Đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học 2017-2018 môn thi Toán - Trường THCS Nga Thắng

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học 2017-2018 môn thi Toán - Trường THCS Nga Thắng

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG MễN THI: TOÁN Ngày thi: /03/2018 Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang) Cõu 1: (4,5 điểm). 4 2 2 3 3 2 a) Tớnh giỏ trị của biểu thức A : : 7 5 3 7 5 3 1 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x . 2 x y y z c) Tỡm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110. 3 7 2 5 Cõu 2: (4,5 điểm). a) Tỡm tập hợp cỏc số nguyờn x, biết rằng: 5 5 1 31 1 4 : 2 7 x 3 :3,2 4,5.1 : 21 9 18 5 45 2 1 1 1 1 1 b) Tìm x, biết: x x x x x 11x 2 6 12 20 110 c) Tớnh giỏ trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa món: x 1 + (y + 2)20 = 0 Cõu 3: (3,5 điểm). a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45. Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: gúcDã IB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. Cõu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3, , a20 cú cỏc tớnh chất sau: * a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. * Tổng của 20 số đú là số õm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. Hết Giỏm thị xem thi khụng giải thớch gỡ thờm! Họ và tờn thớ sinh:: SBD Giỏm thị 1: Giỏm thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017-2018 MễN : TOÁN. Nội dung Điểm 4 2 2 3 3 2 A : : 7 5 3 7 5 3 4 2 3 3 2 0,75 đ a = : 7 5 7 5 3 (1,5) 0,5đ 4 3 2 3 2 2 : 0: 0 0,25đ 7 7 5 5 3 3 Vậy : A = 0 1 1 1 0,75 đ Vỡ x nờn x = hoặc x = - 2 2 2 1 1 1 0,25đ Với x = thỡ: A = 2.( )2 – 3. + 1 = 0 CÂU 1 2 2 2 (4,5đ) b (1,5) 1 1 1 0,25đ Với x = - thỡ: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 1 = 3 2 2 2 0,25đ 1 1 Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - 2 2 x y x y y z y z x y z 0,5đ Từ ; . Suy ra 3 7 6 14 2 5 14 35 6 14 35 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: c x y z x y z 110 (1,5) = -2 0,5đ 6 14 35 6 14 35 55 0,25đ Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70. 0,25đ Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70. 5 5 41 18 0,5đ 2) Ta cú: 4 : 2 7 . 7 2 7 5 9 18 9 41 Lạicú: a 1 31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2 0,5đ (1,5) 3 :3,2 4,5.1 : 21 . . : 1 . . 5 45 2 5 16 2 45 2 5 43 5 43 5 0,5đ 2 Do đú: - 5 < x < mà x Z nờn x {-4; -3; -2; -1} CÂU 2 5 (4,5đ) a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 suy ra 11x 0 hay x 0. 0,75đ với x 0 ta có: 1 1 1 1 1 b x x x x x 11x (2,0) 2 6 12 20 110 1 1 1 1 1 0,75đ x x x x x 11x 2 6 12 20 110 0,25đ
3. 1 10 suy ra x = 1- = (TM) 0,25đ 11 11 10 Vậy:x = 11 1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y. 0,25 đ 20 20 Kết hợp x 1 + (y + 2) = 0 suy ra x 1 = 0 và (y + 2) = 0 0,25đ c x = 1; y = - 2. (1,0) Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 0,25 đ là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057 0,25đ Vậy C=2057 Gọi a, b, c là cỏc chữ số của số cú ba chữ số cần tỡm. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a b c 9. 0,25 đ Ta cú 1 a + b + c 27 . Mặt khỏc số cần tỡm là bội của 18 nờn là bội của 9, do đú a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. 0,5 đ a b c a b c a Theo đề bài ta cú: ; 0,25 đ (1,5) 1 2 3 6 Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nờn a + b + c = 18. 0,25 đ Từ đú suy ra a = 3, b = 6, c = 9. Do số phải tỡm là bội của 18 nờn chữ số hàng đơn vị chẵn, 0,25 đ CÂU 3 vỡ vậy hai số cần tỡm là: 396; 936. (3,5đ) Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ x + x = 2x 0,5 đ Với x < 0 thỡ x + x = 0. Do đú x + x luụn là số chẵn với  x Z. Áp dụng nhận xột trờn thỡ b 45 + b – 45 là số chẵn với b Z. 0,25 đ b 0,25 đ Suy ra 2a + 37 là số chẵn 2a lẻ a = 0 . (2,0) 0,25 đ Khi đúb 45 + b – 45 = 38 0,25 đ + Nếu b < 45, ta cú - (b – 45) + b – 45 = 38 0 = 38 (loại) 0,25 đ + Nếu b ≥ 45 , ta cú 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19 b = 64 (TM) 0,25 đ vậy (a; b) = (0; 64) E A D CÂU 4 a K (6,0đ) (1,0) I C B 0,75 đ 0,25 đ Ta cú: AD = AB; Dã AC Bã AE và AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c)
4. Từ ADC = ABE (cõu a) Ã BE Ã DC , 0,5 đ 0,5 đ b ã ã (1,5) mà BKI AKD (đối đỉnh). 0,5 đ Khi đú xột BIK và DAK suy ra Bã IK Dã AK = 600 (đpcm) E A D J N c K M (1,5) I C B 0,5 đ Từ ADC = ABE (cõu a) CM = EN và Ã CM Ã EN 0,5 đ 0,5 đ ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và Cã AM Eã AN Mã AN Cã AE = 600. Do đú AMN đều. d Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và JảBI Dã BA (2,0) = 600 suy ra IãBA JãBD , kết hợp BA = BD IBA = JBD (c.g.c) Ã IB Dã JB = 1200 mà Bã ID = 600 Dã IA = 600. Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc DIE Ta cú : a1 + (a2 + a3 + a4) + + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0,5 đ 0 ; a + a + a > 0 => a a13 + a14 0 => a12 > 0. 0,25 đ Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 0,25 đ Chỳ ý: +)Nếu HS làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. +)Nếu HS thiếu đỏp số trừ 0,25 điểm. +)Cõu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giỏ trị trừ 0,1 điểm. +)Cõu 2b);3b) Khụng kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.