Đề thi học sinh giỏi cấp trường - Môn thi: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường - Môn thi: Toán lớp 8

1. TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi : TOÁN LỚP 8 Bài 1. (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 26x 24 1 3 3 b) x3 x2 x 1 8 4 2 c) x2 6x 5 d) x4 2015x2 2014x 2015 Bài 2. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 6x 7 2x 3 4x 1 3x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P .Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2015 cho đa thức x2 10x 21. 4xy 1 1 Bài 3. (1,25 điểm) Cho biểu thức : A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực làm cho A xác định và thỏa mãn:3x2 y2 2x 2y 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A. Bài 4. (2 điểm) Giải các phương trình sau: a) x3 2x2 5x 6 0 b) 5 3x 3x 5 3 2 4 9 c) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 d) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương.
2. Bài 5. (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua Avẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân b) QR cắt PS tại H. M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật c) Chứng minh P là trực tâm SQR d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC e) Chứng minh bốn điểm M ,B, N,D thẳng hàng. Bài 6. (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 1 b) Cho hai số a,bthỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh : a3 b3 ab 2
3. ĐÁP ÁN Bài 1. a) 5x2 26x 24 5x2 6x 20x 24 x 5x 6 4 5x 6 5x 6 x 4 3 2 3 1 3 3 2 3 1 1 1 2 3 1 b) x x x 1 x 3. x .1 3. x .1 1 x 1 8 4 2 2 2 2 2 c) x2 6x 5 x x 1 5 x 1 x 5 x 1 d) x4 2015x2 2014x 2015 x4 x3 x2 x3 x2 x 2015x2 2015x 2015 x2 x2 x 1 x x2 x 1 2015 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2015 Bài 2. 7 6x 7 2x 3 4x 1 3x 4 a) 7 77 12x2 18x 14x 21 12x2 7x 3x 4 4 b) x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 2y y 1 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y. Khi đó A 2y y 3 c) P x x 2 x 4 x 6 x 8 2015 x2 10x 16 x2 10x 24 2015 Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , biểu thức P(x) được viết lại P(x) t 5 t 3 t 2 2t 2000 Do đó khi chia t 2 2t 2000 cho t ta có số dư là 2000. Bài 3. a) x y; y 0 b) A 2x x y c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A , từ đó tìm được được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 y2 2x 2y 1 2x2 2xy x2 2xy y2 2 x y 1
4. 2x x y x y 2 2 x y 1 2 A x y 1 2 2 A 2 x y 1 2 2(do x y 1 0x, y) A 2 1 x y 1 0 x 2 +)A 2 khi 2x x y 2 3 x y; y 0 y 2 x y 1 2 1 +)A 1 khi 2x x y 1 . Từ đó , chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng x y; y 0 2 1 x 2 hạn : 2 3 y 2 Vậy Achỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A 1; A 2 Bài 4. x 1 a) x3 2x2 5x 6 0 x 1 x 2 x 3 0 x 2 x 3 5 b) 5 3x 3x 5 3x 5 3x 5 3x 5 0 x 3 c) ĐKXĐ: x 1; 4; 6;3
5. 3 2 4 9 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 1 1 1 4 1 1 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 4 1 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 x 1 3 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 2 x 0(tm) 4x 8x 0 4x x 2 0 x 2(tm) S 0;2 d) x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 x y 3 7 x 3 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 0 x y 1 1 y 1 Vậy x; y 3;1
6. Bài 5. S D C Q N P H A B M R a) ADQ ABR vì chúng là hai tam giác vuông và DA BD AQ AR AQR vuông cân. Chứng minh tương tự ta có: ABP ADS Do đó AP AS và APS là tam giác cân tại A b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ Mặt khác P· AN P· AM 450 M· AN 900.Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA  RS,RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao của SQR Vậy P là trực tâm SQR
7. 1 d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM QR 2 MA MC,nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP , ta có NA NC,nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M , N,B,D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực AC, nghĩa là chúng thẳng hàng Bài 6. a) A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 y2 4xy 2y 13x2 16x 2015 y2 2y 2x 1 2x 1 2 9x2 12x 2015 y 2x 1 2 3x 2 2 2010 2 1 Chứng tỏ A 10.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x ; y 3 3 2 x 3 Vậy min A 2010 1 y 3 1 1 b) Ta có: a3 b3 ab 1 a3 b3 ab 0 2 2 1 a b a2 b2 ab ab 0 2 1 a2 b2 0 (vì a b 1) 2 2a2 2b2 1 0 2a2 2 1 a 2 1 0 (Vì b 1 a) 2 2 2 1 2a 2 4a 2a 1 0 4 a a 0a (2) 4 (2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.