Đề thi học sinh giỏi huyện Phú vang - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện Phú vang - Môn thi: Toán 8

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ VANG Mụn : TOÁN 8 Năm học 2012-2013 Bài 1. (4 điểm) 2 a) Giải phương trỡnh : x2 4x 2 x 2 2 43 x 2 x 1 b) Cho phương trỡnh: x m x 1 Tỡm giỏ trị m để phương trỡnh vụ nghiệm. Bài 2. (2 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 Nếu 0 và a b c abc thỡ ta cú 2 a b c a2 b2 c2 Bài 3. (2 điểm) 1 1 1 1 7 Cho S . Chứng minh rằng S 101 102 103 200 12 Bài 4. (4 điểm) Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thỡ ta vẫn được một số chớnh phương. Bài 5. (6 điểm) Cõu 1. Cho tam giỏc ABC nhọn. Dựng ra phớa ngoài hai tam giỏc đều ABE; ACF,lại dựng hỡnh bỡnh hành AEPF. Chwnngs minh rằng PBC là tam giỏc đều Cõu 2. Cho tam giỏc ABC cú BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm. a) Tớnh độ dài đường cao CH của tam giỏc ABC b) Gọi CD là đường phõn giỏc của ACH.Chứng minh BCD cõn c) Chứng minh: BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2 Bài 6. (2 điểm) Cho a,b là cỏc số dương thỏa món a3 b3 a5 b5.Chứng minh rằng a2 b2 1 ab
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a) x2 4x 2. x 2 2 43 x2 4x 2 x2 4x 4 43 Đặt x2 4x t.Điều kiện : t 4 . Khi đú ta cú phương trỡnh: 2 t 7(ktm) t 2t 35 0 t 7 t 5 0 t 5(tm) 2 x 5 Với t 5 x 4x 5 0 x 1 Vậy S 5; 1 x 2 x 1 b)ĐK của phương trỡnh: (*) x m x 1 x m 0 x m x 1 0 x 1 Từ (*) x 2 x 1 x 1 x m mx 2 m Với m 0 thỡ PT cú dạng 0x 2(VN) 2 m Với m 0 thỡ PT (*) cú nghiệm x m 2 m x m Nghiệm x là nghiệm của PT * khi nú phải thỏa món điều kiện m x 1 2 m Tức là: 1 2 m m m 1 m 2 m 2 m 1 m m m 2 0 m 1 m 2 0 m m 2 Như vậy PT (*) vụ nghiệm với cỏc giỏ trị của m 2;0;1
3. Bài 2. 1 1 1 Theo giả thiết: 2 nờn a 0;b 0;c 0 a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú: 2 4 2 2 2 2 4 a b c a b c a b c ab bc ca 1 1 1 a b c 2 2 2 2 4 a b c abc a b c Vỡ a b c abc(gt) 1 abc 1 1 1 1 1 1 2 4 2 dfcm a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú: A + 101 102 103 150 151 152 153 200 Thay mỗi phõn số trong từng nhúm bằng phõn số nhỏ nhất trong từng nhúm ấy ta được 1 1 1 1 1 1 .50 101 102 103 150 150 3 1 1 1 1 1 1 .50 151 152 153 200 200 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 A + 101 102 103 150 151 152 153 200 3 4 12 1 1 1 1 1 1 1 1 7 A + 101 102 103 150 151 152 153 200 12 Bài 4. Gọi abcd là số phải tỡm a,b,c,d Ơ ,0 a,b,c,d 9,a 0 Ta cú: 2 abcd k abcd k 2 k,m Ơ ,31 k m 100 2 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m abcd 1353 m Do đú: m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200
4. m k 123 m 67 (TM ) m k 11 m 57 m k 41 m 37 (KTM ) m k 33 k 4 Vậy số cần tỡm là abcd 3136 Bài 5. Cõu 1. A 1 2 3 E 1 2 P F B C Ta cú: AEPF là hỡnh bỡnh hành nờn ãAEP ãAFP Xột EPB và FPC cú: EB FP AE ;EP FC AF ;Pã EB Pã FC(vi 600 ãAEP 600 ãAFP) EPB FPC c.g.c PB PC (1) ã ã 0 à à 0 à ả 0 à ả Ta cú: EAP AEP 180 A3 E1 60 mà E1 E2 60 A3 E2 EPB ABC(cgc) PB BC 2 Từ (1) và (2) suy ra PB PC BC . Vậy PBC đều
5. Cõu 2. C B A H D a) Dựng định lý Pytago đảo chứng minh được: ABC vuụng tại C 1 1 AC.BC 20.15 Ta cú: S AC.BC AB.CH CH 12cm. ABC 2 2 AB 25 b) Dễ dàng tớnh được: HA 16cm,BH 9cm CD là tia phõn giỏc của ACH nờn suy ra AD 10cm,HD 6cm. Do đú: BC BD 15cm Vậy BDC cõn tại B c) Xột cỏc vuụng: CBH,CAH Ta cú: BC 2 BH 2 CH 2 (Pytago) CD2 DH 2 CH 2 Pytago BD2 BC 2 BH 2 CH 2 Pytago Từ đú suy ra BC 2 CD2 BD2 3CH 2 2BH 2 DH 2
6. Bài 6. Xột 2 số dương : Xột : a2 b2 1 ab a2 b2 ab 1 a b a2 b2 ab a b (Vi a b 0) a3 b3 a b a3 b3 a3 b3 a b a5 b5 (Vi a3 b3 a5 b5 ) a6 2a3b3 b6 a6 ab5 a5b b6 2a3b3 ab5 a5b ab a4 2a2b2 b4 0 2 ab a2 b2 0 đỳng a,b 0 Vậy : a2 b2 1 ab với a,bdương và a3 b3 a5 b5