Đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp huyện - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp huyện - Môn: Toán

1. UBND HUYỆN PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). 3 2 5 9 a. : . ; 4 3 9 4 1 1 1 45 1 1 1 b. ; 19 2 3 4 15 9 20 9 c. 5.4 .9 4.3 .8 . 5.210.619 7.229.276 Bài 2: (6 điểm) a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; 1 21 b. Tìm x, biết: 3: 2x 1 = 2 22 2x y 3y 2z c. Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y. 5 15 a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . b d Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Hết Họ và tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường:
2. UBND HUYỆN PHÚ THIỆN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: 3 2 5 9 a. : . 4 3 9 4 3 2 5 9 3 1 9 0,75đ : : 4 3 9 4 4 9 4 3 9 9 36 = . 9 0,75đ 4 1 4 4 1 1 1 45 1 1 1 b. 19 2 3 4 1 1 1 45 1 1 1 45 1 1 1 19 2 3 4 19 1,0đ 1 2 4 3 45 26 19 = 1 1,0đ 19 19 19 15 9 20 9 c. 5.4 .9 4.3 .8 5.210.619 7.229.276 5.415.99 4.320.89 5.22.15.32.9 22.320.23.9 = 01đ 5.210.619 7.229.276 5.210.219.319 7.229.33.6 229.318 5.2 32 01đ 229.318 5.3 7 10 9 1 = 0,5đ 15 7 8 Bài 2: (6 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16. 2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ -12x – 20 = 16 0,25đ -12x = 16 + 20 = 36 0,50đ x = 36 : (-12) = -3 0,50đ 1 21 b. Tìm x, biết: 3: 2x 1 = 2 22
3. 1 Nếu x . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ 2 1 21 3: 2x 1 = 2 22 7 21 : (2x – 1) = 0,25đ 2 22 7 21 7 22 11 2x – 1 = : = . 0,25đ 2 22 2 21 3 11 14 2x = + 1 = 0,25đ 3 3 14 7 1 x = : 2 = > 0,25đ 3 3 2 1 Nếu x . Ta có: 0,25đ 2 1 21 3: 2x 1 = 2 22 7 21 : (1 - 2x) = 0,25đ 2 22 11 8 -2x = - 1 = 0,25đ 3 3 8 4 1 x = : (-2) = 0,25đ 3 3 2 7 4 Vậy x = hoặc x = 0,25đ 3 3 2x y 3y 2z c. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y 5 15 Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ 2x y 3y 2z Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 15). 0,25đ 5 15 1 Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y 0,25đ 2 1 Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. x + z + y – 2z = 0 hay y + y – z = 0 0,25đ 2
4. 3 2 1 hay y - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z. 0,25đ 2 3 3 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = 1 z; y = 2 z ; với z R } 3 3 0,5đ hoặc {x = 1 y; y R; z = 3 y} hoặc {x R; y = 2x; z = 3x} 2 2 a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . b d Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ a c cb = ad suy ra: 0,75đ b d Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. Giải: B D K M N A C H a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: 0,25đ BK = CK (gt) BKˆ A CKˆ D (đối đỉnh) 0,25đ AK = DK (gt) 0,25đ ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ DCˆ K DBˆ K ; mà ABˆ C ACˆ B 900 ACˆ D ACˆ B BCˆ D 900 0,25đ
5. ACˆ ABD 9//0 0CD B (ABAˆ C  AC và CD  AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,25đ ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: HMN cân. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,25đ AB = CD; ACˆ D 900 BAˆ C ; AC cạnh chung: ABC = CDA (c-g-c) ACˆ B CAˆ D 0,25đ mà: AH = CH (gt) và MHˆ A NHˆ C (vì ABH = CDH) 0,50đ AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ MH = NH. Vậy HMN cân tại H 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Giải: Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) 0,50đ = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,25đ = 11.91( a.102 + b.10 + c)  11 0,25đ Vậy abcabc  11 0,25đ Hết