Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2018 - 2019 môn Toán lớp 6 - Trường THCS Trần Phú

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2018 - 2019 môn Toán lớp 6 - Trường THCS Trần Phú

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần. Bài 2: (4 điểm) Tìm x (x N) a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 3: (4 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018 a) Tính các tổng M b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Bài 4: (3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được một số mới lớn gấp 4 lần số cũ. Bài 5: (6 điểm) a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? c) Cho n điểm (n N). Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta một đường thẳng. Biết rằng tất cả có 105 đường thẳng. Tìm n ?
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Nội dung Biểu điểm * Trường hợp không dùng lũy thừa: Số lớn nhất có thể viết được là: 321 0,5 điểm *Trường hợp dùng lũy thừa:(Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1) - Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 132; 312; 123; 213 1điểm So sánh 213 với 312 Ta có: 213 > 312 (vì 213 = 9261; 312 = 961) 1 - Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 213; 231; 312; 321 (3 điểm) So sánh: 321 với 231 Ta có: 321 = 3. 320 = 3 (32)10 = 3.910 231 = 2.230 = 2.(23)10 = 2.810 1 điểm Từ đó suy ra: 321 > 231 - So sánh 321 với 213 Ta có: 321 > 39 = (33)3 = 273 > 213 0,5 điểm Vậy số lớn nhất là : 321 a) 5x = 125 5x = 53 0,5 điểm Vậy x = 3 0,5 điểm b) 32x = 81 0,5 điểm 2x 4 2 3 = 3 0,5 điểm (4 điểm) 2x = 4 . Vậy x = 2 0,5 điểm c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x-3 = 52.3 + 2.52 0,5 điểm 52x-3 = 53 0,5 điểm 2x – 3 = 3 0,25 điểm
3. x = 3 Vậy x = 3 0,25 điểm Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018 a) Tính các tổng M Ta có: 2M = 22 + 23 + 24 + . . . + 22018 + 22019 1 điểm Lấy 2M – M = 22019 - 2 Vậy M = 22019 - 2 1 điểm 3 b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 (4 điểm) M = ( 2 + 22 ) +( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 )+ . . . + ( 22017 + 22018) 0,75 điểm M = 2(1 + 2) +23(1 + 2 ) + 25(1 + 2)+ . . . + 22017(1 + 2) 0,5 điểm M = 3( 2 + 23 + 25 + . . . + 22017) 0,5 điểm Vậy M  3 0,25 điểm Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4 .4 = 4abcde 0,25 điểm Đặt abcde = x nên abcde4 = x4 0,25 điểm 4 Ta có: x4 . 4 = 400 000 + x 0,75 điểm (3 điểm) (10x + 4) . 4 = 400 000 + x 0,5 điểm 40x + 16 = 400 000 + x 0,5 điểm 39x = 399984 0,5 điểm x = 10256 Vậy số phải tìm là : 102564 0,25 điểm 5 a) Kẻ từ 1 điểm bất kì với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng 0,75 điểm (6 điểm) Làm như vậy với 40 điểm ta được : 39.40 = 1560 (đường thẳng) 0,5 điểm
4. Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần 0,25 điểm Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 = 780 (đường thẳng) 0,75 điểm b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 780 đường thẳng * Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 0,75 điểm 10. 9: 2 = 45 (đường thẳng) * Còn nếu 10 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 45 – 1 = 44 (đường thẳng) 0,75 điểm Số đường thẳng cần tìm là : 780 – 44 = 736 (đường thẳng) 0,75 điểm c) Ta có: n.(n – 1): 2 = 105 0,5 điểm n.(n – 1) = 105 .2 0,25 điểm n.(n – 1) = 210 0,25 điểm n.(n – 1) = 15. 14 0,25 điểm Vậy n = 15 0,25 điểm