).Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: a) EF / / AB b) AB2 EF.CD c) Gọi S1,S2 ,S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB,OCD,OAD và OBC . Chứng minh S1.S2 S3.S4 Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 ĐÁP ÁN
2. Câu 1. 2 3 Ta có: a1a2a3 a7a8 (1) a4a5a6a7a8 a7a8 (2) Từ (1) và (2) 22 a7a8 31 3 3 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 a7a8 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 1 a7a8 a7a8 1 4.25.a4a5a6 Do a7a8 1 ;a7a8; a7a8 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: a)a7a8 24 a1a2a3 a8 là số 57613824 b) a7a8 1 24 a7a8 25 số đó là 62515625 c)a7a8 26 không thỏa mãn Câu 2. Đặt m 3k r với 0 r 2 ;n 3t s với 0 s 2 xm xn 1 x3k r x3t s 1 x3k xr xr x3t xs xs xr xs 1 xr x3k 1 xs x3t 1 xr xs 1 Ta thấy: x3k 1  x2 x 1 và x3t 1  x2 x 1 Vậy xm xn 1  x2 x 1 xr xs 1  x2 x 1 với 0 r,s 2 r 2 và s 1 m 3k 2 và n 3t 1 r 1và s 2 m 3k 1 và n 3t 2 mn 2 3k 2 3t 1 2 9kt 3k 6t 3 3kt k 2t mn 2 3k 1 3t 2 2 9kt 6k 3t 3 3kt 2k t mn 2 3,Điều phải chứng minh. Áp dụng: m 7,n 2 mn 2 123 x7 x2 1  x2 x 1 x7 x2 1 : x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 Câu 3. 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Nhân cả 2 vế với 6 ta được:
3. 2 2 2 3. x 2 1.2. 3 0 2.3. 4 1 2006.2007. 2008 2005 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 1 1 1 1 1 3. x 1.2 2.3 2.3 3.4 2006.2007 2. 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1 1 1003.1004.669 3. x 2.2006.2007.2008 x 1.2 2006.2007 5.100.651 Câu 4. A B O K E H F D B1 A1 C OE OA OB OC a) Do AE / /BC và BF / / AD OF OB OA OD OA OB OE OF Mặt khác AB / /CD ta lại có: nên EF / / AB OC OD OB OA b)ABCA1 và ABB1D là hình bình hành A1C DB1 AB EF AB Vì EF / / AB / /CD nên AB2 EF.CD AB DC 1 1 1 1 c) Ta có: S AH.OB;S CK.OD;S AH.OD;S .OK.OD 1 2 2 2 3 2 4 2
4. 1 1 S .AH.OB AH S .AH.OD AH 1 2 ; 3 2 S 1 CK S 1 CK 4 .CK.OB 2 .CK.OD 2 2 S1 S3 S1.S2 S3.S4 S4 S2 Câu 5. A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 x y 6 2 5 y 1 2 4 4 y 1 0 x 7 Giá trị nhỏ nhất A 4 khi x y 6 0 y 1