Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài 120 phút. Bài 1 (5 điểm) 1): Rút gọn các biểu thức sau: M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016. 2) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 3 a) 22 32 42 992 1002 4 Bài 2 (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1 ) = 225 b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 Bài 3: (5 điểm) a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N). Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y = 4 Bài 4: (4 điểm) Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng . Bài 5 (3 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. = Hết =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 điểm) 1.1.a) M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016 Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + + 32016 – 32017 0,5 (2,0 đ) 3M + M = 3 + (32 – 32) + (33 – 33)+ + (32016 – 32016) – 32017 0,5 4M = 3 + 0 + 0 + . . . + 0 – 32017 0,5 4M = 3 – 32017 M = (3 – 32017) : 4 0,5 1.2. Ta có: 1 1 32 2.3 (3,0 đ) 1 1 42 3.4 1 1 52 4.5 . . . . . . . 1 1 992 98.99 1 1 1002 99.100 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 32 42 992 1002 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 0,5 1 1 1 1 1 1 Mà 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 4 2 3 3 4 4 5 98 99 99 100 0,5 1 1 1 = 4 2 100 0,5 3 1 3 = 4 100 4 0,5 1 1 1 1 1 3 22 32 42 992 1002 4 0,5 Bài 2 (3 điểm) 2.a) Với mọi x N ta có 2x – 1 là số lẻ 0,25 Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1) 0,25
3. (1,5) A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng) 0,25 A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x2 0,25 Mà A = 225 x2 = 225 = 152 0,25 x = 15 Vậy x = 15 0,25 2.b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 (1,5 đ) 2x + x + 1+ x + 2 = 10 . 10 . 10 . . 10 : 5 . 5 . 5 . . 5 18 thừa số 10 18 thừa số 5 0,25 23x + 3 = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . .(10 : 5) 18 thừa số (10 : 5) 0,25 23x + 3 = 2 . 2 . 2 . . 2 18 thừa số 2 0,25 23x + 3 = 218 0,25 3x + 3 = 18 3x = 18 – 3 3x = 15 x = 15 : 3 x = 5 0,25 Vậy x = 5 0,25 Bài 3: (5 điểm) 3.a) Vì 3a + 2b 17 10(3a + 2b) 17 0,5 (30a + 20b) 17 0,25 (2,0đ) (30a + 3b + 17b) 17 0,25 [3(10a + b) + 17b] 17 0,25 Vì 17b 17 0,25 3(10a + b) 17 0,25 10a + b 17 (vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau) 0,25 3.b) xy + x – y = 4 x(y + 1) – y = 4 0,25 (3,0đ) x(y + 1) – y – 1 + 1 = 4 0,5 x(y + 1) - ( y + 1 ) + 1= 4 0,25 ( y + 1 )( x – 1) + 1 = 4 0,25 ( y + 1)( x – 1)= 3 0,25 Vì x, y là số nguyên nên y + 1,x – 1 là ước của 3. 0,25 Nếu x -1 = 1 và y + 1 = 3 thì x = 2 và y = 2 0,25 Nếu x -1 = -1 và y + 1 = -3 thì x = 0 và y = -4 0,25
4. Nếu x -1 = 3 và y + 1 = 1 thì x = 4 và y = 0 0,25 Nếu x -1 = -3 và y + 1 = -1 thì x = -2 và y = -2 0,25 Vậy x = 2 và y = 2 hoặc x = 0 và y = -4 hoặc x = 4 và y = 0 hoặc x = -2 và y = -2 0,25 Bài 4( 4điểm) 4. Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi 20 điểm đó là A1, A2, A3, ,A20. (4 đ) Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên 0,25 Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm còn lại A 2, A3, ,A20 ta vẽ được 19 đường thẳng. 0,5 Qua điểm A2 và từng điểm trong 18 điểm còn lại A 3, A4, ,A20 ta vẽ được 18 đường thẳng. 0,5 . Qua điểm A19 và điểm A20 ta vẽ được 1 đường thẳng. 0,5 Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : 2 = 190 ( đường thẳng) 0,5 Với a điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo thành là 1 + 2 + 3 + +( a – 1) = (a- 1). a: 2 0,5 Với a điểm thẳng hàng thì ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng 0,25 Vậy trong 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng thì sổ đưởng thẳng giảm đi là ( a- 1).a: 2 - 1 = 190 – 170 0,5 ( a- 1).a: 2 - 1 = 20 ( a- 1).a: 2 = 21 0,25 ( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7 Mà a-1 và a là 2 số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = 6 và a =7 0,25 Vậy a = 7 5. Gọi số phải tìm là a a = 2k + 1 (3,0 đ) a = 3q + 1 a = 5m + 4 a = 7r + 3 (k, q, m, r N) 0,5 a + 11 = 2k + 12 2 a + 11 = 3q + 12 3 a + 11 = 5m + 15 5 a + 11 = 7r + 14 7 a + 11 BC(2; 3; 5; 7) 1,0 Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) 0,5
5. Mà 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210 0,25 a + 11 = 210 a = 210 – 11 a = 199 0,5 Vậy a = 199 0,25 Lưu ý : Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa