Đề thi học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Phổ Văn

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Phổ Văn

1. TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM HỌC: 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1. (5 điểm) a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x x 1 4 x2 x2 6 4x x2 1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6 Câu 2. (5 điểm) 2 a) Chứng minh rằng x2 y2 z2 2 x4 y4 z4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) Tìm x,biết: 6 0 1000 999 998 997 996 995 Câu 3. (3 điểm) 3x 3 Cho biểu thức A x3 x2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để Anhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu 4. (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH. Trên tia HC lấy HD HA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh AE AB b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x 1 4 x2 x2 6 4x x2 1 x4 4x3 6x2 4x 1 x4 6x2 4x3 4x 1 Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x b) x3 6x2 11x 6 x3 x2 5x2 5x 6x 6 x2 x 1 5x x 1 6 x 1 x 1 x2 5x 6 x 1 x 2 x 3 Câu 2. a) Ta có: x y z 0 x y z 2 2 x y z x2 y2 z2 2yz x2 y2 z2 2yz 2 x2 y2 z2 2yz 2 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2 z2 2y2 z2 4y2 z2 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2 z2 2y2 z2 x4 y4 z4 x4 y4 z4 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2 z2 2y2 z2 2 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 6 0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995
3. 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 x 1001 1000 999 998 997 996 995 Câu 3. 3x 3 3 x 1 3 x 1 3 a)A x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 1 U 3 1; 3 - Nếu x2 1 3 x  - Nếu x2 1 1 x  - Nếu x2 1 1 x 0 A 3 - Nếu x2 1 3 x 2 A 1 Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là 2;0; 2 3 c) A nhận giá trị lớn nhất khi x2 1 có giá trị nhỏ nhất x2 1 Mà x2 1 1với mọi x ¡ Vậy MaxA 3 x 0 Câu 4. A E F M C B H D a) Kẻ EF  AH Tứ giác HDEF là hình chữ nhật EF HD mà HD AH (gt) EF AH Xét HBA và FAE có: Hµ Fµ 900 , AH EF , F· EA B· AH (phụ F· AE )
4. Do đó: HBA FAE g.g AE AB 1 b) Ta có BAE vuông tại A AM BE 2 1 BDE vuông tại D DM BE 2 Do đó: AM DM Xét AHM và DHM có: AM MD; AH HD;HM là cạnh chung ·AHD AHM DHM ·AHM M· HD 450 2 Vậy ·AHM 450