Đề cương ôn tập môn Toán khối lớp 8

181 trang hoaithuong97 5220

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán khối lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_on_tap_mon_toan_khoi_lop_8.docx

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán khối lớp 8

. Cho hai số thực bất kỳ a , b bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :  a b ; “ a nhỏ hơn b ”  a b ; “ a bằng b ”  a b . “ a lớn hơn b ”. Hệ quả : . “ a không nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu : a b . . “ a không lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu : a b . . Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :  a 0 : ta gọi a là số thực âm;  a 0 : ta gọi a là số thực không;  a 0 : ta gọi a là số thực dương. 2. Định nghĩa : Ta gọi hệ thức a b ( hay a b , a b , a b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Tính chất : a b a c ( tính chất bắc cầu ) b c a b a b a b Tương tự : a c a c a c b c b c b c a b a c b c Khi ta cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Tương tự : a b a c b c a b a c b c a b a c b c a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Tương tự : a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 a b a.c b.c,c 0 Ghi nhớ . Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số 0. . Bất cứ số âm nào cũng nhỏ hơn số 0. . Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số âm. . Trong hai số dương số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó lớn hơn. . Trong hai số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn. . Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. . Với mọi số thực a bao giờ ta cũng có : a2 0 “ bình phương của một số thực bao giờ cũng là một số không âm ”. Ví dụ 1 : Cho m bất kỳ, chứng minh : a) m 3 m 4 b) 2m 5 2m 1 c) 7 3m 3 3 m Bài giải a) Vì 3 4 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ” Ta được m 3 m 4 . b) Vì 5 1 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ” Ta được 2m 5 2m 1 . c) Vì 7 9 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 3m bất kỳ ” Ta được 7 3m 9 3m 7 3m 3 3 m . Ví dụ 2 : Cho a b 0 chứng minh 1) a2 ab 2) ab b2 3) a2 b2 Bài giải 1) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a 0 ” a.a ab a2 ab , (1). 2) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số b 0 ”
a.b b.b ab b2 , (2). 3) Từ (1) và (2) ta có a2 b2 . Ví dụ 3 : Cho x y hãy so sánh : x y a) 2x 1 và 2y 1 b) 2 3x và 2 3y c) 5 và 5 3 3 Bài giải a) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2x 2y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ” 2x 1 2y 1 . b) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 3 ” 3x 3y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ” 2 3x 2 3y . 1 c) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ” 3 x y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ” 3 3 x y 5 5 . 3 3 Ví dụ 4 : Cho a b chứng minh : a) 2a 3 2b 3 b) 2a 5 2b 8 c) 7 3a 3 3 b Bài giải a) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2a 2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : 3 ” 2a 3 2b 3 2a 3 2b 3 .
b) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ” 2a 2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : 5 ” 2a 5 2b 5 2a 5 2b 5 Vì 5 8 nên 2b 5 2b 8 , theo tính chất bắc cầu ta có 2a 5 2b 8 . c) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : 3 ” 3a 3b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ” 7 3a 7 3b Vì 7 9 nên 7 3b 9 3b theo tính chất bắc cầu ta có 7 3a 3 3 b . Ví dụ 5 : So sánh hai số x , y nếu : a) 3x 5 3y 5 b) 7 4x 7 4y Bài giải a) 3x 5 3y 5 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ” 1 3x 5 5 3y 5 5 3x 3y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương ” 3 1 1 .3x .3y x y . 3 3 b) 7 4x 7 7 4y 7 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ” 1 4x 4y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm ” 4 1 1 . 4 x . 4 y x y . 4 4 Ví dụ 6 : Cho a, b bất kỳ, chứng minh : a2 b2 1) a2 b2 2ab 0 2) ab 3) a2 b2 ab 0 . 2 Bài giải
2 1) Với a, b bất kỳ ta có a b 0 a2 b2 2ab 0 . a2 b2 2) a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab ab . 2 2 2 2 2 2 2 2 b b 2 b b 3b 3) a b ab 0 a 2.a. b 0 a 0 . 2 2 2 2 4 BÀI TẬP Bài 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 1 ab a b c) a2 b2 c2 3 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) a2 e) a4 b4 c2 1 2a(ab2 a c 1) f) b2 c2 ab ac 2bc 4 g) a2(1 b2 ) b2(1 c2 ) c2(1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d2 e2 a(b c d e) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0 d) (a b c)2 0 2 2 2 2 2 2 a e) (a b ) (a c) (a 1) 0 f) (b c) 0 2 g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 0 2 2 2 2 a a a a h) b c d e 0 2 2 2 2 Bài 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 3 a b a2 b2 a3 b3 a b a) ab b) ; với a, b 0 2 2 2 2 c) a4 b4 a3b ab3 d) a4 3 4a
a6 b6 e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > 0. f) a4 b4 ; với a, b 0. b2 a2 1 1 2 g) ; với ab 1. h) (a5 b5)(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 0. 1 a2 1 b2 1 ab 2 2 a b (a b)2 a2 b2 a b (a b)2 HD: a) ab 0 ; 0 2 4 2 2 4 3 b) (a b)(a b)2 0 c) (a3 b3)(a b) 0 d) (a 1)2(a2 2a 3) 0 8 e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 . 2 2 2 BĐT (a b c) a b c (ab bc ca) 0 . (b a)2(ab 1) f) (a2 b2 )2(a4 a2b2 b4 ) 0 g) 0 (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) h) ab(a b)(a3 b3) 0 . Bài 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a2 b2 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a4 b4 c4 d4 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2; c2 d2 2c2d2 ; a2b2 c2d2 2abcd b) a2 1 2 a ; b2 1 2 b ; c2 1 2 c c) a2 4 4 a ;b2 4 4 b ;c2 4 4 c ;d2 4 4 d a a a c Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu 1 thì (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức b b b c sau: a b c a b c d a) 1 2 b) 1 2 a b b c c a a b c b c d c d a d a b a b b c c d d a c) 2 3 a b c b c d c d a d a b
HD: BĐT (1) (a – b)c 0. a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
1 1 1 b) 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1. a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 1 1 1 c) 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1. a b 1 b c 1 c a 1 HD: (1) (a2 b2 )(a b) 0 . 1 1 a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) . a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). Bài 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 <2(ab bc ca) b) abc (a b c)(b c a)(a c b) c) 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 0 d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 a3 b3 c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c2 . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: a2 a2 (b c)2 a2 (a b c)(a b c) . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 . d) (a b c)(b c a)(c a b) 0 . Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 a) ; ; cũng là độ dài các cạnh của một tam giác khác. a b b c c a 1 1 1 1 1 1 b) . a b c b c a c a b a b c
HD: a) Sử dụng tính chất phân số và BĐT các cạnh trong tam giác. 1 1 1 1 2 1 Ta có: > a b b c a b c a b c c a c a c a Tương tự, chứng minh các BĐT còn lại. 1 1 4 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > 0 ta có: . x y x y 1 1 4 2 Ta có: . a b c b c a (a b c) (b c a) b Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u2 un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đó: S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 un ak Ta biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak 1 a a a a Khi đó: P = 1 . 2 n 1 a2 a3 an 1 an 1 Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta có: 1 1 1 1 3 1 1 1 a) b) 1 2 n 1 1 2 n 1 n 2 n n 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 2 d) 1 22 32 n2 1.2 2.3 3.4 (n 1).n
1 1 1 HD: a) Ta có: , với k = 1, 2, 3, , n –1. n k n n 2n 1 2 2 b) Ta có: 2 k 1 k , với k = 1, 2, 3, , n. k 2 k k k 1 1 1 1 1 c) Ta có: , với k = 2, 3, , n. k 2 k k 1 k 1 k 1 1 1 d) Ta có: , với k = 2, 3, , n. (k 1).n k 1 k VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1. Bất đẳng thức Cô–si: a b + Với a, b 0, ta có: ab . Dấu "=" xảy 2 ra a = b. cm Vì a 0 , b 0 nên tồn tại a , b và a b R thế thì : 2 2 2 a b a b 0 a 2 a b b 0 a b 2 ab ab . 2
2. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y. Bài 1. Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc bc ca ab b) a b c ; với a, b, c > 0. a b c ab bc ca a b c c) ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2 a b c 3 d) ; với a, b, c > 0. b c c a a b 2 HD: a) a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca đpcm. bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c b) 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac ab ab ab bc bc ca ca c) Vì a b 2 ab nên . Tương tự: ; . a b 2 ab 2 b c 2 c a 2 ab bc ca ab bc ca a b c (vì ab bc ca a b c ) a b b c c a 2 2 a b c d) VT = 1 1 1 3 b c c a a b 1 1 1 1 9 3 = (a b) (b c) (c a) 3 3 . 2 b c c a a b 2 2 Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 1 x y z x z y 1 3 Khi đó, VT = 3 (2 2 2 3) . 2 y x x z y z 2 2
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 3 3 1 1 1 2 a) (a b c ) (a b c) a b c b) 3(a3 b3 c3) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3) (a b c)3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 . b a c b a c a3 b3 Chú ý: 2 a2b2 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b a b) 2(a3 b3 c3) a2b b2a b2c bc2 c2a ca2 . Chú ý: a3 b3 ab(a b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) . Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm. 1 1 4 Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a b a b 1 1 1 1 1 1 a) 2 ; với a, b, c > 0. a b c a b b c c a 1 1 1 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > 0 thoả 4 . Chứng minh: 1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c d) ; với a, b, c > 0. a b b c c a 2 2xy 8yz 4xz e) Cho x, y, z > 0 thoả x 2y 4z 12 . Chứng minh: 6 . x 2y 2y 4z 4z x f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 . p a p b p c a b c
1 1 HD: (1) (a b) 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. a b 1 1 4 1 1 4 1 1 4 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: ; ; . a b a b b c b c c a c a Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). 1 1 1 1 1 1 c) Áp dụng a) và b) ta được: 4 . a b c 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 ab 1 d) Theo (1): . (a b) a b 4 a b a b 4 Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta được: . p a p b (p a) (p b) c Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 1 1 1 9 Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a b c a b c 2 2 2 1 1 1 3 a) (a b c ) (a b c) . a b b c c a 2 x y z b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P = . x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 P = . a2 2bc b2 2ac c2 2ab 1 1 1 1 d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Chứng minh: 30 . a2 b2 c2 ab bc ca
1 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. a b c 1 1 1 9 a) Áp dụng (1) ta được: . a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2 ) 3 3(a2 b2 c2 ) 3 VT . (a b c) 2(a b c) 2 a b c 2 Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: x 1 1 y 1 1 z 1 1 1 1 1 P = = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 9 9 3 Ta có: . Suy ra: P 3 . x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 4 4 Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của x y z biểu thức: P = . kx 1 ky 1 kz 1 9 9 c) Ta có: P 9 . a2 2bc b2 2ca c2 2ab (a b c)2 1 9 d) VT a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 7 = a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 9 7 9 7 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 3 1 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 . 3 3 Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
x 18 x 2 a) y ; x 0 . b) y ; x 1 . 2 x 2 x 1 3x 1 x 5 1 c) y ; x 1 . d) y ; x 2 x 1 3 2x 1 2 x 5 x3 1 e) y ; 0 x 1 f) y ; x 0 1 x x x2 x2 4x 4 2 g) y ; x 0 h) y x2 ; x 0 x x3 3 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = khi x = 3 2 3 6 30 1 30 1 c) Miny = 6 khi x = 1 d) Miny = khi x = 2 3 3 2 5 5 3 e) Miny = 2 5 5 khi x f) Miny = khi x = 3 2 4 3 4 5 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = khi x = 5 3 5 27 Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y (x 3)(5 x); 3 x 5 b) y x(6 x); 0 x 6 5 5 c) y (x 3)(5 2x); 3 x d) y (2x 5)(5 x); x 5 2 2 1 5 x e) y (6x 3)(5 2x); x f) y ; x 0 2 2 x2 2 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 121 1 625 5 c) Maxy = khi x = d) Maxy = khi x = 8 4 8 4 1 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = khi x = 2 (2 x2 2 2x ) 2 2
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1. Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0 ), trong đó a, b là hai số đã cho, a 0, đgl bất phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Hai qui tắc biến đổi bất phương trình Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. – Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. Ví dụ 1 : Trong các số 1, 0, 1, 2, 3 số nào là nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a) 3x 2 0 b) 4 3y 2y 1 c) t 2 0 d) 5 2m 3m 2 Bài giải a) x 1 3 1 2 0 1 0 bất đẳng thức sai nên x 1 không thể là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . x 0 3.0 2 0 2 0 bất đẳng thức đúng nên x 0 là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . Tương tự x 1 , x 2 , x 3 là nghiệm của bất phương trình 3x 2 0 . b) y 1 4 3. 1 2. 1 1 7 1 bất đẳng thức sai nên y 1 không thể là nghiệm của bất phương trình 4 3y 2y 1 . y 0 4 3.0 bất2.0 đẳng 1 thức4 1sai nên không thể lày nghiệm0 của bất phương trình 4 3y 2y 1.
y 1 4 3.1 bất2.1 đẳng1 thức1 3 đúng nên là nghiệm ycủa 1 bất phương trình 4 3y 2y 1 .Tương tự y 2 , y 3 là nghiệm của bất ph trình 4 3y 2y 1 . c) t 1 1 2 0 3 0 bất đẳng thức sai nên t 1 không thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0. t 0 0 2 0 2 0 bất đẳng thức sai nên t 0 không thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . t 1 1 2 0 1 0 bất đẳng thức sai nên t 1 không thể là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . t 2 2 2 0 0 0 bất đẳng thức đúng nên t 2 là nghiệm của bất phương trình t 2 0 . Ví dụ 2 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số. a) 2x 4 0 b) 4 3x 0 c) 2x 3 2 3x d) 7x 3 8x 5 Bài giải a) 2x 4 0 “ chuyển 4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4” 2x 4 “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ” x 2 ////////////////////////////// b) 9 3x 0 “chuyển từ3 xvế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành ”3x 3x 9 “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 3 ” x 3  ]//////////////////////// c) 2x 3 2 3x 2x 3x 2 3 5x 5 x 1 . d) 7x 3 8x 5 8x 7x 3 5 x 8 . Ví dụ 3 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số. a) 2 x 1 3x 2 x 3 1 x b) 2 2x 3 3x 3 x 2 2 1 x 1 2x x 1 x c) x 1 x 2 d) x 3 3 2 6 Bài giải
a) 2 x 1 3x 2 x 3 1 x 2x 2 3x 2 x 3 3x 4 x 4x 3 7 4x x 4 3 5x 7 x . 5  ////////////////////////// b) 2 2x 3 3x 3 x 2 2 1 x 4x 6 3x 3x 6 2 2x x 6 x 4 vô nghiệm với mọi x . 1 7 c) x 1 x 2 x 1 3 x 2 x 1 3x 6 3x x 1 6 2x 7 x 3 2  ////////////// 2x x 1 x d) x 2.2 x 3 x 1 x 6 x 4x 3x 3 5x x 5x 3 3 2 6 3 1 6x 3 x x : ///////////////////////////////// 6 2 BÀI TẬP Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) 3(2x 3) 4(2 x) 13 b) 6x 1 (3x+9) 8x 7 (2x 1) c) 8x 17 3(2x 3) 10(x 2) d) 17(x 5) 41x 15(x 4) 1 e) 4(2 3x) (5 x) 11 x f) 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x 4 3 83 4 18 ĐS: a) x 3 b) x c) x d) x e) x f) x 3 2 73 5 5 Bài 2. Giải các bất phương trình sau: 2x 1 x 6 5(x 1) 2(x 1) a) b) 1 3 2 6 3 3(x 1) x 1 3x 5 x 2 c) 2 3 d) 1 x 8 4 2 3
1 2 1 1 3 x x x 2 2x 5 22 7x 5 2x 5x 2 e) 4 5 3 3 5 f) x 3 5 2 6 4 3 4 9 14 5 ĐS: a) x 20 b) x 15 c) x d) x 5 e) x f) x 5 19 2 Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) (2x 3)(2x 1) 4x(x 2) b) 5(x 1) x(7 x) x2 (2x 1)2 (3 x)2 c) (x 1)2 (x 3)2 x2 (x 1)2 d) 8 2 (x 2)2 3(x 1)2 x2 1 x(1,5x 1) (2 x)2 5x e) f) 2 5 10 2 6 4 2 3 5 9 7 3 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 2 4 2 10 4 7 Bài 4. Giải các bất phương trình sau: 8x 2x 1 1 a) 8x 3 5 3 b) 2x 3x 5 2 5 x 5 x 1 x 3 5x x x c) 1 d) x 3 6 3 2 6 3 6 x 7 2x x 7 e) 15 5 3 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Bài 5. Với những giá trị nào của x thì: a) Giá trị của biểu thức 7 3(x 1) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức 2(x 3) 4 . x 2 b) Giá trị của biểu thức x 1 lớn hơn giá trị của biểu thức x 3 . 3 c) Giá trị của biểu thức (x 1)2 4 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x 3)2 . 3 1 1 x 2 x d) Giá trị của biểu thức x 2 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4 2 . 4 3
14 3 ĐS: a) x b) x 2 c) x d) x 2 . 5 2 Bài 6. Giải các bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 ĐS: a) x 15 b) x 100 Bài 7. a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Tìm số đó biết rằng nó lớn hơn 21 nhưng nhỏ hơn 36. b) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 300 đến 400, biết số đó chia cho 3, 4, 5 đều có số dư là 1. c) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 500 đến 600, biết số đó chia cho 5, 8, 10 có các số dư lần lượt là 2, 5, 7. ĐS: a) 31 b) 301 (x 1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 (x 3 chia hết cho 5, 8, 10) III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối a khi a 0 a a khi a 0 2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C C 1 A 0 A 0 2 B 0 B 0 Dạng A B hay hay A B A B A B A B Dạng A B A B hay A B Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
– Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ. – Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định. – Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó. – Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 1 : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức a) A 3x 2 4x nếu x 0 hoặc x 0 b) B 5x 3x 12 nếu x 0 hoặc x 0 c) C x 3 x 5 nếu x 7 d) D 2x 3 2 x nếu x 2 hoặc x 2 . Bài giải a) x 0 4 x 0 4x 4. x A 3x 2 4x 3x 2 4x 2 x x 0 4x 0 4x 4x .A 3x 2 4x 3x 2 4x 7x 2 b) x 0 5x 0 5 x 5x 5x B 5x 3x 12 5 .x 3x 12 2x 12 x 0 5x 0 5 x 5x B 5x 3x 12 5x 3x 1 .2 12 8x c) x 7 x 7 0 x 3 0 B x 3 x 5 x 3 x 5 2x 8 . d) x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x x 1 x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x 3x 5 Ví dụ 2 : Giải phương trình a) 3x 2 4x 0 b) 5x 3x 12 3 c) x 3 x 5 x 2 d) 2x 3 2 x 3 x 1
Bài giải a) Với x 0 4 x 0 4x 4 x 3x 2 4x 0 3x 2 4x 0 2 x 0 x 2 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 0 nên x 2 là nghiệm của phương trình. Với x 0 4x 0 4x 4x 3 x 2 4x 0 3x 2 4x 0 7x 2 0 2 2 x giá trị này thỏa mãn điều kiện x 0 nên x là nghiệm của phương trình. 7 7 2 Vậy S 2,  . 7  b) Với x 0 5x 0 5 x 5x 5x 5x 3x 12 3 5x 3x 12 0 2x 12 giáx trị này6 không thỏa mãn điều kiện nên xnó không0 là nghiệm. Với x 0 5x 0 5 x 5x 5x 3x 1 2 3 5x 3x 12 0 8x 12 12 3 x giá trị này không thỏa mãn điều kiện x 0 nên nó không là nghiệm. 8 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. c) Với x 3 0 x 3 . x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 x 2 2x 8 x 2 x 6 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 3 nên nó là nghiệm của phương trình. Với x 3 0 x 3 . x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 x 2 2 x 2 x 0 giá trị này thỏa mãn điều kiện x 3 nên nó là nghiệm của phương trình. Vậy S 0,6 . d) Với 2 x 0 x 2 . 2x 3 2 x 3 x 1 2x 3 2 x 3 x 1 x 1 3x 3 2x 4
x 2 giá trị này không thỏa mãn điều kiện x 2 nên nó không là nghiệm. Với 2 x 0 x 2 . 2x 3 2 x 3 x 1 2x 3 2 x 3 x 1 3x 5 3x 3 0.x 8 Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3 : Giải phương trình a) 2x 2 x 5 b) x 3 2x 5 c) x 2 x 1 3x 7 d) x 2 x 1 3x 2 Bài giải a) x 0 4 x 0 4x 4. x A 3x 2 4x 3x 2 4x 2 x x 0 4x 0 4x 4x .A 3x 2 4x 3x 2 4x 7x 2 b) x 0 5x 0 5 x 5x 5x B 5x 3x 12 5 .x 3x 12 2x 12 x 0 5x 0 5 x 5x B 5x 3x 12 5x 3x 1 .2 12 8x c) x 7 x 7 0 x 3 0 B x 3 x 5 x 3 x 5 2x 8 . d) x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x x 1 x 2 2 x 0 .B 2x 3 2 x 2x 3 2 x 3x 5 BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x x 2 b) 2 x 2 3x c) 2x 3 5x 6 1 5x x 2 x 1 1 x 3 d) 2x 6x 7 x 8 e) 6 5x f) 3 2 3 4 6
2 2 9 19  1 ĐS: a) S ;  b) S 0 c) S  d)S  e)S  f) S  5 3 7 20 8 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x2 2x x b) 2x2 5x 3 2x2 2 c) x2 4x 5 x2 1 d) 3x2 7x 2 x2 5x 6 1 ĐS: a) S 0;1;3 b) Sc) 1;  d)S 3;1 S 2 4 Bài 3. Giải các phương trình sau: 3x 6 x2 6x 8 x 6 a) x 2 b) 2x 8 c) 2 1 2x x 3 x2 36 x2 4x 3 2x2 7x 4 x2 5x 4 d) x 3 e) 4 x f) x 4 5x2 7x 2 2x 1 x2 3x 2 4  13 3  ĐS: a) S 2 b) S ;4 c) S  d) S ;3 e) S 4 f) S 4 3  2  5  Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 2x 1 x 1 b) 2 5x 3x 1 c) 1 4x 7x 2 0 d) 2x2 5x 10 2x2 1 e) x 3 4 6 f) x2 3x x2 1 1 3 1  9 9 1 ĐS: a) S 2;0 b)S ;  c)S ;1 d)S ;1;  e)S 1;5 f) S 1;  8 2 11  4 5 2 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 2x 1 5x 2 3 b) 2 x x 3 1 0 c) x 2 x 3 1 d) x 1 2 x 1 x e) 2x 3 x x 1 0 f) x 1 x 1 0 1 3 1 ĐS: a) S  b) S 4 c)2 x 3 d) S ;  e) S  f)S  2 2 2 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) 3x 8 5x+12 b) 4x 15 24 7x c) x 1 7 2x x 1 x 2 x 3 2x 1 x 1 x 2 x 3 d) 1 e) 2x (2x 1) f) x 2 3 4 2 2 3 4 11 1 ĐS: a) x 10 b) x 3 c) x 2 d) x e) x f) x 1 7 2 Bài 2. a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của bất phương trình: 11x 7 8x 2 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên âm của bất phương trình: x2 2x 8 x2 x 1 x2 x 1 x 1 2 6 3 4 c) Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình: 4(2 3x) (5 x) 11 x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình: 2(3 x) 1,5(x 4) 3 x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1 Bài 3. Giải các bất phương trình sau: x 5 x 15 x 2005 x 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x a) b) 4 2005 1995 5 15 15 16 1999 2000 1 1 1 1 1 1 c) x 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 ĐS: a) x 2010 . Trừ 2 vế cho 2 b) x 1972 . Trừ 2 vế cho 4 1 1 1 1 1 1 1 1 c) x 10 . Biến đổi , k(100 k) 100 k 100 k k(k 10) 10 k k 10 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x 3 5x 7 b) x 5 2x 9 c) 2x 11 x 8 7 4x 7x2 9x 2 x2 8x 15 d) 4x 7 9 e) 2 7x f) 3x 9 4x 7 5x 4 2x2 9x 5 5 14 3 15 1 2 ĐS: a) S  b) S 4;  c) S 1;19 d) S ;  e) S ;  f) S 3 3 3  4 4  2 7
Bài 5. Giải các phương trình sau: a) CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1. Tỉ số của hai đoạn thẳng Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu có tỉ lệ thức: AB A B AB CD hay CD C D A B C D 3. Định lí Ta-lét trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
AB AC AB AC AB AC B C P BC ; ; AB AC B B C C B B C C 4. Định lí Ta-lét đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. AB AC B C P BC B B C C 5. Hệ quả Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. AB AC B C B C P BC AB AC BC Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. A A C’ B’ A B’ C’ B C B C B’ C’ B C 6. Tính chất đường phân giác trong tam giác Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. DB AB EB AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc ·BAC DC AC EC 7. Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức
ad bc a b a c c d a b c d b d b d a c a c a c b d b d b d VẤN ĐỀ I. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, tû sè , diÖn tÝch Lo¹i 1: TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng VÝ dô minh häa: Bµi 36 – 79 – SGK (cã h×nh vÏ s½n) ABCD lµ h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm D· BA = D· BC x KL x = ? D C Gi¶i ABD vµ BDC cã : D· AB = D· BC (gt) Bµ 1 = Dµ 1 ( so le trong do AB // CD) ABD P BDC (g.g)
AB BD 12,5 x = hay = BD DC x 28,5 x2 = 12,5 . 28,5 x = 118,9(cm)2,5 . 28,5 Bµi 35 – 72 – SBT: A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? M N B C Gi¶i XÐt ABC vµ ANM ta cã : AM 10 2 = = AC 15 3 AM AN = AN 18 2 AC AB = = AB 12 3 MÆt kh¸c, cã µA chung VËy ABC P ANM (c.g.c) AB BC 12 18 8.18 Tõ ®ã ta cã : = hay = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bµi tËp 3: a) Tam gi¸c ABC cã Bµ = 2Cµ ; AB = 4cm; BC = 5cm. TÝnh ®é dµi AC?
b) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña ABC cã Bµ = 2Cµ biÕt r»ng sè ®o c¸c c¹nh lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp. A Gi¶i a) Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy BD = BC B ACD vµ ABC cã µA chung; Cµ = Dµ =  ACD P ABC (g.g) AC AD = AC2 = AB. AD AB AC = 4 . 9 = 36 D C AC = 6(cm) b) Gäi sè ®o cña c¹nh BC, AC, AB lÇn l-ît lµ a, b, c. Theo c©u (a) ta cã. AC2 = AB. AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta cã b > c (®èi diÖn víi gãc lín h¬n) nªn chØ cã 2 kh¶ n¨ng lµ: b = c + 1 hoÆc b= c + 2 * NÕu b = c + 1 th× tõ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + 1 = ac c(a-2) = 1 (lo¹i) v× c= 1 ; a = 3; b = 2 kh«ng lµ c¸c c¹nh cña 1 tam gi¸c * NÕu b = c + 2 th× tõ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + 4 = ac c(a – 4) = 4 XÐt c = 1, 2, 4 chØ cã c = 4; a = 5; 5 = 6 tháa m·n bµi to¸n. VËy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Bµi tËp ®Ò nghÞ: Bµi 1: Cho ABC vu«ng ë A, cã AB = 24cm; AC = 18cm; ®-êng trung trùc cña BC c¾t BC , BA, CA lÇn l-ît ë M, E, D. TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n BC, BE, CD.
Bµi 2: H×nh thoi BEDF néi tiÕp ABC (E AB; D AC; F AC) a) TÝnh c¹nh h×nh thoi biÕt AB = 4cm; BC = 6cm. Tæng qu¸t víi BC = a, BC = c. 2ac b) Chøng minh r»ng BD < víi AB = c; BC = a. a c c) TÝnh ®é dµi AB, BC biÕt AD = m; DC = n. C¹nh h×nh thoi b»ng d. Lo¹i 2: TÝnh gãc VÝ dô minh häa: 5 Bµi 1: Cho ABH vu«ng t¹i H cã AB = 20cm; BH = 12cm. Trªn tia ®èi cña HB lÊy ®iÓm C sao cho AC = 3 AH. TÝnh B· AC . A ABH; Hµ = 900 ; AB = 20cm 5 20 GT BH = 12cm; AC = AH 3 KL B· AC = ? B 12 H C Gi¶i: AB 20 5 AC Ta cã BH 12 3 AH AB BH AC AH XÐt ABH vµ CAH cã : ·AHB = C· HA = 900 AB BH (chøng minh trªn) AC AH
ABH P CAH (CH c¹nh gv) C· AH = ·ABH L¹i cã B· AH + ·ABH = 900 nªn B· AH + C· AH = 900 Do ®ã : BAC = 900 Bµi 2: Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, cã A = 600. Mét ®-êng th¼ng bÊt kú ®i qua C c¾t tia ®èi cña c¸c tia BA, DA t-¬ng øng ë M, N. Gäi K lµ giao ®iÓm cña BN vµ DM. TÝnh BKD? B H×nh thoi ABCD; µA = 600 ; A GT BN  DM t¹i K KL TÝnh B· KD = ? K C M D Gi¶i: N MB MC Do BC // AN (v× N AD) nªn ta cã : (1) AB NC MC AD Do CD // AM (v× M AB) nªn ta cã : (2) NC DN MB AD Tõ (1) vµ (2) AB DN ABD cã AB = AD (®/n h×nh thoi) vµ µA = 600 nªn lµ ®Òu AB = BD = DA
MB AD MB BD Tõ (cm trªn) AB DN BD DN MÆt kh¸c : M· BD = D· BN = 1200 MB BD XÐt 2 MBD vµ BDN cã : ; M· BD = D· BN BD DN MBD P BDN (c.g.c) ¶ µ M1 = B1 ¶ µ · · · 0 MBD vµ KBD cã M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120 VËy B· KD = 1200 Bµi tËp ®Ò nghÞ: ABC cã AB: AC : CB = 2: 3: 5 vµ chu vi b»ng 54cm; DEF cã DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chøng minh AEF P ABC b) BiÕt A = 1050; D = 450. TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña mçi Lo¹i 3: TÝnh tû sè ®o¹n th¼ng, tû sè chu vi, tû sè diÖn tÝch VÝ dô minh häa: + Bµi 1: Cho ABC, D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho B· DC ·ABC . BD BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm. TÝnh tû sè BA B ABC; D AC : ; B· DC ·ABC GT AD = 7cm; DC = 9cm BD KL TÝnh . BA C D A
Gi¶i: CAB vµ CDB cã C chung ; ·ABC = B· DC (gt) CB CA CAB P CDB (g.g) do ®ã ta cã : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nªn CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) Do ®ã CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) DB 3 MÆt kh¸c l¹i cã : BA 4 + Bµi 2: (Bµi 29 – 74SGK) A A’ ABC vµ A’B’C’: AB =6 ; 6 94 6 GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = 8 6 KL a) ABC P A’B’C’ B 12 C B’ 8 C’ b) TÝnh tØ sè chu vi cña A’B’C’ vµ ABC Gi¶i: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) A'B' A'C' B'C' 2 V× AB AC BC 3 A' B' A'C' B'C' A'B' A'C' B'C' b) A’B’C’ P A+B+C+ (c©u a) = AB AC BC AB AC BC 4 6 8 18 = 6 9 12 27 Chuvi A'B'C' 18 VËy Chuvi ABC 27
+ Bµi 3: Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi E vµ F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña Ab, BC, CE c¾t DF ë M. TÝnh tû S sè CMB ? SABCD D C H×nh vu«ng ABCD; AE = EB ; M GT BF = CF; CE  DF t¹i M F S KL TÝnh CMB ? SABCD A E B Gi¶i: XÐt DCF vµ CBE cã DC = BC (gt); Cµ = Bµ = 900; BE = CF µ µ DCF = CBE (c.g.c) D 1 = C 2 µ µ µ µ Mµ C 1 + C 2 = 1v C 1 + D 1 = 1v CMD vu«ng ë M µ µ µ ¶ DC CM CMD P FCD (v× D 1 = C 2 ; C = M ) FD FC 2 2 SCMD CD CD = 2 SCMD = 2 . SFCD SFCD FD FD 1 1 1 1 2 Mµ SFCD = CF.CD = . BC.CD = CD 2 2 2 4 2 4 CD 1 2 1 CD VËy SCMD = . CD = . (*) FD2 4 4 FD2 ¸p dông ®Þnh lý pitago vµo tam gi¸c vu«ng DFC, ta cã: 1 1 5 DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 2 4 4 5 Thay DF2 = CD2 ta cã : 4 1 2 1 SCMD = CD = SABCD 5 5
S 1 CMB = SABCD 5 Bµi tËp ®Ò nghÞ: Cho ABC, D lµ trung ®iÓm cña BC, M lµ trung ®iÓm cña AD. PA a) BM c¾t AC ë P, P’ lµ ®iÓm ®èi xøng cñ P qua M. Chøng minh r»ng PA = P’D. TÝnh tû sè vµ PC AP AC PQ PM b) Chøng minh AB c¾t Q, chøng minh r»ng PQ // BC. TÝnh tû sè vµ BC MB c) Chøng minh r»ng diÖn tÝch 4 tam gi¸c BAM, BMD, CAM, CMD b»ng nhau. TÝnh tû sè diÖn tÝch MAP vµ ABC. Lo¹i 4: TÝnh chu vi c¸c h×nh Bµi 1(bµi 33 – 72 – SBT) ABC; O n»m trong ABC; GT P, Q, R lµ trung ®iÓm cña OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) TÝnh chu vi PQR. BiÕt chu vi ABC 543cm Gi¶i: a) PQ, QR vµ RP lÇn l-ît lµ ®-êng trung b×nh cña OAB , ACB vµ OCA. Do ®ã ta cã : 1 1 1 PQ = AB; QR = BC ; RP = CA A 2 2 2 PQ QR RP 1 Tõ ®ã ta cã : P AB BC CA 2 1 PQR P ABC (c.c.c) víi tû sè ®ång d¹ng K = O 2 b) Gäi P lµ chu vi cña PQR ta cã : Q R P’ lµ chu vi cña PQR ta cã : B C
P' 1 1 1 K P’ = P = .543 = 271,5(cm) P 2 2 2 VËy chu vi cña PQR = 271,5(cm). + Bµi 2: Cho ABC, D lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB, E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho DE // BC. 2 X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm D sao cho chu vi ABE = chu vi ABC. 5 TÝnh chu vi cña 2 tam gi¸c ®ã, biÕt tæng 2 chu vi = 63cm 2 A ABC; DE//BC; C.vi ADE= C.vi ABC 5 GT C.vi ADE + C.vi ADE = 63cm D E KL TÝnh C.vi ABC vµ C.vi ADE B C Gi¶i: Do DE // BC nªn ADE P ABC theo tû sè ®ång d¹ng. AD 2 K = = . Ta cã . AB 5 Chuvi ADE' 2 Chuvi ABC Chuvi ADE Chuvi ABC Chuvi ADE 63 = = 9 Chuvi ABC 5 5 2 % 2 7 Do ®ã: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Bµi tËp ®Ò nghÞ: 2 + Bµi 1: A’B’C’ P ABC theo tû sè ®ång d¹ng K = . 5 TÝnh chu vi cña mçi tam gi¸c, biÕt hiÖu chu vi cña 2 tamgiasc ®ã lµ 51dm.
+ Bµi 2: TÝnh chu vi ABC vu«ng ë A biÕt r»ng ®-êng cao øng víi c¹nh huyÒn chia tam gi¸c thµnh 2 tam gi¸c cã chu vi b»ng 18cm vµ 24cm. Lo¹i 5: TÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh + Bµi 1(Bµi 10 – 63 – SGK): A ABC; ®-êng cao AH, d// BC, d c¾t AB, AC, AH GT theo thø tù t¹i B’, C’, H’ ’ AH ' B'C' B’ H’ C’ KL a) AH BC 1 2 b) BiÕt AH’ = AH; S ABC = 67,5cm 3 B H C TÝnh S A’B’C’ Gi¶i: AH ' B'H ' H 'C' B'H ' H 'C' B'C' a) V× d // BC = = = = (®pcm) AH BH HC BH HC BC AH ' B'C' AH ' AH '.B'C' 2S S b) Tõ ( )2 = = AB'C' = AB'C' AH BC AH AH.BC 2S ABC S ABC 1 AH ' 1 AH ' 1 1 Mµ AH’ = AH = ( )2 = ( )2 = 3 AH 3 AH 3 9 S AB'C' 1 2 VËy = vµ S ABC = 67,5cm S ABC 9 S 1 S 1 Nªn ta cã : AB'C' = AB'C' = S ABC 9 67,5 9 67,5 2 S AB’C’ = = 7,5(cm ) 9 + Bµi 2(bµi 50 – 75 – SBT) ABC(µA = 900); AH  BC
GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL TÝnh S AMH Gi¶i: A XÐt 2 vu«ng HBA vµ vu«ng HAC cã : B· AH + H· AC = 1v (1) H· CA + H· AC = 1v (2) Tõ (1) vµ (2) B· AH = H· CA VËy HBA P HAC (g.g) B 4 H M C HB HA HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 9 HA HC HA = 6cm L¹i cã BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 1 6.13 2 S ABM = S ABC = . = 19,5(cm ) 2 2 2 1 2 S AHM = S BAH = 19,5 - .4.6 = 7,5(cm ) 2 2 VËy S AMH = 7,5(cm ) + Bµi 3: Cho ABC vµ h×nh b×nh hµnh AEDF cã E AB; D BC, F AC. 2 2 TÝnh diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh biÕt r»ng : SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm ; ABC h×nh b×nh hµnh AEDF 2 2 GT SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm KL TÝnh SAEDF
Gi¶i: µ µ XÐt EBD vµ FDC cã B = D 1 (®ång vÞ do DF // AB) (1) E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) µ µ E 1 = F 1 (2) D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) Tõ (1) vµ (2) EBD P FDC (g.g) 1 2 Mµ SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( ) 2 EB ED 1 1 Do ®ã : FD = 2EB vµ ED = FC A FD FC 2 2 AE = DF = 2BE ( v× AE = DF) F 1 AF = ED = EC ( v× AF = ED) E 2 2 VËy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm ) 1 1 2 SADF = SFDC = . 12 = 6(cm ) B D C 2 2 2 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm ) Bµi tËp ®Ò nghÞ: + Bµi 1:Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi = 2cm. Gäi E, F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, DC. Gäi I, H theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AF víi BE, BD. TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c EIHD +Bµi 2: Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch 36cm2, trong ®ã diÖn tÝch ABC lµ 11cm2. Qua B kÎ ®-êng th¼ng // víi AC c¾t AD ë M, c¾t CD ë N. TÝnh diÖn tÝch MND. + Bµi 3: Cho ABC cã c¸c B vµ C nhän, BC = a, ®-êng cao AH = h. XÐt h×nh ch÷ nhËt MNPQ néi tiÕp tam gi¸c cã M AB; N AC; PQ BC. a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt nÕu nã lµ h×nh vu«ng. b) TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt a = h
c) H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã vÞ trÝ nµo th× diÖn tÝch cña nã cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Bài 1. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD EC 16cm và chu vi tam giác ABC bằng 75cm. HD: Vẽ DN // BC DNCE là hbh DE = NC. DE = 18 cm. Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA. NB a) Tính tỉ số . NC b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN. NB 1 HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P ABNP, PNCQ là các hbh . NC 3 b) Vẽ PE // AD MPED là hbh MN = 11 cm. AB AC Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B , C sao cho . Qua B vẽ AB AC đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C . a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC . b) Chứng minh B C // BC. HD: a) AC = AC b) C trùng với C B C // BC. Bài 4. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt tại B , C , H . AH B C a) Chứng minh . AH BC 1 b) Cho AH AH và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2 . Tính diện tích tam giác AB C . 3 1 HD: b) S S 7,5cm2 . AB C 9 ABC Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
DN HD: Vẽ BM  AC, DN  AC 0,75 . BM Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M AB; F, N AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF. b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2 . 1 HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) S S 90cm2 . MNFE 3 ABC Bài 7. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. IM IB IM IB OD a) Chứng minh: và . . OA OB IP ID OB IM IN b) Chứng minh: . IP IQ HD: Sử dụng định lí Ta-lét. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau. HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC. Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD ở M, cắt cạnh DM CN m mAB nCD BC ở N. Biết rằng . Chứng minh rằng: MN . MA NB n m n m n HD: Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được EN AB,ME CD . m n m n Bài 10. Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vuông. Từ một điểm M trên đường chéo AC, vẽ MN MN MP  BC, MP  AD. Chứng minh: 1 . AB CD MN MP HD: Tính riêng từng tỉ số , rồi ;cộng lại. AB CD Bài 11. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC ở N, cắt đường thẳng AB ở M. a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.
b) Chứng minh hệ thức: ID2 IM.IN . Bài 12. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B , C . S AB AC Chứng minh: ABC . . SAB C AB AC AC CH HD: Vẽ các đường cao CH và C H . AC C H 1 Bài 13. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho AD AB , 4 1 1 BE BC , CF CA . Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng a2(cm2) . 4 4 3 7 HD: S S S S S a2(cm2) . BED CEF ADF 16 ABC DEF 16 AK 1 Bài 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho . Trên cạnh BC lấy điểm L sao cho BK 2 CL 2 . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích BL 1 tam giác BQC bằng a2(cm2) . SBLQ SCLQ 4 7 7 2 2 HD: Vẽ LM // CK. SABC SBQC a (cm ) . SBLA SCLA 7 4 4 Bài 15. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho: AD BE CF 1 AB BC CA 3 Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC là S. HD: Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD. DD 7 CM 6 6 2 2 Qua D vẽ DD // AE. Tính được S S S S . ME 6 CD 7 CMA 7 CAD 7 ABC 7 1 S S (S S S ) S . MPT ABC CMA APB BTC 7 VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai đường thẳng song song
VÝ dô 1: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD). Gäi M lµ trung ®iÓm cña CD, E lµ giao ®iÓm cña MA vµ BD; F lµ giao ®iÓm cña MB vµ AC. Chøng minh r»ng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA  DB = E MB  AC = F KL EF // AB D M C §Þnh h-íng gi¶i: - Sö dông tr-êng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c - §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng - DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®-êng th¼ng song song (®Þnh lý Ta lÐt ®¶o) S¬ ®å ph©n tÝch: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED P AEB GT MFC P BFA   
ME MD MF MC = ; MD = MC = EA AB FB AB  ME MF = EA FB  EF // AB (§Þnh lý Ta lÐt ®¶o) VÝ dô 2: Cho ABC cã c¸c gãc nhän, kÎ BE, CF lµ hai ®-êng cao. KÎ EM, FN lµ hai ®-êng cao cña AEF. Chøng minh MN // BC S¬ ®å ph©n tÝch AMF P AFC (g.g); AFN P ABE A   M N AM AE AF AN = = F E AF AC AB AE  AM AF AE AE . = . B C AF AB AC AC 
AM AN = AB AC  MN // BC (®Þnh lý Ta – lÐt ®¶o) VÝ dô 3: Cho ABC, c¸c ®iÓm D, E, F theo thø tù chia trong c¸c c¹nh AB, BC, CA theo tû sè 1 : 2, c¸c ®iÓm I, K theo thø tù chia trong c¸c ®o¹n th¼ng ED, FE theo tØ sè 1 : 2. CMR IK// BC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AF Gäi N lµ giao ®iÓm cña DM vµ EF A F XÐt ADM vµ ABC cã : D M N I K AD AM 1 = = Gãc A chung AB AC 3 ADM P ABC (c.gc) B E C ·ADM = ·ABC mµ 2 gãc nµy ë vÞ trÝ ®ång vÞ nªn DM // BC MN // EC mµ MF = FC nªn EF = FN EK EK EF 2 1 1 Ta cã : = . = . = (1) EN EF EN 3 2 3 EI 1 mµ = (gt) (2) ED 3 EK EI Tõ 91) vµ (2) = Suy ra IK // DN (®Þnh lý Ta – lÐt ®¶o) EN ED VËy IK // BC. Bµi tËp ®Ò nghÞ: Cho tø gi¸c ABCD, ®-êng th¼ng ®i qua A song song víi BC c¾t BD. §-êng th¼ng ®i qua B vµ song song víi AD c¾t AC ë G. Chøng mi9nh r»ng EG // DC
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE AH CF CG . AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành. b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi. HD: b) Gọi I, J là giao điểm của AC với HE và GF PEFGH 2(AI IJ JC) 2AC . Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh IK // AB. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt ở E và F. Chứng minh EI = IK = KF. MI MK HD: a) Chứng minh IK P AB . IA KB Bài 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC tại M và AB tại K. Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB tại F. Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC tại P. Chứng minh rằng: a) MP song song với AB. b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui. HD: b) Gọi I là giao điểm của DB với CF. Chứng minh P, I, M thẳng hàng. Bài 4. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB ở E và đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD ở F. a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD. b) Từ O vẽ các đường thẳng song song với AB và AD, cắt BC và DC lần lượt tại G và H. Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH. AE AF HD: a) Chứng minh b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH. AB AD VẤN ĐỀ III. Tính chất đường phân giác của tam giác
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy. A 3 2 4 1 C D B E ∆ : = ⇒ = ∆ : = ⇒ = 1 2 3 4 Bài 1: Cho tam giác ABC, có AB = 30cm, AC = 50cm, đường phân giác BD. a) Tính đọ adài DB, DC. b) Qua D vẽ DE//AB,DF//AC (E AC, F AB). Tính độ dài cạnh của tứ giác AEDF. Giải
A E F B D C - HS lên bảng trình bày lời giải, dưới lớp HS cả lớp làm bài ra vở: BD 2 DB DC DB DC 50 a) , 10 DC 3 2 3 3 2 5 => DB = 20cm, DC = 30cm b)Tứ giác AEDF là hình thoi DE DC DE 30 DE 18cm AB BC 30 50 Bài 2 : Cho tam giác ABC , vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cmđường cao AH. Tia phân giác góc HAB cắt HB tại D. Tia phân giác goác HAC cắt HC tại E a) Tính độ dài AH Tính độ dài HD , HE Giải A B D H E C a) Tính BC dựa vào định lý Pitago
BC = 25cm, AH = 12cm b) Tính được Hb = 6cm, HC = 16cm DH AH 4 DB AB 5 DH DB DH DB 9 1 DH 4cm 4 5 4 5 9 Tương tự tính được HE = 6cm AK 3 Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A, BC = 8cm, phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K, . AH 5 a) Tính độ dài AB. b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH ở E. Tính EH. HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm. Bài 2. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong của góc A. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD. S m HD: ABD . SACD n Bài 3. Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm. a) Tính AD, DC. b) Đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại D . Tính D C. HD: a) DA = 9cm, DC = 6cmb) D C = 10cm. Bài 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích ABC bằng S. b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC? n m HD: a) S S b) S 20%S . ADM 2(m n) ABC ADM ABC Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm của hai đường phân giác BD, AE.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AD. b) Chứng minh OG // AC. HD: a) AD 2,5cm b) OG // DM OG // AC. Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc ·AMB cắt AB ở D, đường phân giác của góc ·AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh DE // BC. DA EA HD: DE P BC . DB EC Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC), AD là phân giác trong của góc A. Qua trung điểm E của cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC tại F, cắt đường thẳng AB tại G. Chứng minh CF = BG. BG BE.CD.BA CD.AB HD: 1 . CF BD.CE.AC BD.AC Bài 8. Cho tam giác ABC và ba đường phân giác AM, BN, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, 5. a) Tính MC, biết BC = 18cm. b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm. OP c) Tính tỉ số . OC MB NC PA d) Chứng minh: . . 1 . MC NA PB 1 1 1 1 1 1 e) Chứng minh: . AM BN CP BC CA AB OP 1 HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) OC 3 2AC.AB 1 1 1 1 e) Vẽ BD // AM BD < 2AB AM . AC AB AM 2 AB AC 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự: , đpcm. BN 2 AB BC CP 2 AC BC Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường phân giác của góc AIB cắt cạnh AB ở M. Đường phân giác của góc AIC cắt cạnh AC ở N.
a) Chứng minh rằng MM // BC. b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN  AI? AM AN HD: a) Chứng minh . BM CN Bài 10. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc µD 600 . Đường phân giác của góc D cắt đường chéo 4 AC tại I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số và cắt đáy AB tại M. Tính các cạnh đáy AB, DC, biết MA 11 – MB = 6cm. MB 3 HD: Chứng minh DC = AB + AD DC = AB + AM DC = 66cm, AB = 42cm. MA 4 Bài 11. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. AB AD AC Chứng minh hệ thức: . AE AF AG HD: Vẽ DM // EF, BN // EF. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ADM, ABN. Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một điểm N sao cho DN = BM. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui. HD: II. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác A B C gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: A B B C C A µA µA, µB µB, µC µC; AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp đỉnh tương ứng: A B C  . ABC b) Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. A A N M A M N B C B C M N B C 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. A B B C C A A B C  ABC AB BC CA Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. A B A C , µA µA A B C  ABC AB AC Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. µA µA, µB µB A B C  ABC 3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì: Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán I. C¸c vÝ dô vµ ®Þnh h-íng gi¶i: VÝ dô 1: Bµi 29(SGK – T79) – (H8 – TËp 2) Cho h×nh thang ABCD(AB // CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña 2®-êng chÐo AC vµ BD a) Chøng minh r»ng: OA. OD = OB. OC. b) §-êng th¼ng qua O vu«ng gãc víi AB vµ CD theo thø tù t¹i H vµ K. OA AB CMR: = OK CD * T×m hiÓu bµi to¸n : Cho g×? Chøng minh g×? * X¸c ®Þnh d¹ng to¸n: ? §Ó chøng minh hÖ thøc trªn ta cÇn chøng minh ®iÒu g×? OA OB TL: = OC OD ? §Ó cã ®o¹n th¼ng trªn ta vËn dông kiÕn thøc nµo. TL: Chøng minh tam gi¸c ®ång d¹ng a) OA. OD = OB.OC
S¬ ®å : µ µ + A 1 = C 1 (SLT l AB // CD) H A B + ·AOB = C· OD ( §èi ®Ønh)  O OAB P OCD (g.g) D C K  OA OB = OC OD  OA.OD = OC.OC OH AB b) = OK CD OH Tû sè b»ng tû sè nµo? OK OH OA TL : = OK OC OH AB ? VËy ®Ó chøng minh = ta cÇn chøng minh ®iÒu g×. OK CD AB OA TL: = CD OC S¬ ®å : +Hµ = Kµ = 900 µ µ + A 1 = C 1.(SLT; AB // CD) C©u a  
OAH P OCK(gg) OAB P OCD   OH OA AB OA = = OK OC CD OC OH AB = OK CD VÝ dô 2: Cho hai tam gÝac vu«ng ABC vµ ABD cã ®Ønh gãc vu«ng C vµ D n»m trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB. Gäi P lµ giao ®iÓm cña c¸c c¹nh AC vµ BD. §-êng th¼ng qua P vu«ng gãc víi AB t¹i I. CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD O C P6 A I B §Þnh h-íng: - Cho HS nhËn xÐt ®o¹n th¼ng AB (AB = AI + IB) AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB) - ViÖc chøng minh bµi to¸n trªn ®-a vÒ viÖc chøng minh c¸c hÖ thøc AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS x¸c ®Þnh kiÕn thøc vËn dông ®Ó chøng minh hÖ thøc ( P) S¬ ®å : + Dµ = I = 900 + Cµ = I = 900
+ P· BI chung + P· AI chung   ADB P PIB ACB P AIP (gg)   AB DB AB AC = = PB IB AP AI   AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP  AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP  AB2 = BP . PD + AC . AP VÝ dô 3: Trªn c¬ së vÝ dô 2 ®-a ra bµi to¸n sau: Cho nhän ABC, c¸c ®-êng cao BD vµ CE c¾t nhau t¹i H. A CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE D §Þnh h-íng: Trªn c¬ së bµi tËp 2 E Häc sinh ®-a ra h-íng gi¶i quyÕt bµi tËp nµy. H VÏ h×nh phô (kÎ KH  BC; K BC). Sö dông P chøng minh t-¬ng tù vÝ dô 2 B C VÝ dô 4: Cho ABC, I lµ giao ®iÓm cña 3 ®-êng ph©n gi¸c, ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi CI t¹i I c¾t AC vµ BC lÇn l-ît ë M vµ N. Chøng minh r»ng. a) AM . BI = AI. IM A I
b) BN . IA = BI . NI M 2 AM AI c) = BN BI * §Þnh h-íng: a) ? §Ó chøng minh hÖ thøc AM. BI = AI. B N C AM IM IM ta cÇn chøng minh ®iÒu g×. AI BI b) §Ó chøng minh ®¼ng thøc trªn ta cÇn chøng minh ®iÒu g×. ( AMI P AIB) S¬ ®å: µ µ   A1 = A2 (gt)I 1 = Bµ 1 * CM: I 1 = Bµ 1 Cµ v MIC: I·MC = 900 - 2 AMI P AIB (gg) ABC: + + = µA180 Bµ Cµ 0(t/c tæng ) µA Bµ Cµ  + + = 900 2 2 2 AM IM µA Bµ = Do ®ã: I·MC = + (1) AI BI 2 2 · µ µ  MÆt kh¸c: IMC = A1 + I1 (t/c gãc ngoµi ) µA AM. BI = AI . IM hay I·MC = + Iµ (2) 2 1 Bµ Tõ 91) vµ (2) = Iµ hay Bµ = Iµ 2 1 1 1 µ ¶ µ µ AMI P AIB (A1 = A2 ; I1 = B1 ) AM IM = AM . BI = AI. IM AI BI
b) T-¬ng tù ý a. Chøng minh BNI P BIA (gg) BN NI = BN . IA = BI. IN BI IA c) (C©u a) (C©u b)   2 AI AI 2 - HS nhËn xÐt = 2 AMI P AIB BNI P BIA IA BI   AI 2 AM IM BI BN TÝnh AI2 ; BI2 = = BI 2 AI BI AB BI   (TÝnh AI2 ; BI2 nhê P) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB AI 2 AM = BI 2 BN  2 AI AM = BI BN II. Bµi tËp ®Ò nghÞ: + Bµi 1: Cho h×nh thanh ABCD (AB // CD), gäi O lµ giao ®iÓm cña 2 ®-êng chÐo. Qua O kÎ ®-êng th¼ng song song víi 2 ®¸y c¾t BC ë I c¾t AD ë J. 1 1 1 CMR : a) = + OI AB CD
2 1 1 b) = + IJ AB CD + Bµi 2: Cho ABC, ph©n gi¸c AD (AB < AC). trªn tia ®èi cña tia DA lÊy ®iÓm I sao cho ·ACI = B· DA . CMR: a) AD . DI = BD . DC b) AD2 = AB . AC - BD . DC Bài 1. Cho tam giác A B C đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác. 3 b) Cho k và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác. 5 P HD: a) k b) P 60(dm),P 100(dm) . P 4 Bài 2. Cho tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k . Tính chu vi của tam giác ABC, biết 3 chu vi của tam giác A B C bằng 27cm. HD: P 20,25(cm) . Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của A B C . HD: A B 15cm, B C 25cm, A C 35cm . Bài 4. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. a) Chứng minh ABH  ACK. b) Cho ·ACB 400 . Tính ·AKH . HD: b) ·AKH ·ACB 400 . Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng CP. BH CH a) Chứng minh BHP  CHB. b) Chứng minh: . BQ CD
c) Chứng minh CHD  BHQ. Từ đó suy ra ·DHQ 900 . HD: c) Chứng minh ·DHQ ·CHD ·CHQ ·BHQ ·CHQ ·BHC 900 . Bài 6. Hai tam giác ABC và DEF có µA µD , µB µE , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. b) Cho diện tích tam giác ABC bằng 39,69cm2 . Tính diện tích tam giác DEF. 2 HD: a) ABC  DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm ) . Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng minh AKI  ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Tính diện tích của tứ giác AKHI. 216 HD: b) S 39cm2 c) S cm2 . ABC AKHI 13 Bài 8. Cho tam giác ABC, có µA 900 µB , đường cao CH. Chứng minh: a) ·CBA ·ACH b) CH 2 BH.AH Bài 9. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC bằng S . S HD: S . GMN 12 Bài 10. Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM = DA. a) Chứng minh EMC  ECB. b) Chứng minh EB.MC = 2a2 . c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. 4 HD: c) S a2 . EMC 5 Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho 2AM 3MB . Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D. a) Chứng minh AMN  NDC.
b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích các tam giác AMN, ABC và NDC. 200 32 HD: b) S 24cm2 , S cm2 , S cm2 . AMN ABC 3 NDC 3 VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC. Chứng minh rằng a). ADE ABC b). Tìm tỉ số đồng dạng. Giải
D E A B C AB AC 1 a) =>BC//ED(Định lý Talet đảo) AD AE 2 => ADE ABC(định lý hai tam giác đồng dạng) AD b) 2 AB MB 1 Bài 3 : Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho . Qua M kẻ đường thẳng song song với MC 2 AC cắt cạnh AB ở D. Qua M kẻ đ\ường thẳng song song với AB cắt AC ở E. a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng. b) Tính chu vi tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm. HD A E D B M C a) DBM ABC EMC ABC EMC DBM b)Chu vi tam giác PDBM 8cm
PEMC 16cm Bài 3: Hai tam giác mà độ dài các cạnh như sau có đồng dạng không? a) 15cm, 18cm, 21cm và 28cm, 24cm, 20cm. b) 1dm, 2dm, 2dm và 10cm, 10cm, 5cm. c) 4m, 5m, 6m và 8m, 10m, 12m HD 15 18 21 3 a) ( ) => Hai tam giác đồng dạng 20 24 28 4 10 20 20 b) ( 2) => Hai tam giác đồng dạng 5 10 10 4 5 c) 8 9 Bài 4 : Tứ giác ABCD có AB = 2cm, BC = 10cm, CD = 12,5cm, AD = 4cm, BD = 5cm. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang. HD A B 2 10 4 5 D 12,5 C C/m ABD BDC ABˆD BDˆC => AB//CD ABˆD; BDˆCsoletrong Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 18cm, AC =27cm, BC=30cm. Gọi D là trung điểm của AB, điểm E thuộc cạnh AC sao choAE =6cm a) Chứng minh: AED ABC
b) Tính độ dài DE. HD A E D B C a) Xét AEDvà ABC Aˆ chung AE AD 1 AB AC 3 => AED ABC b) Từ câu a) suy ra DE AE DE 1 DE 10cm CB AB 30 3 Bài 6 :Hình thang ABCD(AB//CD) có AB =2cm,BD =4cm,CD = 8cm. Chứng minh. Aˆ DBˆC HD A B C D BA DB 1 BD DC 2 ABˆD BDˆC(soletrong)  ABD BDC  Aˆ DBˆC Bài 7 :(Bài 34SGK)
AB 4 Dựng tam giác ABC biết Aˆ 600 tỉ số và đường cao AH = 6cm AC 5 Giải: A H B C B' C' H' x y Dựng góc xAy bằng 600 Dựng B’ tia Ax sao cho AB’ = 4 Dựng C’ tia Ax sao cho AC’ = 5 Dựng AH’B’C’ Trên tia AH’ dựng H sao cho AH =6cm Qua H dựng đường thẳng vuông góc Ax cắt Ax và Ay tại B và C Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC =9cm.Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABˆD Cˆ . Tính độ dài AD HD A D 9 6 B C Xét ABDvà ACB Aˆ chung ABˆD Cˆ .
=> ABD ACB AD AB AD 6 AD 4cm AB AC 6 9 Bài 9 :Cho tam giác ABC có AC≥AB, đường phân giác AD. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao choCDˆE BAˆC . a)Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC. b)Chứng minh rằng : ED = DB HD A E B C D a) Xét DEC và ABC CEˆD CAˆB Cˆ chung  DEC ABC DC DC DE DB  vậy DE=DB AB AC AB AB Bài 10 :Dựng tam giác ABC biết Bˆ 600 ;Cˆ 450 và đường cao AH =h. Giải:
A H B C B' C' H' x y Dựng tam giác AB’C’ biết Bˆ' 600 ;Cˆ' 450 Dựng AH’BC Trên tia AH’ dựng H sao cho AH =h Qua H dựng đường thẳng song songvới B’C’ cắt AB’ và AC’ tại B và C. Chứng minh: BC//B’C nên Bˆ' Bˆ 600 ;Cˆ' Cˆ 450 Tam giác ABC có Bˆ 600 ;Cˆ 450 đường cao AH = h. Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình. Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB =2cm; BD = 4cm; CD = 8cm. Chứng minh rằng Aˆ DBˆC HD A B D C Xét ABDvà ACB ABˆD BDˆC . BA DA 1 => ABD BDC( cgc) BD DC 2 => Aˆ DBˆC
Bài 12 :Cho tam giác ABC và các đường cao BD, CE a) Chứng minh rằng : ABD ACE. Tính AEˆD biết ACˆB 500 HD A D E B C a) Xét ABD và ACE CEˆB CDˆB Aˆ chung : ABD ACE. b) AEˆD = 400 Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A(Aˆ <900), đường cao AD và CE cắt nhau tại H Tính BC biết HD =4cm, HA=32cm, HD A E B D C
Xét CDH và ADC => ABD BDC( cgc) . CD HD CD 4 AD CD 36 CD CD 12cm BC 24cm => Aˆ DBˆC Bài 14 :Cho tam giác ABC và các đường cao AH(H BC) có AH = 6cm, BH = 4cm,HC=9cm. Chứng minh rằng: a) AHB CHA b) BAˆC 900 HD A 6 4 9 B H C a) Xét ABH và CHA AHˆB AHˆC =900 BAˆH HCˆA cùng phụ với góc HAC : ABH  CHA HAˆB HAˆC 900 b) BAˆC 900 Bài 15: Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O , BAO = BDC.Chứng minh;
a) ABO đồng dạng với DCO b) BCO đồng dạng với ADO HD C B O A D a/ Xét ABO và DCO có: BÂC = BDC (GT) AÔB = DÔC (đối đỉnh) Nên ABO DCO (g.g) B = C (góc t/ứng). b/ Ta có: C = 900 – C (GT) 0 0 B = 90 – D (Â = 90 ) C = D. Mà B = C (ch/m trên) Xét BCO và ADO có: C = D(Ch/m trên) BÔC = AÔD (đối đỉnh). Nên BCO ADO (g.g). Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =12cm, BC=9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh AHB đồng dạng với BCD b) Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Tính diện tích tam giác AHB HD
C/M a/ Xét AHB và BCD có: A 12 B ABH = BDC (So le trong do AB // CD) b 9 H H = C = 900. D C AH AB Nên AHB BCD (g.g) = . BC BD AB.BC 12.9 b/ Từ tỉ lệ thức trên AH = = . Trong ADB, Â = 900 theo Pytago: BD2 = AD2 + AB2 = 225. BD BD BD = 15cm. AH AB 7,2 4 Do đó AH = = 7,2cm. Và = = = . BC BD 9 5 1 2 c/ Ta có SBCD = a.b = 54cm . 2 2 S AHB 2 4 16 2 Và = k = S ABH = .54 = 34,56cm . S BCD 5 25 Bài 17:Tứ giác ABCD, AC cắt DB tại O, ABD = ACD. Cạnh AD kéo dài cắt BC tại E. a/ CM: AOB DOC? b/ CM: AOD BOC HD GT Tứ giác ABCD, AC  DB ={O}. ABD = ACD,AD  BC ={E}. KL a/ CM: AOB DOC? b/ CM: AOD BOC? c/ EA . ED = EB . EC?
a/ Xét AOB và DOC có: AÔB = DÔC (đối đỉnh) E B ABD = ACD (GT) A O AO OB AOB DOC (g.g) = . D C DO OC b/ Xét AOD và BOC có: AÔB = DÔC (đối đỉnh) AO OB Và = (ch/m trên). DO OC AOD BOC (c.g.c) ADB = BCA (góc t/ứng). c/ Xét EDB và ECA có: Ê chung ADB = BCA (ch/m trên). EDB ECA (g.g) ED EB = EA . ED = EB.EC EC EA Bài 18:Cho ABC; có AD, BE, CF là các đg/cao cắt nhau tại H. Chứng minh: AH.DH = BH.EH = CH.FH HD GT ABC; AD, BE, CF là
các đg/cao cắt nhau tại H. A KL AH.DH = BH.EH = CH.FH? E F H B D C Xét AFH và CDH có: F = D = 900 và AHF = CHD (đđ). AH FH AFH CDH (g.g) = CH DH AH.DH = CH.FH. (1) Ch/m tương tự cũng có BH.EH = CH.FH. (2) Từ (1) và (2) AH.DH = BH.EH = CH.FH. BÀI TẬP Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi A , B , C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. a) Chứng minh A B C  CAB. b) Tính chu vi của A B C , biết chu vi của ABC bằng 54cm. HD: b) P 27(cm) . Bài 2. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH. HD: Sử dụng tính chất đường trung bình và trọng tâm tam giác. Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F. a) Chứng minh: FCM  OMB và PAE  PBO. MB NC PA b) Chứng minh: . . 1 . MC NA PB HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng. Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm.
a) Chứng minh AED  ABC. b) Tính chu vi của tam giác ADE, khi biết BC = 25cm. c) Tính góc ADE, biết µC 200 . · 0 HD: b) PADE 24(cm) c) ADE 20 . Bài 5. Cho góc ·xOy(·xOy 1800) . Trên cạnh Ox, lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh Oy, lấy 2 điểm C, D sao cho OC = 8cm, OD = 10cm. a) Chứng minh: OCB  OAD. b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh ·BAI ·DCI . HD: Bài 6. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD. BM AM DM a) Tính tỉ số b) Chứng minh . CN AN DN BM 6 HD: a) Chứng minh BDM  CDN b) Chứng minh ABM  CAN. CN 7 Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ CE  AB và CF  AD, BH  AC. a) Chứng minh ABH  ACE. b) Chứng minh: AB.AE AD.AF AC2 . HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH đpcm. Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC. OH AB b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh . OK CD HD: a) Chứng minh OAB  OCD. Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI. a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI  OCB c) Chứng minh BOH  BCK d) Chứng minh BO.BK CO.CI BC2 .
HD: Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a) Tính BC. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB  CAB. c) Tính EB và EM. d) Chứng minh BH vuông góc với EC. e) Chứng minh HA.HC = HM.HE. HD: a) BC 9(cm) c) EM 6(cm),EB 7,5(cm) Bài 11. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Hãy nêu từng cặp các tam giác đồng dạng. b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH. HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm. 20 Bài 12. Cho tam giác ABC và đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC cm . 3 a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH  CAH. Từ đó tính ·BAC . HD: a) AH = 4cm b) ·BAC 900 . Bài 13. Cho tứ giác ABCD, có ·DBC 900 , AD 20cm , AB 4cm , DB 6cm , DC 9cm . a) Tính góc ·BAD b) Chứng minh BAD  DBC c) Chứng minh DC // AB. HD: a) ·BAD 900 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1 Trên một cạnh của một góc đỉnh A , đặt đoạn thẳng AE = 3cm , AC = 8cm .Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng AD= 4cm và AF = 6cm.
a) Hỏi ∆ ACD và ∆ AEF có đồng dạng với nhau không ? Tại sao? b) Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC. HD C 8 AE 3  E DA 4 AE AF 3 I  AF 6 3 DA AC 4 A D F AC 8 4 6 a) µA chung ∆ AEF ∆ ADC (c-g-c) b) E· FA D· CA (∆ AEF ∆ ADC ) D· IF E· IC (đối đỉnh) Suy ra:∆ DIF ∆ EIC (g-g) DF 2 k = EC 5 2 SDIF 2 2 4 * k SEIC 5 25 Bài 2: Cho tam giác cân ABC vuông tại A,biết AB = 6cm; AC = 8cm. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D . a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. HD
C GT ABC (µA 900 ) µA D AD phân giác AB= 6cm; AC= 8cm A KL a)B Tính BC b) Tính DC ; BD. a) BC 2 AB2 AC 2 BC 62 82 36 64 100 10 b) Tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A, nên áp dụng tính chất đường phân giác ta có : CD AC CD AC hay BD AB BC CD AB CD 8 6CD 8 10 CD 10 CD 6 80 14CD 80 CD 5,7 14 BD = BC – CD (D nẳm giũa B và C) = 10 – 5,7 =4,3 Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a. Chứng minh: AHB BCD b. Chứng minh: AD2 = DH.DB c. Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH? HD Vẽ hình đúng + ghi GT + KL A B µ µ 0 µ ¶ a. AHB BCD vì có: H B 90 ; B1 D1 (SLT) b. ABD HAD vì có: Aµ Hµ 900 ; Dµ chung H D C
AD BD AD2 DH.DB HD AD c. vuông ABD có: AB = 8cm ; AD = 6cm DB2 = 82 + 62 = 102 DB = 10 cm Theo chứng minh trên AD2 = DH.DB DH = 62 : 10 = 3,6 cm AB BD AB.AD 8.6 Có ABD HAD (cmt) AH 4,8 cm HA AD BB 10 Bài 5. Cho ABC Aµ 900 có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE. b) Tính diện tích của các tam giác ABD và ACD. HD Câu a) Áp dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông ABC ta tính được BC = 15cm A Vì AD là đường phân giác của góc A nên 12 BD AB 9 3 E . (0,5đ) 9 CD AC 12 4 BD 3 BD 3 B C CD BD 4 3 BC 7 D 3 3 45 BD .BC .15 cm 7 7 7 60 Tính được CD cm 7 DE CD AB.CD 36 Lại có DE cm AB BC BC 7
AB.AC 2 Câu b) Tính đúng SABC 54 cm 2 36 12. AC.DE 7 216 2 Tính đúng SADC cm 2 2 7 6 2 Từ đó suy ra SABD SABC SADC 30 cm 7 Bài 6. Cho DEF đồng dạng với ABC. Tính các cạnh của ABC biết: DE = 3cm; DF = 5cm; EF = 7cm và chu vi ABC bằng 20cm. HD DE DF EF DEF đồng dạng với ABC AB AC BC Theo t/c của dãy tỉ số bằng nhau: D A DE DF EF DE DF EF = AB AC BC AB AC BC 3 5 7 15 3 Hay E F B C AB AC BC 20 4 20 28 AB = 4cm, AC = cm, BC = cm 3 3 Bài 7. Cho góc nhọn xOy. Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho OM = 15cm và ON = 25cm. Vẽ MP  Oy tại P và NQ  Ox tại Q. a) Chứng minh: OMP đồng dạng với ONQ. b) Tính tỉ số diện tích của OMP và ONQ. HD * Chứng minh được câu a x OMP đồng dạng với ONQ (g – g) Q M * Tính được câu b 9 Tỉ số diện tích của OMP và ONQ = . O 25 P N y
Bài 8. Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao (H thuộc BC). Chứng minh: a) AB2 = BH.BC. b) AH2 = BH.CH A HD Câu 3: (1 điểm) B * Chứng minh được câu a H C AB2 = BH.BC. * Chứng minh được câu b AH2 = BH.CH. Bài 9. Cho ABC vuông tại A, AB = 12cm; AC = 16cm, AD là phân giác của góc A (D BC). a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD. b) Tính độ dài cạnh BC c) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD. d) Tính chiều cao AH của tam giác. HD A 1 a) Ta có: SABD = AH.BD (0.25đ) 2 12cm 16cm 1 1 AHA.HBD.BD 1 SABSD AB2D 2 BDBD SACD = AH.DC (0.25đ) suy ra: = B (1) C 2 S S 1 1 DDCC H D ACDACD AHA.HD.CDC 2 2 BD AB 12 3 Mặt khác vì AD là phân giác của  ABC. Nên ta có: (2) DC AC 16 4 S 3 Từ (1) và (2) suy ra: ABD SACD 4 b) Vì ABC vuông tại A. Nên theo định lý Pitago ta có:
BC2 = AB 2 + AC2 = 122 + 162 = 400 Vậy: BC = 20cm. BD 3 BD DC BD CD BC 20 c) Vì AD là phân giác nên hay = DC 4 3 4 3 4 7 7 60 80 Vậy: BD = (cm) , DC = (cm) 7 7 AC BC AB.AC 12.16 d) Chứng minh ABC  HBA AH = 9,6 (cm) AH BA BC 20 Bài 10. Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông HD Hx là phân giác của góc AHB; Hy phân giác của góc AHC mà  AHB và  AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc Hay  DHE = 900 mặt khác  ADH =  AEH = 900 Nên ADHE là hình chữ nhật (1) Do: 1 1  AHD =  AHB = .900 = 450 2 2 1 1  AHE =  AHC = .900 = 450 2 2  AHD =  AHE Hay HA là phân giác DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông.
Bài 11. Cho ABC (Aˆ = 900), đường cao AH. Chứng minh rằng AH2 = BH.CH. HD Chứng minh được tam giác vuông HBA đồng dạng tam giác HAC vì: 0 Aˆ Aˆ 90 A 1 2 suy ra Aˆ Cˆ (1đ) ˆ ˆ 0 1 1 A2 C1 90 HB HA Từ HBA đồng dạng HAC, suy ra: (0,25đ) HA HC 2 Suy ra: HA = HB.HC (0,25đ) B C H Bài 12: Cho góc xAy. Trên tia Ax đặt các đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên tia Ay đặt các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm. a) Chứng minh: ACD đồng dạng với AFE b) Gọi I là giao điểm của CD và EF. Chứng minh IEC  IDF. HD a) Xét ACD và AFE có: Góc A: chung AC 8 4 y AF 6 3 AC AD 4 C suy ra AD 4 AF AE 3 AE 3 E Suy ra ACD đồng dạng AFE (c-g-c) (1,5đ) I b) Xét IEC và IDF có: A D F x ˆ ˆ I1 I 2 (đối đỉnh) Cˆ Fˆ (do ACD đồng dạng AFE)
suy ra IEC đồng dạng IDF (g-g) (1đ) Bài 13: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2. HD a) Ta có: BE AC (gt); DF AC (gt) BE // DF Chứng minh: BEO DFO(g c g) BE = DF H Suy ra: Tứ giác BEDF là hình bình hành. b) Ta có: ABC = ADC HBC = KCD Chứng minh: CBH : CDK(g g) B C F CH CK O CH.CD CK.CB CB CD E A K c) Chứng minh: AFD : AKC(g g) D AF AK AD.AK AF.AC AD AC Chứng minh: CCFFDD :: AAHHCC((gg gg)) CF AH CD AC CF AH Mà: CD = AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm. Vẽ đường cao AH(H BC) và tia phân giác của góc A cắt BC tại D. a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC
c/ Tính tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD d/ Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD e/ Tính độ dài chiều cao AH HD A VABC vuông tại A, 16cm AD là phân giác của B· AC 12cm GT AH BC; AB = 12cm, B H D C AC = 16cm a)VHBA : VABC ; b) Tính BC = ? S KL c) V ABD ? ; d) BD = ?; CD = ? SACD e) AH = ? a)VHBA : VABC : Xét VHBA&VABC là hai tam giác vuông có Bµ chung VHBA : VABC (g.g) b)Tính BC: Ta có VABC vuông tại A (gt) BC2 = AB2 + AC2 BC = AB2 AC 2 Hay: BC = 122 162 144 256 400 20 cm S c) V ABD ? SACD BD AB BD AB 12 3 Vì AD là phân giác của B· AC nên ta có : hay CD AC CD AC 16 4 1 1 SV ABD BD 3 Mà SABD AH.BD vàSACD AH.CD => 2 2 SACD CD 4 BD = ?, CD = ? BD AB BD AB BD AB d)Ta có : (cmt) => hay CD AC CD BD AB AC BC AB AC
BD 12 3 20.3 => BD = 8,6 cm 20 12 16 7 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 1 1 e) AH = ? Vì ABC vuông tại A nên S AH.BC AB.AC ABC 2 2 AB.AC 12.16 => AH.BC AB.AC hay AH = AH 9,6 (cm) BC 20 BÀI TẬP Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm. Tia phân giác của góc A, cắt cạnh BC tại D. DB a) Tính . DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh EDC  ABC. c) Tính DE và diện tích của tam giác EDC. DB 3 60 2400 HD: a) c) DE (cm) , S (cm2) . DC 4 7 EDC 49 Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK. a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC và HK. a2 a3 HD: c) HC , KH a . 2b 2b2 Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm K, H sao cho BK.CH BI 2 . Chứng minh: a) KBI  ICH b) KIH  KBI c) KI là phân giác của góc ·BKH d) IH.KB HC.IK HK.BI . HD: d) Chứng minh IH.KB HC.IK BI(KI IH) HK.BI . Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác trong AD, đường trung tuyến AM. a) Chứng minh HD DM HM . b) Vẽ các đường cao BF, CE. So sánh hai đoạn thẳng BF và CE. c) Chứng minh AFE  ABC.
d) Gọi O là trực tâm của ABC. Chứng minh BO.BF CO.CE BC2 . µA HD: a) AB MC, ·CAH D nằm giữa H và M đpcm. 2 b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH AD AE Bài 5. cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D, E sao cho . Đường trung AB AC tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE tại H. Chứng minh DH = HE. DH HE HD: đpcm. BI IC Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, µC 300 và đường phân giác BD (D AC). DA a) Tính tỉ số b) Cho AB = 12,5cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. CD DA 1 HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm. DC 2 Bài 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho ·DME 600 . a2 a) Chứng minh BD.CE . 4 b) Chứng minh MBD  EMD và ECM  EMD. c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE. a 3 HD: c) Vẽ MH  DE, MK  EC MH = MK; MK MC2 CK2 . 4 Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, µA 200 , AB = AC = b, BC = a. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho·D BC 200 . a) Chứng minh BDC  ABC. b) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DE, AE. c) Chứng minh a3 b3 3ab2 .
b 3 b a2 HD: b) AE , DE a , AD b c) AD2 DE2 AE2 đpcm. 2 2 b Bài 9. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K là điểm trên AM sao cho AM = 3AK, BK cắt AC tại N, P là trung điểm của NC. a) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ANK và AMP. b) Cho biết diện tích ABC bằng S. tính diện tích tam giác ANK. AB AC c) Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J. Chứng minh 6 . AI AJ SANK 1 3 1 S HD: a) b) SAMP SAMC;SAMC SABC SANK . SAMP 9 5 2 30 c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H AM) EBM = HCM EM = MH; AB AE AC AH , đpcm. AI AK AJ AK Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. O là giao điểm các đường trung trực, H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh OMN  HAB. b) So sánh độ dài AH và OM. c) Chứng minh HAG  OMG. d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO. HD: b) AH = 2OM d) ·HGO ·HGM ·MGO ·HGM ·AGH ·MGA 1800 đpcm. Bài 11. Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của AC và BC. Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF. HD: ABG  FEH đpcm. Bài 12. Cho hình thang vuông ABCD (AB // DC, µA µD 900 ). Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Chứng minh BD2 AB.DC . HD: Chứng minh ABD  BCD.
Bài 13. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O là trung điểm của cạnh đáy BC. Một điểm D di động trên OB2 cạnh AB. Trên cạnh AC lấy một điểm E sao cho CE . Chứng minh: BD a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng. b) Tam giác DOE cũng đồng dạng với hai tam giác trên. c) DO là phân giác của góc ·BDE , EO là phân giác của góc ·CED . d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB. HD: d) Vẽ OI  DE, OH  AC OI = OH. Bài 14. Cho tam giác ABC, trong đó µB,µC là các góc nhọn. Các đường cao AA , BB , CC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: A A.A H = A B.A C. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC. Chứng minh: A A2 3A B.A C . A A HD: a) Chứng minh BA H  BB C, CAA  CB B b) GH // BC A H . 3 Bài 15. Cho hình thang KLMN (KN // LM). gọi E là giao điểm của hai đường chéo. Qua E, vẽ một đường 1 1 1 thẳng song song với LM, cắt MN tại F. Chứng minh: . EF KN LM EF EF HD: Tính các tỉ số , . LM KN Bài 16. Qua một điểm O tuỳ ý ở trong tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC và BC lần lượt tại D và E; đường thẳng song song với AC, cắt AB và BC lần lượt ở F và K; đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh: AF BE CN 1 . AB BC CA AF KC CN KE HD: Chứng minh , đpcm. AB BC CA BC Bài 17. Qua một điểm O tuỳ ý ở trong tam giác ABC, vẽ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB OA OB OC lần lượt tại A , B , C . Chứng minh: 1 . AA BB CC
OA OI S OI S OA HD: Vẽ AH  BC, OI  BC ; BOC BOC . AA AH SABC AH SABC AA S OB S OC Tương tự: COA , AOB đpcm. SABC BB SABC CC Bài 18. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm P, Q, R. Chứng minh rằng PB QC RA nếu các đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui tại O thì . . 1 (định lí Ceva). PC QA RB HD: Qua C và A vẽ các đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP tại E và cắt đường thẳng CR PB OB RA AD QC EC tại D. Chứng minh , , đpcm. PC EC RB OB QA AD MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ I I. TRẮC NGHIỆM: ( 3 điểm ) Khoanh tròn đáp án đúng trong các câu sau : 1. Cho AB = 6cm , AC =18cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB và AC là: 1 1 A. B. C. 2 D.3 2 3
2. MNP ABC thì: MN MP MN MP MN NP MN NP A. = B. = C. = D. = AB AC AB BC AB AC BC AC 3. Các cặp tam giác nào có độ dài ba cạnh dưới đây đồng dạng: A. 4; 5; 6 vµ 4; 5; 7. B. 2; 3; 4 vµ 2; 5; 4. C. 6; 5; 7 vµ 6; 5; 8. D. 3; 4; 5 vµ 6; 8; 10. 4. Cho DEF ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2,5. Thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng : A. 2.5cm B. 3.5cm C. 4cm D. 5cm 1 S 5. Cho DEF ABC theo tỉ số đồng dạng k = . Thì DEF bằng : 2 SABC 1 1 A. B. C. 2 D. 4 2 4 6. Cho ABC có MN //BC thì : . Ta có : AM MB AN AM AM AN MB NA A. B. C. D. NC AN MB NC MB NC MA NC II. TỰ LUẬN : (7 điểm) Bài 1: (2 Điểm) Cho hình vẽ coù MN//BC Tính caùc ñoä daøi x vaø y: A A x 2 y 2 M N x D E 5 10 3 B C 6,5 B C DE // BC Bài 2: (2 Điểm) Cho ABC coù DE//BC (hình veõ). Haõy tính x?
Bài 3: (3 Điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12cm; AC = 16cm. Kẻ đường cao AH (H BC) a) Chứng minh : AHB CAB b) Vẽ đường phân giác AD, (D BC). Tính BD, CD ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM I Trắc nghiệm: (3 điểm) Mỗi câu đúng được 0.5 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 Đáp án B A D A B C II. Tự luận: ( 7 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm
1 AM AN MN//BC neân ( ñònh lí Talet) MB NC ( 2đ ) 0,5 2 AN Hay AN = (2.10):5 = 4(cm) 5 10 AC = AN + NC = 4 + 10 = 14 (cm) 0,5 Vậy : x = 4 cm; y = 14 cm 0,5 0,5 2 AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 (cm) 0,5 ( 2đ ) AD DE DE//BC neân (hệ quả của định lý Ta-let) AB BC 0,5 2 DE 2.6,5 Hay DE = = 2,6(cm) 5 6,5 5 Vậy x =2,6(cm) 0,5 0,5 3 * Vẽ đúng hình B 0,5 H ( 3đ ) a) Xét AHB và ABC có: D 12 B· HA B· AC 900 (gt) A C Bµ chung 16 0,5 Do đó: AHB CAB(g-g) 0,5 b) Xét ABC vuông tại A có : BC2 AB2 AC2 (Định lý Pi-ta-go) 0,5 = 122 + 162 = 400 Suy ra : BC = 20 (cm) Ta có AD là phân giác của góc BAC (gt):
BD AB 12 3 0,5 => = DC AC 16 4 BD DC 3 4 => DC 4 BC 7 4.BC 4.20 => => DC 11,4(cm) DC 4 7 7 BD = BC – DC = 20 -11,4 8,6 (cm) 0,25 0,25 ĐỀ II I. Trắc nghiệm (4 điểm): Khoanh tròn chữ cái đứng trước đáp án đúng. 1. Cho 5 đoạn thẳng có độ dài là a = 2; b = 3; c = 4; d = 6; m = 8. Kết luận nào sau đây là đúng? A. Hai đoạn thẳng a và b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và m B. Hai đoạn thẳng a và c tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và d C. Hai đoạn thẳng a và b tỉ lệ với hai đoạn thẳng d và m D. Hai đoạn thẳng a và b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c và d 2. Cho biết MM’//NN’ độ dài OM’ trong hình vẽ bên là: A. 3 cm B. 5 cm
C. 4 cm D. 6 cm 3. Độ dài x trong hình vẽ dưới là: A. 1,5 B. 2,9 C. 3,0 D. 3,2 4. Hãy điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp Tam giác ABC có ba đường phân giác trong AD; BE; CF khi đó A AB AF a) c) AC BF E F CE BD EC FA b) . d) . . EA DC EA FB B C D II. Tự luận (6 điểm) Câu 1 (2,5 điểm): Trên một cạnh của một góc đỉnh A, lấy đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng AD = 4cm và AF = 6cm. a) Hỏi tam giác ACD và tam giác AEF đồng dạng không? vì sao? b) Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỷ số diện tích của hai tam giác IDF và tam giác IEC. Câu 2 (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm. a) Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang. Câu 3 (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Từ C hạ các đường vuông góc CE và CF lần lượt xuống các tia AB, AD. Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2
ĐÁP ÁN I. Trắc nghiệm (4 điểm): Chọn mỗi ý đúng được 1 điểm Câu 1 2 3 4 DB BC CA a. ; b. ; c. ; d.1 DC BA CB Đáp án D D A II. Tự luận (6 điểm) C Câu 1 (2,5 điểm) Vẽ hình đúng (0,5đ) E a) ACD và AFE đồng dạng I A AC AD 4 D vì ; A chung (1 điểm) F AF AE 3 b) Chứng minh IDF và IEC đồng dạng (g.g) S IDF 4 k = 2/5 (1 điểm) S IEC 25 Câu 2 (2,5 điểm) Vẽ hình, ghi gt,kl đúng được (0,5 điểm) a) Xét ABD và BDC có: AB 4 2 BD 10 5
BD 10 2 DC 25 5 AD 8 2 BC 20 5 Vậy theo trường hợp đồng dạng thứ nhất suy ra ABD  BDC (1,5 đ) b) Từ ABD  BDC suy ra  ABD =  BDC (hai góc ở vị trí so le trong) suy ra AB // CD tứ giác ABCD là hình thang. (1 điểm) Câu 3 (1 điểm) Kẻ DH vuông góc AC, BK vuông góc AC A B E C/m AHD đồng dạng AFC H AD AH AD.AF = AC.AH (1) K AC AF D C C/m AKB đồng dạng AEC AB AK AB.AE = AC.AK (2) AC AE F C/m AHD = CKB (ch-gn) AH = CK (3) Từ 1, 2, 3 AB.AE + AD.AF = AC.AK + AC.AH = AC.(AK + AH) = AC.(AK + CK) = AC.AC = AC2. ĐỀ III I TRẮC NGHIỆM: ( 3 điểm) Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 20cm, CD = 30cm. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là: 2 3 20 30 A. B. C. D. 3 2 3 2 A Câu 2: Cho AD là tia phân giác B· AC ( hình vẽ) thì: B D C
AB DC AB DB AB DC AB DC A. B. C. D. AC DB AC DC DB AC DB BC S S 2 Câu 3: Cho ABC DEF theo tỉ số đồng dạng là thì DEF ABC theo tỉ số đồng dạng là: 3 2 3 4 4 A. B. C. D. 3 2 9 A 6 4 x Câu 4: Độ dài x trong hình vẽ là: (DE // BC) D E 2 3 A. 5 B. 6 B C C.7 D.8 S Câu 5: NếuS hai tam giác ABC và S DEF có µA Dµ và Cµ S Eµ thì : A. ABC DEF B. ABC DFE C. CAB DEF D. CBA DFE Câu 6: Điền dấu “X” vào ô trống thích hợp Câu Đ S 1. Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau 2. Hai tam giác vuông cân luôn đồng dạng 3. Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng 4. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng 5. Hai tam giác cân có một góc bằng nhau thì đồng dạng 6. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng 7. Hai tam đều luôn đồng dạng với nhau II. TỰ LUẬN (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông S tại A có AB = 12 cm, AC = 16 cm. Vẽ đường cao AH.
a) Chứng minh HBA ABC b) Tính BC, AH, BH. c) Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC (D BC). Tính BD, CD. d) Trên AH lấy điểm K sao cho AK = 3,6cm. Từ K kẽ đường thẳng song song BC cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BMNC. ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM: ( 3 điểm) 6 Câu 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 Đáp A B B B B S Đ Đ Đ Đ Đ Đ án Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 II. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu Đáp án Biểu điểm
A M K N B C H D 0,5 a) Chứng minh HBA : ABC Xét HBA và ABC có: 0,25 µ = Aµ = 900 0,25 0,25 µ chung 0,25 => HBA : ABC (g.g) b) Tính BC, AH, BH Ta có VABC vuông tại A (gt) BC2 = AB2 + AC2 BC = AB2 AC 2 0,5 0,5 Hay: BC = 122 162 144 256 400 20 cm 1 1 Vì ABC vuông tại A nên: S AH.BC AB.AC ABC 2 2 0,5 AB.AC 12.16 AH.BC AB.AC hay AH = AH 9,6 (cm) BC 20 0,5 HBA : ABC HB BA BA2 122 1,0 hay : HB = = 7,2 (cm) AB BC BC 20 c) Tính BD, CD BD AB BD AB BD AB 0,5 Ta có : (cmt) hay CD AC CD BD AB AC BC AB AC
BD 12 3 20.3 => BD = 8,6 cm 20 12 16 7 7 0,25 Mà: CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 0,25 d) Tính diện tích tứ giác BMNC. Vì MN // BC nên AMN: ABC và AK,AH là hai đường ao tương ứng 0,25 2 2 2 SAMN AK 3,6 3 9 Do đó: SABC AH 9,6 8 64 0,5 1 1 Mà: SABC = AB.AC = .12.16 = 96 2 2 2 0,25 => SAMN = 13,5 (cm ) 2 0,25 Vậy: SBMNC = SABC - SAMN = 96 – 13,5 = 82,5 (cm ) 0,25 Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng và có lập luận chạc chẽ đều cho điểm tói đa câu bài đó. ĐỀ IV I-TRẮC NGHIỆM (3đ) Điền vào chỗ trống ( ) các câu thích hợp để được một câu trả lời đúng. Câu 1 Đường phân giác của một góc trong tam giác chia (1) thành hai đoạn thẳng (2) hai đoạn thẳng ấy. Câu 2 VABC : VDEF với tỷ số đồng dạng là k 0 thì VDEF : VABC với tỷ số đồng dạng là (3) µA' (4) ; (5) Bµ,Cµ' (6) Câu 3VA' B 'C ' : VABC (7) B 'C ' (9) AB (8) AC Câu 4 Tam giác vuông này có một cạnh huyền và (10) tỷ lệ với (11) và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì (12) Câu 5 Tam giác này có hai góc .(13) của tam giác kia thì .(14)
Câu 6 Cho hình vẽ bên. Hãy tính độ dài cạnh AB ? A 6cm ? B 2cm D 3cm C Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau : Độ dài cạnh AB là: A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm II. TỰ LUẬN (7 điểm) : Câu 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm. Vẽ đường cao AH(H BC) và tia phân giác của góc A cắt BC tại D. a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC c/ Tính tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD d/ Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD e/ Tính độ dài chiều cao AH ĐÁP ÁN I. TRẮC NGHIỆM 1 (0,5đ) 2(0,5đ) 3(0,5đ) Câu (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Đáp án cạnh đối tỷ lệ với hai 1 Aµ µ' Cµ A’B’ BC A’C’ diện cạnh kề k
4(0,5đ) 5(0,5đ) Câu 6(0,5đ) (10) (11) (12) (13) (14) hai tam giác lẦn lưỢt hai tam giác Đáp mỘt cẠnh cẠnh vuông đó đỒng bẰng hai đó đỒng A án góc vuông huyỀn dẠng góc dẠng II. TỰ LUẬN: Câu Đáp án Điểm 7 0,5 A VABC vuông tại A, 16cm 12cm AD là phân giác của B· AC GT B H D C AH BC; AB = 12cm, AC = 16cm a)VHBA : VABC ; b) Tính BC = ? S KL c) V ABD ? ; d) BD = ?; CD SACD = ? e) AH = ? a) VHBA : VABC : 1,0 Xét VHBA&VABC là hai tam giác vuông có Bµ chung VHBA : VABC (g.g) b) Tính BC: 0,75
Ta có VABC vuông tại A (gt) BC2 = AB2 + AC2 BC = 2 2 AB AC 0,75 Hay: BC = 122 162 144 256 400 20 cm c) S V ABD ? SACD BD AB Vì AD là phân giác của B· AC nên ta có : hay CD AC BD AB 12 3 0,75 CD AC 16 4 1 1 SV ABD BD 3 Mà SABD AH.BD vàSACD AH.CD => 2 2 SACD CD 4 0,75 d) BD = ?, CD = ? BD AB BD AB BD AB Ta có : (cmt) => hay CD AC CD BD AB AC BC AB AC BD 12 3 20.3 => BD = 8,6 cm 0,5 20 12 16 7 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 0,5 0,5 e) 1 1 e) AH = ? Vì ABC vuông tại A nên S AH.BC AB.AC ABC 2 2 0,5
AB.AC 12.16 => AH.BC AB.AC hay AH = AH 9,6 (cm) BC 20 0,5 ĐỀ V I. TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm) Câu 1: Cho AB = 4cm, DC = 6cm. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là: 4 6 2 A. B. C. D. 2 6 4 3 2 Câu 2: Cho ∆A’B’C’ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng k . Tỉ số chu vi của hai tam giác đó: 3 4 2 3 3 A. B. C. D. 9 3 2 4 Câu 3: Chỉ ra tam giác đồng dạng trong các hình sau: A. ∆DEF ∆ABC B. ∆PQR ∆EDF C. ∆ABC ∆PQR D. Cả A, B, C đúng Câu 4. Trong hình biết MQ là tia phân giác N· MP x 5 5 Tỷ số là: A. B. y 2 4 2 4 C. D. 5 5 Câu 5. Độ dài x trong hình bên là: A. 2,5 B. 3 C. 2,9 D. 3,2
Câu 6. Trong hình vẽ cho biết MM’ // NN’. Số đo của đoạn thẳng OM là: A. 3 cm B. 2,5 cm C. 2 cm D. 4 cm Câu 7: Điền từ thích hợp vào chỗ ( ) để hoàn thiện khẳng định sau: Nếu một đường thẳng cắt của một tam giác với cạnh còn lại một tam giác mới tương ứng tỉ lệ của II. TỰ LUẬN (7 điểm ) Câu 8: Cho ABC vuông tai A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D, từ D kẻ DE  AC ( E AC) BD a)Tính tỉ số: , độ dài BD và CD b) Chứng minh: ABC EDC DC SABD c)Tính DE d) Tính tỉ số SADC ĐÁP ÁN I. TRẮC NGHIỆM : (3điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 Đáp án C B A D B D Thứ tự điền là: hai cạnh, và song song, thì nó tạo thành, có ba cạnh, với ba cạnh, tam giác đã cho II. TỰ LUẬN ( 7 Điểm ) Câu Đáp án Điểm
8 0,5 BD AB 9 3 0,5 a) Vì AD là phân giác µA => DC AC 12 4 BD AB BD AB Từ DC AC DC BD AC AB 1 BD AB BD 9 BC AC AB 15 21 1 9.15 => BD 6,4cm 21 Từ đó: DC = BC – BD = 15 – 6,4 = 8,6 cm 0,25 0,25 b) Xét ABC và EDC có: µA Eµ 900 ,Cµ chung => ABC EDC (g.g) 1,5 DE DC 0,75 c) ABC EDC => AB BC AB.DC 9.8,6 DE 5,2cm 0,75 BC 15 1 d) S AH.BD ABD 2 1 S AH.DC ABD 2 1 .AH.BD SABD 2 BD 3 => 0,25 S 1 DC 4 ADC .AH.DC 2
0,25 CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG- HÌNH CHÓP ĐỀU HÌNH HỘP CHỮ NHẬT . Hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là hình chữ nhật, 8 đỉnh và 12 cạnh chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 cạnh bằng nhau. . Hai mặt hình hộp chữ nhật không có cạnh chung gọi là hai mặt đối diện. . Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song.  Trong không gian hai đường thẳng a, b chúng có thể : 1) Cắt nhau; 2) Song song; 3) Trùng nhau; 4) Không cùng nằm chung trong bất kỳ mặt phẳng nào, gọi đó là hai đường thẳng chéo nhau.  Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.  Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng và nó song song đường thẳng b nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng a song song với mặt phẳng.  Nếu hai mặt phẳng song song thì chúng không có điểm chung.  Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng thì đường thẳng ấy vuông góc với mặt phẳng.  Thể tích hình lập phương bằng tích của ba kích thước : V a.b.c  Thể tích hình hộp chữ nhật bằng lập phương của cạnh : V a3 .
Ví dụ 1 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ. a) Hãy kể tên các đỉnh, các cạnh, các cặp mặt đối diện của nó. b) Hãy chỉ ra những đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo nhau với đường thẳng AA’. c) Mặt phẳng nào song song với đường thẳng AB. d) Đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABCD). e) Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (AA’D’D). f) Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng CD. g) Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C). h) Chứng minh AC '2 AB2 AD2 AA'2 , ( trong hình hộp chữ nhật bình phương mỗi đường chéo bằng tổng các bình phương của ba kích thước ). Bài giải a) Các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là A, B, C, D; A’, B’, C’, D’. Các cạnh là AB, CD, A’B’, C’D’ và AD, BC, B’C’, A’D’ và AA’, BB’, CC’, DD’. Các cặp mặt đối diện là : (ABCD) và (A’B’C’D’); (ADD’A’) và (BCC’B’); (ABB’A’) và (DCC’D’). b) Những đường thẳng cắt đường thẳng AB là đường thẳng AA’, đường thẳng AD. Những đường thẳng song song với đường thẳng CD là đường thẳng AB, A’B’, C’D’. Những đường thẳng chéo nhau với đường thẳng AA’ là đường thẳng BC, CD, B’C’, C’D’ c) Song song với đường thẳng AB là mặt phẳng (CDD’C’); (A’B’C’D’). d) Song song với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng A’B’, C’D’, A’D’, B’C’. e) Song song với mặt phẳng (AA’D’D) là mặt phẳng (BB’C’C). f) Vuông góc với đường thẳng CD là mặt phẳng (ADD’A’); (BCC’B’). g) Vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C) là đường thẳng AB, CD, A’B’, C’D’. h) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên ABCD là hình chữ nhật, theo định lý Pitago ta có : AC 2 AD2 DC 2 AD2 AB2 , (1).
Do CC '  ABCD nên ACC’ vuông tại C. Áp dụng định lý Pitago một lần nữa ta có : AC '2 AC 2 CC '2 , vì CC ' AA' nênAC '2 AB2 AD2 AA'2 . HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG A' D' . Các mặt bên là những hình chữ nhật. B' C' . Các cạnh bên song song và bằng nhau. . Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song với nhau, hai đáy là hai đa giác bằng D A nhau. B C  Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao : Sxq 2 p.h p là nửa chu vi, h là chiều cao của lăng trụ.  Thể tích của lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao : V S.h , S diện tích đáy, h chiều cao của lăng trụ đứng. HÌNH CHÓP ĐỀU
. Những mặt bên đều là những tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh. . Mặt đáy là một đa giác đều. . Đường thẳng qua đỉnh vuông góc với đáy gọi là đường cao. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. . Đường cao của các mặt bên gọi là các trung đoạn, các trung đoạn đều bằng nhau.  Diện tích xung quanh của chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn : Sxq p.d , p là nửa chu vi, d là trung đoạn của chóp đều. 1 1  Thể tích của chóp đều bằng diện tích đáy nhân với chiều cao : V S.h , 3 3 S diện tích đáy, h chiều cao của chóp đều. Ví dụ 1 : Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh bên b, cạnh đáy a. Áp dụng cho a 20, cm và b 24, cm . Bài giải Giả sử S.ABCD là hình chóp tứ giác đều thế thì SA SB SC SD b và ABCD là hình vuông cạnh a. Diện a tích của nó bằng : S a2 . Gọi M là trung điểm của AB ta có : MA 2 2 2 ¶ 0 a 2 2 2 a 2 a Xét SAM có M 90 , SA b , MA nên d SA MA b b . 2 2 4 1 a2 Diện tích xung quanh hình chóp : S 4.S 4. .AB.SM 2.a. b2 . xq SAB 2 4 a2 Diện tích toàn phần hình chóp : S S S 2.a. b2 a2 . tp xq d 4
a Gọi H là chân đường cao của chóp đều H là tâm hình vuông ABCD cạnh a HM . 2 a2 a Xét SHM có Hµ 900 , SM d b2 , HM nên : 4 2 2 2 a2 a a2 h SH SM 2 HM 2 b2 b2 . 4 2 2 1 1 a2 Thể tích chóp : V S .h .a2. b2 . 3 ABCD 3 2 Áp dụng cho a 20, cm và b 24, cm . Diện tích đáy bằng : S a2 202 400, cm2 . a2 202 Trung đoạn : d b2 242 242 52 19.29 . 4 4 a2 202 Diện tích xung quanh hình chóp : S 2.a. b2 2.20. 242 40. 19.29 . xq 4 4 Diện tích toàn phần hình chóp : Stp Sxq Sd 40. 19.29 400 . a2 202 h b2 242 242 200 376 . 2 2 1 a2 1 202 400 Thể tích chóp : V .a2. b2 .202. 242 376 . 3 2 3 2 3