Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán (đề 12)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán (đề 12)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HểA NĂM HỌC 2013-2014 MễN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phỳt (khụng kể giao đề) 2 2 x 1 x 1 Cõu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rỳt gọn P b) Tỡm x  để P cú giỏ trị nguyờn c) Tỡm x để P 1 Cõu 2 (4,5 điểm) a) Giải phương trỡnh : x3 6x2 x 30 0 x 1 2x 3 x b) Giải bất phương trỡnh sau: x 1 1 3 2 3 x 2 x2 c) Cho biết . Hóy tỡm giỏ trị của biểu thức Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Cõu 3. (5,0 điểm) a) Tỡm x, y thỏa món đẳng thức 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 b) Cho a, b, c  thỏa món a b c 0.Chứng minh: a5 b5 c5 30 1 1 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng a b c a b c , trong đú a, b, c b c a a b c là cỏc số thực khụng nhỏ hơn 1. Cõu 4. (4,5điểm) Cho tam giỏc ABC. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I, K, Q, R lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cựng nằm trờn một đường thẳng. Cõu 5 (2,0 điểm) Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đối của cỏc tia BA, CA lấy theo thứ tự cỏc điểm D, E sao cho BD CE BC . Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phõn giỏc của gúc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB = CK .hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 HOẰNG HểA
2. Cõu 1. a) ĐKXĐ: x 0; x 1 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x Ta cú: P . .(x 1) . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta cú P 2 Â x 1 U (2) 1; 2 x 1 Từ đú suy ra x 2;0;3; 1 , kết hợp với điều kiện được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1 nờn x 1 0 và xx 1 0 x 1 và x 1 Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 Cõu 2. x 3 3 2 a) Ta cú : x 6x x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 2 x 5 Vậy S 2;3;5 x 1 2x 3 x 7 x 1 1 6x 6 2x 2 6x 9 2x 6 4x 7 x b) 3 2 3 4 7  Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là : S x / x  4  x 2 x2 x 1 3 c) Từ x 0, do đú x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 2 x x 1 2 1 1 21 Lại cú : 2 x 2 1 x 1 x x x 4 x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 Cõu 3.
3. a)5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nờn 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 b) Ta cú: a5 a a. a2 1 . a2 1 a. a2 1 . a2 4 5 a 2 a 1 a. a 1 . a 2 5 a 1 a. a 1 Do a 2 a 1 a. a 1 . a 2 là tớch 5 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2, 3 và 5, do đú chia hết cho 30. Lại cú a 1 a. a 1 chia hết cho 6 nờn 5 a 1 a a 1 chia hết cho 30. 5 Từ đú suy ra a a chia hết cho 30 5 5 Tương tự b b chia hết cho 30 và c c chia hết cho 30 5 5 5 5 5 5 Từ đú suy ra a b c a b c a a b b c c chia hết cho 30 5 5 5 Mà a b c 0 nờn a b c chia hết cho 30 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 2 2 2 a c . b 1 b a . c 1 c b . a 1 0 (đỳng với mọi a,b,c 1 )
4. Cõu 4. A E F H B D C AE AB AEB : AFC (g.g) a) Ta cú: AF AC Từ đú suy ra AEF : ABC (c.g.c) BD BH BDH : BEC (g.g) BH.BE BC.BD (1) b) BE BC CD CH CDH : CFB (g.g) CH.CF BC.CD (2) CF BC 2 Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC DH DB DBH : DAC (g.g) DH.DA DC.DB c) Chứng minh được DC DA 2 DC DB BC 2 BC 2 DC.DB AD.HD Lại cú 4 4 Do đú: 4
5. d) A I E K F H Q C B D R Từ giả thiết suy ra EI / /CF, EK / /BC, EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta cú: AI AE AK * IK / /DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / /DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / /DF (5) CD CA CF Từ (3) (4) và (5) suy ra bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng
6. Cõu 5. A 1 C B 1 O 1 M E D Vẽ hỡnh bỡnh hành ABMC AB CM (1) 1 1 Bà Cà Cã BM Cã BM Ta cú :1 2 1 2 nờn BO là tia phõn giỏc của ã Tương tự CO là tia phõn giỏc của BCM ã Do đú MO là tia phõn giỏc của BMC Suy ra OM song song với tia phõn giỏc của gúc A, suy ra K, O, M thẳng hàng
7. 1 1 Mả Bã MC Bã AC Kả Ta cú : 1 2 2 1 nờn tam giỏc KMC cõn tại C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy ra CK AB