Đề thi học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn Toán 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn Toán 6

1. PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 GIAO THỦY MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1.(5,0 điểm). Câu 1. Tính. a) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + + 22 2 50 chữ số 2 b) B = + + + + + Câu 2. Cho C = + + + + Chứng minh rằng : C > Bài 2. ( 3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x, biết: a) 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 b) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 Bài 3.( 6,0 điểm). Câu 1: Chứng minh rằng : a) A = 75.( 41975 + 4 1974 + + 42 +5 ) + 25 chia hết cho 41976 b) B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiên. Câu 2. Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên. Bài 4.( 4,0 điểm ). a) Cho 2016 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm . Em hãy tính số giao điểm của 2016 đường thẳng đó. b) Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. Bài 5. ( 2,0 điểm ) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4.
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI GIAO THỦY MÔN TOÁN - LỚP 6. NĂM HỌC 2015 – 2016 Bài 1. (5,0 điểm). Câu 1. (3,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + + 22 2 50 chữ số 2 = 2. ( 1 + 11 + 111 + 1111 + + 11 1 ) 0,25 50 chữ số 1 9A = 2.( 9 + 99 + 999 + 9999 + + 99 9 ) 0,25 50 chữ số 9 9A = 2. 0,25 = 2. 0,25 = 2. ( 11 10 – 50) 0,25 50 chữ số 1 = 2. 11 1060 = 22 2120 0,25 48 chữ số1 48 chữ số 2 Suy ra A = 22 2120 : 9 48 chữ số 2 b) ( 1,5 điểm ) B = + + + + + 2B = + + + + + 0,25 = - + - + - + + - + - 0, 5 = - 0,25 = 0,25
3. Suy ra B = : 2 = 0,25 Câu 2.( 2,0 điểm ) C = ( + + + ) + ( + + + ) + ( + + + ) +( + 0,50 + + ) C . 25 + . 25 + .25 + 25 0,50 C > + + + = ( + + + 0,50 0,50 C > + > + = Bài 2: ( 3 điểm ) a) (1,5 điểm) 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 Tính tổng : 1 + 2 +3 +4 + + x Vì các số hạng của tổng là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến x nên số số hạng của tổng là:( x – 1) : 1 + 1 = x ( số hạng ) 0,25 Vậy tổng trên là: ( x + 1).x : 2 0,25 Theo bài ra ta có 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 nên ( x + 1).x : 2 = 820 ( x + 1 ).x = 2. 820 ( x + 1 ).x = 23.5.41 ( x + 1 ).x = 40.41 0,50 Vì x và x + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà x < x + 1 nên x = 40 và x + 1 = 41 0,25 Vậy x = 40 0,25 b) (1,5 điểm) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 ( 1 + 2 + 3 + + 99 + 100).x = 15150
4. 0,50 [ ( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ( 50 + 51) ].x = 15150 0,25 Có 50 cặp số hạng ( 101 + 101 + 101 + + 101).x = 15150 Có 50 số hạng 0,25 101.50.x = 15150 0,25 5050x = 15150 x = 3 Vậy x = 3. 0,25 Bài 3: ( 6,0 điểm) Câu 1. ( 4,0 điểm ) a) (2,0 điểm) Đặt M = 41975 + 4 1974 + + 42 +5 = 41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1 4M = 4.( 41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1) = 41976 + 4 1975 + + 43 + 42 + 4 0,25 4M – M = ( 41976 + 4 1975 + + 43 + 42 + 4) – (41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1) 0,25 1976 3M = 4 – 1 0,25 M = (41976 – 1): 3 0,25 => A = 75. (41976 – 1): 3 + 25 0,25 1976 = 25. (4 – 1) + 25 0,25 = 25. 41976 - 25 + 25 0,25 = 25. 41976 chia hết cho 41976 0,25 b) (2,0 điểm) B = 10n + 72n – 1 = 10n – 1 – 9n + 81n = 99 9 – 9n + 81n 0, 50 n chữ số 9 = 9. ( 11 1 – n) + 81n 0,25 n chữ số 1
5. Theo dấu hiệu chia hết cho 9 thì chỉ có những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Nên số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong 0,50 phép chia cho 9. Suy ra ( 11 1 – n ) chia hết cho 9 n chữ số 1 0,25 Suy ra 9. ( 11 1 – n ) chia hết cho 81 0,25 n chữ số 1 Mà 81n chia hết cho 81 Nên 9. ( 11 1 – n) + 81n chia hết cho 81 n chữ số 1 Do đó B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 0,25 Câu 2. ( 2,0 điểm ) Điều kiện : n Z Ta có = = 2 - 0,25 Để phân số có giá trị là một số nguyên thì có giá trị là một số nguyên Suy ra 3n + 1 là ước của 5 nên 3n + 1 nhận các giá trị là : 1; -1; 5; -5 0,25 + Nếu 3n + 1 = 1 thì n = 0 ( Thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + 1 = - 1 thì n = ( Không thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + 1 = 5 thì n = (Không thỏa mãn điều kiện) 0,25 0,25 + Nếu 3n + 1 = -5 thì n = -2 ( Thỏa mãn điều kiện) 0,25 Thử lại với n = 0 ta đươc phân số = -3( là số nguyên) Thử lại với n = -2 ta đươc phân số = 3( là số nguyên)
6. 0,25 Vậy n= 0 hoặc n = -2 thì phân số có giá trị là một số nguyên Bài 4: ( 4,0 điểm) a. ( 1,5 điểm ) - Chọn 1 đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng còn lại ta được 2015 giao 0,50 điểm. - Làm như vậy với 2016 đường thẳng ta có số giao điểm là: 2015.2016 giao điểm 0,50 - Nhưng làm như vậy mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên thực tế số giao điểm có là: 2015.2016 : 2 = 2031120 giao điểm 0,50 b. (2,5 điểm ) - Chọn 1 đường thẳng kết hợp với n-1 đường thẳng còn lại ta được n-1 giao 0,50 điểm. - Làm như vậy với n đường thẳng ta có số giao điểm là: n.(n-1) giao điểm. 0,50 - Nhưng làm như vậy mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên thực tế số giao 0,50 điểm có là: n.( n-1) : 2 giao điểm - Theo bài ra ta có : n.( n-1) : 2 = 1128 0, 50 n. ( n- 1) = 2. 1128 n . (n-1) = 24.3.47 n . (n-1) = 48.47 Vì n-1 và n là hai số tự nhiên liên tiếp và n-1 < n nên n =48 và n-1 = 47 0, 50 Vậy n = 48. Bài 5: ( 2,0 điểm) - Vì a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên ta có: a – 2 3, a – 3 5, a – 4 7 0,25 - Suy ra : a + 1 3, a + 2 5, a + 3 7 0,25 - Suy ra : a + 1+ 51 3, a + 2 + 50 5, a + 3 + 49 7 0,50
7. - Suy ra : a + 52 3, a + 52 , a + 52 Vậy a + 52 BC(3,5,7). 0,25 Mà BC(3,5,7) = B(105) Nên a + 52 B(105) => a + 52 105 0,25 - Suy ra : a + 52 = 105k ( k = 1, 2, 3, ) a = 105k – 52 0,25 - Lần lượt thử k = 1, 2, 3, mà a là số tự nhiên nhỏ nhất nên với k = 1 ta được a = 105 – 52= 53. 0,25 Vậy a = 53.