Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 8

1. PHÒNG GD&ĐT THƯỜNG XUÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2019 – 2020 (Đề thi gồm 01 trang) Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4 điểm) x 1 1 8x 3x 2 1 Cho biểu thức: A 2 : 1 với x . 3x 1 3x 1 1 9x 3x 1 3 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm x để A 1. 3) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm) 1) Cho đa thức f x , tìm số dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết rằng f x chia x 1 dư 7 và f x chia x 2 dư 1. x2 4x x 4 2) Giải phương trình: x 5. x 1 x 1 Câu 3. (4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 16y 24 2 9x2 16x 32 . 2 m 2n 2 2 2) Cho m,n là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn 2 . Chứng minh m n 24mn . n 2m Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D . Qua D vẽ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AB , AC theo thứ tự ở M và N . 1) Chứng minh: DB DN . 2) Trên nửa mặt phẳng có chứa điểm A bờ là đường thẳng BC , vẽ B ,x C yvuông góc với BC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của N trên Bx và F là hình chiếu vuông góc của M trên Cy . Chứng minh: E , A , F thẳng hàng. 4 3) Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích tứ giác BDNE , DMFC . Chứng minh: DA S1.S2 . Câu 5. (2 điểm) a b c 3 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh . 1 b2 1 c2 1 a2 2  HẾT 
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 (2019 – 2020) Câu 1. x 1 1 8x 3x 2 1 Cho biểu thức: A 2 : 1 với x 3x 1 3x 1 1 9x 3x 1 3 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm x để A 1. 3) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. Lời giải 1 1) Với x 3 x 1 1 8x 3x 2 x 1 3x 1 3x 1 8x 3x 1 3x 2 A 2 : 1 : 3x 1 3x 1 1 9x 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x2 3x 3 3x x 1 3x 1 3x2 3x :  . 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3 3x 1 2) Tìm x để A 1. 1 3x2 3x 3x2 3x 3x2 1 1 Với x : A 1 1 1 0 0 3x 1 0 x 3 3x 1 3x 1 3x 1 3 1 3) Với x : 3 9x2 9x 9x2 1 9x 3 4 4 3A 3x 1 3 ¢ 3x 1 4; 2; 1;1;2;4 3x 1 3x 1 3x 1 1 2 5 x 1; ;0; ;1; , x ¢ x 1;0;1. 3 3 3 Thay vào biểu thức A x 0, x 1; x 1 thỏa mãn. Câu 2. 1) Cho đa thức f x , tìm số dư của phép chia f x cho x 1 x 2 . Biết rằng f x chia x 1 dư 7 và f x chia x 2 dư 1. x2 4x x 4 2) Giải phương trình: x 5. x 1 x 1 Lời giải 1) Gọi dư của phép chia f x cho x 1 x 2 là ax b. Ta có: f x p x . x 1 7 q x . x 2 1 k x x 1 x 2 ax b. a b 7 3a 6 a 2 Thay x 1, x 2 được: . 2a b 1 b 7 1 b 5 Dư cần tìm là: 2x 5. 2) ĐKXĐ: x 1.
3. x2 4x x 4 x2 4x x2 4 x4 4x3 4x2 16x x 5  5 2 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2x 1 x4 4x2 1 4x3 4x 2x2 10x2 20x 1 5 x2 2x 1 2 2 x2 2x 1 10 x2 2x 1 9 5 x2 2x 1 x2 2x 1 15 x2 2x 1 9 0 2 15 3 21 15 3 21 x 2x 1 x 1 (thoả mãn). 2 2 Câu 3. 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 16y 24 2 9x2 16x 32 . 2 m 2n 2 2 2) Cho m,n là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn 2 . Chứng minh m n 24mn . n 2m Lời giải 2 1) 3x 16y 24 2 9x2 16x 32 9. 3x 16y 24 9. 9x2 16x 32 9x 48y 72 2 9x 8 2 224 9x 48y 72 2 9x 8 2 224 18x 48y 64 48y 80 224 9x 24y 32 3y 5 7 . Với x, y là số nguyên thì 3y 5 là ước của 7 và chia cho 3 dư 2, từ đó suy ra : 3y 5 1 hoặc 3y 5 7 . TH1. 3y 5 1 y 2 x 1 . TH2. 3y 5 7 y 4 x 7 . Vậy các cặp nghiệm nguyên x; y là 1; 2 , 7,; 4 . 2) +) Vì m,n là hai số nguyên dương lẻ nên ta đặt m 2a 1, n 2b 1 a,b ¥ . Khi đó ta có: m2 n2 2 4 a2 b2 4 a b 44 1 2 m 2n 2 2 +) Vì 2 nên m 2 n 2 mn n 2m m2n2 2 m2 n2 2 mn 2 m2 n2 2 mn Vì m,n lẻ nên 2,mn 1 . Do đó m2 n2 2mn 2 Từ 1 , 2 và 4,mn 1 nên suy ra m2 n2 24mn . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D . Qua D vẽ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AB , AC theo thứ tự ở M và N .
4. 1) Chứng minh: DB DN . 2) Trên nửa mặt phẳng có chứa điểm A bờ là đường thẳng BC , vẽ B ,x C yvuông góc với BC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của N trên Bx và F là hình chiếu vuông góc của M trên Cy . Chứng minh: E , A , F thẳng hàng. 4 3) Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích tứ giác BDNE , DMFC . Chứng minh: DA S1.S2 Lời giải AB BD AB AC 1. Vì AD là tia phân giác của B· AC nên 1 AC DC BD DC ·ACB chung Xét DCN và ACB có: DCN ∽ ACB g g · · BAC NDC 90 AB AC 2 DN DC AB AB Từ (1) và (2) suy ra BD DN BD DN N· DB 90 DN  BC 2. Xét tứ giác BEND có: D· BE 90 EB  BC B· EN 90 NE  BE BEND là hình chữ nhật BN DE Gọi I là giao điểm của BN và DE I là trung điểm của BN và DE 1 Xét BAN vuông tại A , có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BN AI BN 2 1 Mà BN DE nên AI DE 2 1 Xét EAD có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh DE và AI DE 2 EAD vuông tại A E· AD 90 Chứng minh tương tự D· AF 90
5. Ta có: E· AD D· AF 90 90 180 E , A , F thẳng hàng. 3. Vì BDNE là hình chữ nhật có BD DN nên BDNE là hình vuông. DE là phân giác của B· DN Tương tự DF là phân giác của M· DC Mà B· DN và M· DC là hai góc kề bù Suy ra E· DF 90 EDF vuông tại D ED2 DF 2 FE 2 (Định lý Pytago) Xét EBD vuông tại B có ED2 BD2 DN 2 (định lý Pytago) ED2 2BD2 (do BD DN ) Tương tự: DF 2 2DC 2 4 4 2 2 Ta có: DA S1.S2 DA BD .DC 2 2 ED.DF DA BD.DC BD.DC FE ED2.DF 2 ED2.DF 2 BD.DC BD.DC FE 2 ED2 DF 2 2BD2.2DC 2 2BD.DC BD.DC 1 2BD2 2DC 2 BD2 DC 2 2BD.DC BD2 DC 2 (BD DC)2 0 (hiển nhiên) 4 Suy ra DA S1.S2 . Câu 5. a b c 3 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh . 1 b2 1 c2 1 a2 2 Lời giải a b c ab2 bc2 ca2 Ta có: 3 P a b c 2 2 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a ab2 bc2 ca2 1 ab bc ca . 2b 2c 2a 2 1 Suy ra 3 P ab bc ca 1 2 2 1 2 2 2 Mà a b c a b b c c a 3 ab bc ca 3 ab bc ca . 2 Suy ra: 9 3 ab bc ca ab bc ca 3 2 1 3 3 3 Từ 1 và 2 suy ra: 3 P .3 P 3 . 2 2 2 2  HẾT 