Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN LỚP 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + + 448 + 449, B = 4100 Chứng minh rằng: . Bài 2: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có 110 trang bằng cách viết dãy số tự nhiên 1,2,3, ,110. Bạn tâm phải viết tất cả bao nhiêu chữ số. Bài 3: Tìm hai số tự nhiên a,b có hai chữ số biết a.b = 448 và ƯCLN(a,b) = 4. Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị là số nguyên. Bài 5: Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa phẳng có bờ AB. Vẽ các tia OC, OD sao cho góc AOC = 700,góc BOD = 550. a.Chứng minh OD là tia phân giác góc BOC. b.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia OC, OD vẽ tia OE sao cho góc DOE là góc vuông , gọi OK là tia đối của tia OC. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc BOK Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1: (5 điểm) 4A = 4.(1 + 4 +42 +43 +44 + + 498 + 499 ) = 4 + 42 +43 + 44 +45 + + 499 + 4100 4A –A = (4 + 42 +43 + 44 +45 + + 499 + 4100) - (1 + 4 +42 +43 +44 + + 498 + 499 ) 3A = (4 – 4) +( 42 - 42) + (43 - 43) + (44 - 44) + (45 – 45) + + (499 - 499) + 4100 – 1 3A = 4100 – 1 A = ( 4100 – 1 ) : 3 Vì 4100 – 1 < 4100 nên ( 4100 – 1 ) : 3 < 4100 : 3 Vậy A < B/3 Bài 2: (5 điểm ) Viết các số tự nhiên 1,2,3, ,9 phải viết 9 số tự nhiên có 1 chữ số nên phải viết 9 chữ số Viết các số tự nhiên từ 10 đến 99 phải viết ( 99 – 10 ) : 1 +1 = 90 số tự nhiên có 2 chữ số nên phải viết 90.2= 180 chữ số Viết các số tự nhiên từ 100 đến 110 phải viết ( 110 – 100) :1 + 1 = 11 số tự nhiên có 3 chữ số nên phải viết 11.3 = 33 chữ số Vậy bạn Tâm phải viết tất cả 9 + 180 + 33 = 222 chữ số Bài 3: (3 điểm ) Vì ƯCLN(a,b) = 4 nên a = 4k; b = 4l với (k,l) = 1 Do a.b = 448 nên (4k).(4l) = 448 hay 16.k.l = 448. Vậy k.l= 28 Mà 28 = 1.28 = 4.7. Ta có các trường hợp sau: + Nếu k= 1 thì l = 28. Suy ra a = 4, b = 112 (loại vì a,b là các số tự nhiên có 2 chữ số) + Nếu k = 4 thì l = 7. Suy ra a = 16, b = 28 ( thỏa mãn) Vậy a= 16,b =28 Bài 4: (3 điểm ) Để phân số có giá trị là số nguyên thì n + 3 2n - 2 2( n + 3) 2n – 2 (2n + 6) – (2n – 2) 2n – 2 (2n – 2n) + (6 + 2) 2n – 2 8 2n – 2 Suy ra 2n -2 là ước của 8 Mà 2n – 2 là số chia hết cho 2 nên 2n – 2 nhận các giá trị là , , 2n -2 -2 2 -4 4 -8 8 n 0 2 -1(loại) 3 -3(loại) 5 1 Thỏa Loại Loại mãn
3. Vậy n = 5 thì a.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có = 700, = 1800 (700 < 1800) nên < . Vậy tia OC nằm giữa 2 tia OA và OB Suy ra + = .Từ đó tính được = 1100 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có = 500, = 1100 (500 < 1100) nên < . Vậy tia OD nằm giữa 2 tia OB và OC (1) Suy ra + = .Từ đó tính được = 500 Ta có = 500, = 500 suy ra = (2) Từ ( 1) và ( 2) suy ra tia OD là tia phân giác của b. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OD có = 550, = 900 (550 < 900) nên < . Vậy tia OD nằm giữa 2 tia OB và OC (1) Suy ra + = .Từ đó tính được = 500