Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 6

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm có 04 câu, 01 trang) Câu I: (6,0 điểm). Tìm x biết: 1 2 1 a) x 3 3 4 b) 3x 1 17 12 5 3 1 c) x = 22 13 2 4 2 3 13 11 2 2 2 2 . d) 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 11 .13 13 .15 19 . 21 Câu II: (8,0 điểm). 1. Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100 a) Chứng minh rằng S  15 b) Tìm chữ số tận cùng của S. c) Tính tổng S. 2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) 1 . . . 2 3 4 199 200 101 102 200 51 52 100 b) . . . . . . 1 . 3 . 5 . . . . . 99 2 2 2 Câu III: (3,0 điểm). Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h. Câu IV: (3,0 điểm). 1 3 5 9999 1. Cho A = . . . . . . . 2 4 6 10000 So sánh A với 0,01. 2. Chứng minh rằng: 1 2 3 . . . n 7  10 , với  n N. Hết
2. Câu Đáp án Điểm a) 1,5 điểm Câu I: 1 2 1 x (6,0 điểm) 3 3 4 2 1 1 x 0,25đ 3 4 3 2 1 x 0,25đ 3 12 1 2 x = : 0,25đ 12 3 1 . 3 x = 12 . 2 0,25đ 1 x = 0,5đ 8 b) (1,5 điểm) 3x 1 17 12 3x 1 = -12 + 17 3x 1 = 5 0,25đ 3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 0,5đ 3x = 4 3x = - 6 4 x = x = - 2 3 0,5đ 4 Vậy x = ; x = - 2 0,25đ 3 c) (1,5 điểm) 5 3 1 x 22 13 2 4 2 3 13 11 2 5 3 1 .2.11 .13 22 13 2 = 0,5đ 4 2 3 .2.11.13 13 11 2 65 66 143 = 88 52 429 0,5đ 12 4 = 0,5đ 465 155 d) (1,5 điểm) 2 2 2 Vì . . . 11 .13 13 .15 19 . 21
3. 1 1 1 1 1 1 0,25đ = 11 13 13 15 19 21 1 1 10 0,25đ = 11 21 231 0,25đ 10 Nên ta có . 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 231 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 0,25đ [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1 2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 0,25đ x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 0,25đ x = 15,95 1. (3,0 điểm) Câu II: a) (1,25 điểm) (8 điểm) S = 21 + 22 + 23 + + 2100 Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: 0,25đ S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (297 + 298 + 299 + 2100) 2 3 5 2 3 97 2 3 = 2 (1 + 2 + 2 + 2 ) + 2 (1 + 2 + 2 + 2 ) + + 2 (1 + 2 + 2 + 2 ) 0,5đ = 2 . 15 + 25 . 15 + + 297 . 15 0,25đ = 15 (2 + 25 + + 297)  15 (ĐPCM) 0,25đ b) (0,75 điểm) Vì S  15 S  5 (1) 0,25đ Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S  2 (2) 0,25đ Từ (1) và (2) S  10 hay S có chữ số tận cùng là 0. 0,25đ c) (1,0 điểm) 2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + + 2100) - (21 + 22 + 23 + + 2100) 0,5đ S = (22 + 23 + 24 + + 2101) - (21 + 22 + 23 + + 2100) 0,25đ hay S = 2101 - 2 0,25đ 2. (2,0 điểm) Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x 0,25đ Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n 0,25đ (x - 1) : 2 = n - 1 x - 1 = (n - 1). 2 x - 1 = 2n - 2 x = 2n - 2 + 1 x = 2n - 1 0,25đ Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 2n - 1 0,25đ Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n2 là một số chính phương. Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương. 0,75đ 0,25đ 3. (3,0 điểm)
4. a) (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 Ta có 1 - 2 3 4 199 200 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + 3 5 199 2 4 6 200 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 2 0,5đ 2 3 4 5 6 199 200 2 4 6 200 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 2 3 199 200 2 3 100 0,5đ 1 1 1 1 = (ĐPCM) 101 102 103 200 0,5đ b) (1,5 điểm) 1 . 3 .5 99 2 . 4 . 6 100 0,5đ Ta có: 1 . 3 . 5 99 = (2 .4 . 6 100) 1 .2.3.4.5.6 99.100 = 0,25đ 1.2 . 2.2 . 2.3 2.50 1 .2 . 3 99 .100 = 0,25đ 1 . 2.3 50 . 2.2.2 2  50 thõa sè 2 51 .52 .53 99 .100 = 2.2.2 2 0,25đ  50 thõa sè 2 51 52 53 100 = . . . . . . . (ĐPCM) 0,25đ 2 2 2 2 Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h. 0,25đ Câu III: Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h (3 điểm) 9 0,25đ = h 2 1 Một giờ xe thứ nhất đi được : (quãng đường AB). 0,25đ 6 2 Một giờ xe thứ hai đi được : (quãng đường AB). 9 0,25đ 2 1 1 Phân số chỉ 20km là : - = (quãng đường AB) 0,5đ 9 6 18 1 Vậy quãng đường AB dài : 20 : = 360 (km) 18 0,5đ 1 Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . = 60 (km/h) 6 0,25đ Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h) 0,5đ
5. Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 0,25đ 1. (1,5 điểm) Câu IV: 1 3 5 9999 A = . . (3 điểm) 2 4 6 10000 2 4 6 10000 Đặt B = . . 3 5 7 10001 1 2 3 4 5 6 9999 10000 Vì ; ; ; ; 0,5đ 2 3 4 5 6 7 10000 10001 Nên A 0 ; B > 0 1 3 5 9999 2 4 6 10000 A2 < A . B = . . . . . 0,25đ 2 4 6 10000 3 5 7 10001 1 2 3 4 5 6 9999 10000 = . . . . . . 2 3 4 5 6 7 10000 10001 2 1 1 1 2 = 0,01 10001 10000 100 A2 < (0,01)2 0,5đ Hay A < 0,01 0,25đ 2. (1,5 điểm) n. n 1 Ta có: 1 + 2 + 3 + + n = 2 0,5đ Vì n N n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6 0,5đ n. n 1 không bao giờ có tận cùng là 7. 2 1 2 3 n 7 không bao giờ có tận cùng là 0. 0,25đ 1 2 3 n 7  10, với  n N (ĐPCM) 0,25đ * Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm. Hết