Đề thi học sinh giỏi - Môn Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn Toán 8

1. PHÒNG GD&ĐT HƯNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 (Đề thi gồm 01 trang) NĂM HỌC: 2019 - 2020 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1. (4,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 . b) Tìm đa thức f (x) , biết f (x) chia cho x 3 dư 27, chia cho x 5 dư 39 và chia cho x2 8x 15 được thương là 5x và còn dư. Bài 2. (4,0 điểm) x 1 1 2 x3 2x2 Cho biểu thức: Q 1 3 2 : 3 2 . x 1 x x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức Q . b) Tìm x để Q 1 . Bài 3. (3,0 điểm) Giải các phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 . 17 19 21 23 b) 3x 2 x 1 2 3x 8 16 . Bài 4. (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 5y2 2xy 4x 8y 2025 . b) Cho a b c 0 và abc 0 , tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P . a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Bài 5. (5,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O . M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC ( M khác B , C ). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM . a) Chứng minh: BOE COM và OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN . c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O , M , H thẳng hàng.  HẾT 
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 MÔN TOÁN 8 (20 – 20 ) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1. (4,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 . b) Tìm đa thức f (x) , biết f (x) chia cho x 3 dư 27 , chia cho x 5 dư 39 và chia cho x2 8x 15 được thương là 5x và còn dư. Lời giải a) Ta có: 2 A x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 2 x2 4x 8 x x2 4x 8 2x x2 4x 8 2x2 x2 4x 8 x2 4x 8 x 2x x2 4x 8 x = x2 3x 8 x2 4x 8 2x x2 3x 8 x2 2x 8 b) Vì f (x) chia cho x2 8x 15 được thương là 5x và còn dư nên, ta có: f (x) 5x x2 8x 15 r(x), với r(x) là đa thức có bậc không vượt quá 1 . f (x) 5x x 3 x 5 r(x) , với r(x) là đa thức có bậc không vượt quá 1. Mặt khác, ta có: f (x) chia cho x 3 dư 27 nên f (3) 27 r(3) 27 1 f (x) chia cho x 5 dư 39 nên f (5) 39 r(5) 39 2 Từ 1 và 2 , suy ra: r(x) là đa thức có bậc 1. Giả sử r(x) ax b , a 0 3a b 27 3 ; 5a b 39 4 Từ và3 , 4suy ra: a ; 6 b 9 r(x) 6x 9 Vậy đa thức f (x) cần tìm là: f (x) 5x x2 8x 15 6x 9 5x3 40x2 81x 9. Bài 2. (4,0 điểm) x 1 1 2 x3 2x2 Cho biểu thức: Q 1 3 2 : 3 2 . x 1 x x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức Q . b) Tìm x để Q 1 . Lời giải
3. a) Điều kiện: x 0 ; x 1; x 2 . Ta có: 2 x 1 1 2 x3 2x2 1 1 2 x 2 x Q 1 3 2 : 3 2 1 2 2 : x 1 x x 1 x 1 x x x x x 1 x x 1 x 1 x x2 x 1 2 2x x 2 x x 1 2 x 1 1 . 1 x 1 x2 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 1 b) Với x 0 ; x 1; x 2 . Ta có: Q x 1 x 1 x 1 2 Q 1 1 1 0 0 x 1 0 (vì 2 0 ) x 1 x 1 x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện: x 0 ; x 1; x 2 , ta được: x 1 ; x 0 ; .x 2 Vậy với x 1 ; x 0 ; x 2 thì Q 1 . Bài 3. (3,0 điểm) Giải các phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 . 17 19 21 23 b) 3x 2 x 1 2 3x 8 16 . Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 161 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 158 x 158 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 0 x 258 b) 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 3x 8 x 1 2 16 9x2 18x 16 x2 2x 1 16 2 16 2 2 25 2 9 x 2x x 2x 1 16 9 x 2x 1 x 2x 1 16 9 9 Đặt x2 2x 1 t (t 0)
4. 25 2 9 t t 16 9t 25t 16 0 9 x 0 x x 2 0 x 2 t 1(tm) x2 2x 1 1 4 x 1 1 16 2 16 x t (tm) x 1 3 3 9 9 4 7 x 1 x 3 3 1 7  Vậy S 0; 2; ;  3 3  Bài 4. (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 5y2 2xy 4x 8y 2025 . b) Cho a b c 0 và abc 0 , tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P . a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Lời giải a) Ta có M x2 5y2 2xy 4x 8y 2025 (x2 y2 22 2.x.y 2.x.2 2.y.2) (4y2 4y 1) 2020 (x y 2)2 (2y 1)2 2020 2020 3 x x y 2 0 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2020 khi . 2y 1 0 1 y 2 b) Từ a b c 0 suy ra a b c. Bình phương hai vế, ta được a2 2ab b2 c2 nên a2 b2 c2 2ab. Tương tự b2 c2 a2 2ca ; .c2 a2 b2 2ca 1 1 1 a b c Do đó P 0 (vì a b c 0 ) 2ab 2bc 2ca 2 Bài 6. (5,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O . M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC ( M khác B , C ). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM . a) Chứng minh: BOE COM và OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN . c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O , M , H thẳng hàng. Lời giải
5. a) Chứng minh: BOE COM và OEM vuông cân. Xét BOE và COM có: EB MC (gt) ; OC OB ; E· BO M· CO 45 . BOE COM (c g c) E· OB M· OC mà ·AOB B· OC 90 180 ·AOE B· OM E· OB B· OM E· OM 90 2 OEM có OE OM , E· OM 90 OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME//BN . Xét CMN và BMA có: B· MA C· MN (đối đỉnh); C· BA M· CN 90 . CM MN CM MN CMN ∽ BMA (g g) BM AM BM CM AM MN CM MN BE MN BC AN AB AN ME//BN (định lí đảo Thales). c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O , M , H thẳng hàng. Gọi OM cắt BN tại H ' . Xét BMH ' và OMC có: O· MC B· MH ' (đối đỉnh); B·H 'M B· CO 45( E· MO) BM OM BMH ' ∽ OMC (gg) MH ' MC BM OM Xét BMO và H 'MC có: B· MO H· 'MC (đđ); (chứng minh trên) MH ' MC BMO ∽ H 'MC (g g) M· H 'C M· BO 45 Ta có: B·H 'M M· H 'C B· H 'C 90 mà CH  BN Vậy H trùng H ' nên ba điểm O , M , H thẳng hàng (Đpcm).  HẾT 