Đề giao lưu HSG huyện cấp THCS - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề giao lưu HSG huyện cấp THCS - Môn thi: Toán 8

1. UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Bài 1. (3 điểm) a) Phân tích đa thức a2 b c b2 c a c2 a b thành nhân tử b) Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P a2 2bc b2 2ac c2 2ab c) Cho x y z 0.Chứng minh rằng: 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Bài 2. (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương 2 2 1 1 25 b) Cho a,b 0 thỏa mãn a b 1.Chứng minh a b b a 2 Bài 3. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo E· AF Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA',BB',CC ' và H là trực tâm a) Chứng minh BC '.BA CB'.CA BC 2 HB.HC HA.HB HC.HA b) Chứng minh rằng: 1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Bài 5. (1 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình 2 vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng .Chứng minh rằng có ít nhất 3 505đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 a c c2 a b 2 2 2 a b c b a b b c c a b a2 b2 b c c2 b2 a b a b a b b c b c b c a b a b b c a b b c a b b c a c b) a b c 2 a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 a b a c a b b c a c b c a b a c b c 1 a b a c b c c) Vì x y z 0 x y z x y 3 z3 Hay x3 y3 3xy x y z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz x2 y2 z2 x3 y3 z3 x2 y2 z2 Do đó: x5 y5 z5 x3 y2 z2 y3 z2 x2 z3 x2 y2 Mà x2 y2 x y 2 2xy z2 2xy Vi x y z Tương tự: y2 z2 x2 2yz; z2 x2 y2 2zx Vì vậy: 3xyz x2 y2 z2 x5 y5 z5 x3 x2 2yz y3 y2 2zx z3 z2 2xy 2 x5 y5 z5 2xyz x2 y2 z2 Suy ra : 2 x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2
3. Bài 2. a) Để n 18 và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 Từ n 18 p2 302 900 n 882 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương b) Có: a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 1 25 1 1 25 1 Áp dụng * có: a 5 a ; b 5 b b 4 b a 4 a 2 2 1 1 25 1 1 Suy ra: a b 5 a b b a 2 b a 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 a b b a 2 a b 2 2 1 1 25 1 1 a b 5 5 (Vi a b 1) b a 2 a b 1 1 4 Với a,bdương , chứng minh 4 (Vi a b 1) a b a b Dấu bằng xảy ra khi a b 2 2 1 1 25 Ta được: a b 5 5.4 b a 2 2 2 1 1 25 1 a b . Dấu đẳng thức xảy ra a b b a 2 2
4. Bài 3. A D C B F E Chứng minh được ·ABE E· CF Chứng minh được ABE FCE c.g.c AE EF Tương tự: AF EF AE EF AF AEF đều E· AF 600
5. Bài 4. A B' N C' H M B A' D C BH BC ' a) Chứng minh BHC ' : BAB' BH.BB' BC '.BA (1) AB BB' BH BA' Chứng minh BHA' : BCB' BH.BB' BC.BA' (2) BC BB' Từ (1) và (2) BC '.BA BA'.BC Tương tự : CB'.CA CA'.BC BC '.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC BA' A'C .BC BC 2 BH BC ' BH.CH BC '.CH S b) Có BHC AB BB' AB.AC BB'.AC SABC AH.BH S AH.CH S Tương tự: AHB ; AHC CB.CA SABC CB.AB SABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC 1 AB.AC AC.BC BC.AB SABC HM AH c) Chứng minh AHM : CDH g.g (3) HD CD
6. AH HN Chứng minh AHN : BDH g.g (4) BD HD Mà CD BD (gt) (5) HM HN Từ 3 , 4 , 5 HM HN H là trung điểm của MN HD HD Bài 5. Gọi E,F,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD,BC, AD.Lấy các điểm I,G trên EF và K,H trên PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ 2 IF HQ GE KP 3 Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD,BC,EF lần lượt tại M , N,G'. Ta có: AB. BM AN S 2 2 EG' 2 ABMN 2 G  G' hay d qua G. SCDNM 3 CD. CM DN 3 G'F 3 2 Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm G,H,I,K Do có 2018đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle 2018 phải tồn tại ít nhất 1 505 đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 4 điểm trên. Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy.