Đề thi học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn Toán - lớp 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn Toán - lớp 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4,0 điểm) a. Rút gọn biểu thức sau: A 2.22 3.2 3 4.2 4 5.2 5 100.2 100 1 1 1 1 1 1 b. Cho B 2 3 4 5 98 99 Chứng minh rằng: 0, 2 B 0, 4. Bài 2 (5,0 điểm) x 16 y 25 z 9 a. Cho và 2x3 1 15 . Tính x + y + z. 9 16 25 b. Cho sáu số x1; x2; x3; x4; x5; x6 khác 0 và x2+ x3+ x4+ x5+ x6 ≠ 0 biết 2 2 2 2 x2 x 1.; x 3 x3 x 2.; x 4 x4 x 3.; x 5 và x5 x 4. x 6 5 x1 x1 x2 x3 x4 x5 Chứng minh rằng: . x6 x2 x3 x4 x5 x6 Bài 3 (3,0 điểm) Cho A 3 32 3 3 3 100 . Chứng minh rằng A chia hết cho 120 Bài 4 (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết A 5 z 3 x 7 x 2 y xy yz zx 2480 . Bài 5 (5,0 điểm) Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB (A và B khác O). Lấy điểm C nằm giữa 2 điểm O và A, lấy điểm D trên tia By sao cho BD = AC. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Qua C kẻ đường thẳng song song với Oy cắt AB tại M. a. Chứng minh: ΔCAM là tam giác cân. b. Chứng minh: I là trung điểm của CD. c. Đường thẳng vuông góc với CD tại I và tia phân giác của góc xOy cắt nhau tại H. Chứng minh: HB Oy . Hết Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (4,0 điểm) a) Rút gọn A 2.22 3.2 3 4.2 4 5.2 5 100.2 100 (2,0 điểm) 2A 2.23 3.2 4 4.2 5 5.2 6 100.2 101 1,0 Tính được AA 2 23 2 3 2 4 2 5 2 100 100.2 101 A 23 2 3 2 4 2 5 2 100 100.2 101 Đặt C 23 2 4 2 5 2 100 2C 24 2 5 2 6 2 101 0,5 2CC 2101 2 3 C 2101 2 3 Khi đó A 23 2 101 2 3 100.2 101 A 99.2101 0,5 A 99.2101 b) 11111111 11 11 B (2,0 điểm) 2345 67 89 1011 9899 0,5 13 1 1 1 1 B 60 6.7 8.9 10.11 98.99 Chứng tỏ được: 13 12 B 0,2 60 60 0,5 B 0,2 111111111 11 111 B 23456 78 910 1112 9798 99 0,5 23 1 1 1 1 1 B 60 7.8 9.10 11.12 97.98 99 Chứng tỏ được 23 24 B 0,4 60 60 0,5 B 0,4 Kết luận : 0, 2 B 0, 4. Bài 2 (5,0 điểm) a) x 16 y 25 z 9 3 Cho và 2x 1 15 . Tính x + y + z (3,0 điểm) 9 16 25 Ta có 2x3 1 15 2x3 15 1 2x3 16 1,0 x3 8 x3 2 3 x 2
3. x 16 y 25 z 9 Thay x = 2 vào 9 16 25 2 16y 25 z 9 được 1,0 9 16 25 y 25 z 9 2 16 25 Tính được y = 57 và z = 41 0,5 x + y + z = 2 + 57 + 41 = 100 0,5 b) Sáu số : x1; x2; x3; x4; x5; x6 khác 0 (2,0 điểm) và x2+ x3 + x4 + x5 + x6 ≠ 0 2 x1 x 2 x2 x 1. x 3 x2 x 3 2 x2 x3 x3 x 2. x 4 0,5 x3 x 4 2 x3 x4 x4 x 3. x 5 x4 x 5 2 x4 x5 x5 x 4. x 6 x5 x 6 x xx x x 1 2 3 4 5 0,5 x2 x 3 x 4 x 5 x 6 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: x xx x x x x x x x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0,5 x2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5 x xx x x x x x x x 1 23 4 5 1 2 3 4 5 x2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5 0,5 x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 Bài 3 A 3 32 3 3 3 100 (có 100 số hạng) (3,0 điểm) A 3 32 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 39 3 10 3 11 3 12 3 97 3 98 3 99 3 100 1,0 (có 25 nhóm) A 3 32344 3 3 3 3 3 2348 3 3 3 3 3 234 3 3 1,0 396 3 3 2 3 3 3 4 A 120 120.34 120.3 8 120.3 96 0,5 A 120. 1 34 3 8 3 96  120 0,5 Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết (3,0 điểm) A 5 z 3 x 7 x 2 y xy yz zx 2480 5z 3 x 0 với mọi z; x 7x 2 y 0 với mọi x; y 0,5 xy yz zx 2480 0 với mọi x; y; z Do đó 5z 3 x 7 x 2 y xy yz zx 2480 0 0,5 với mọi x; y; z
4. A 0 với mọi x; y; z 0,5 5z 3 x 0 A = 0 tại 7x 2 y 0 0,5 xy yz zx 2480 0 x 20 x 20 Giải tìm được y 70 ; y 70 0,5 z 12 z 12 x 20 x 20 Giá trị nhỏ nhất của A = 0 tại y 70 hoặc y 70 0,5 z 12 z 12 Bài 5 Vẽ hình, ghi giả thiêt, kết luận (5,0 điểm) y D B 0,5 I H M O C A x a) Chứng minh ΔCMA là tam giác cân (1,5 điểm) CM // Oy (gt) CMA  OBA (đồng vị) 0,5 OA = OB (gt) ΔOAB cân tại O 0,5 OBA  OAB CMA  OAB ( cùng bằng OBA ) hay CAM  CMA 0,25 ΔCMA cân tại C 0,25 b) Chứng minh I là trung điểm của CD (1,5 điểm) ΔCMA cân tại C (cmt) CM = CA CA = BD (gt) 0,25 CM = BD CM // Oy (gt) BDI  ICM (so le trong) 0,5 và DBI  IMC (so le trong) Chứng minh được ΔIBD = ΔIMC (g.c.g) 0,5
5. IC = ID .Từ đó chứng tỏ được I là trung điểm của CD 0,25 c) Chứng minh HB  Oy (1,5 điểm) Chứng minh được ΔOBH = ΔOAH (c.g.c) 0,25 HB = HA HI CD tại trung điểm I của CD   0 HID HIC 90 0,25 Chứng minh được ΔHIC = ΔHID (c.g.c) HC = HD Từ đó chứng minh được ΔHBD = ΔHAC (c.c.c) 0,5 HAC  HBD HAC  HBO (vì ΔHAO = ΔHBO) HBO  HBD HBO  HBD 1800 (kề bù) 0,5 HBD 900 HB OD tại B hay HB Oy Chú ý: - Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu bài hình phần trên (a) sai thì vẫn chấm điểm phần dưới (b)