Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 - Môn Toán

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 - Môn Toán

1. PHÒNG GD & ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1. (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nào có vạch chia dung tích ? Bài 2. (3 điểm) Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó Bài 3. (3 điểm) Chứng minh rằng n3 n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n 1 1 1 4 8 Bài 4. (3 điểm) Tính tổng S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 Bài 5. (4 điểm) Nhân ngày 1 – 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: 1 Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ 11 1 nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn 11 lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm 1 số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Bài 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD BC. Tính số đo B· DC ?
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Ký hiệu a;b là trạng thái can 4 lít có a lít với 0 a 4 và can 9 lít có b lít với 0 b 9 . Khi đó việc lấy được 6 lít nước từ sông được diễn tả qua các trạng thái sau: 0;0 0;9 4;5 0;5 4;1 0;1 1;9 4;6 Bài 2. Ta có: aaaa 16bbb r aaa 16bb r 200 Với 200 r bbb Trừ các đẳng thức ta có: a 5 1000a 1600b 200 5a 8b 1 b 3 Ta có các số 5555 và 333thỏa mãn. Bài 3. Ta có: n3 n n 1 .n. n 1 chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp Ta cũng có n 1 n n 1 chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn Mà 2,3 1 . Vậy n3 n chia hết cho 6 Bài 4. 1 1 1 1 8 S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 2 2 4 8 4 4 8 8 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8 1 x8 1 x8 1 x16 Bài 5. Gọi số kẹo phân đội được tặng là x (cái) ; x ¥ *
3. 1 x 10 Số kẹo bạn thứ nhất nhận: 1 (x 1) (cái) 11 11 11 x 10 10x 10 Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận x (cái) 11 11 11 11 1 10x 10 10x 210 Số kẹo bạn thứ hai nhận : 2 . 2 (cái) 11 11 11 121 121 Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình: x 10 10x 210 11x 10x 210 110 x 100 11 11 121 121 121 121 121 121 100 10 Số kẹo mỗi đội viên nhận là: 10 11 11 Số đội viên là : 100:10 10(bạn) Bài 6. A D E B C
4. Ở miền trong tam giác ABC ta dựng tam giác đều BCE khi đó: ABE ACE c.c.c B· AE C· AE 100 ·ABE 200 và ·AEB 1500 suy ra ADC BEA c.g.c ·ADC B· EA 1500 B· DC 300