Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2013-2014 (Thời gian: 150 phút) Bài 1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 1 A a2 a a2 3a 2 a2 5a 6 a2 7a 12 a2 9a 20 Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 2008 4 x 2010 4 2 b) x 1 2 x 2 3 x 3 4 Bài 3. (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3x2 6x 10 B x2 2x 3 Bài 4. (3 điểm) Giải bất phương trình: ax 1 1 a 1 x a 0 a a Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác ABC (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ? b) Cho AH 10cm,BK 12cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c) Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ?
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Điều kiện: a 0;a 1;a 2;a 3;a 4;a 5 1 1 1 1 1 A a2 a a2 3a 2 a2 5a 6 a2 7a 12 a2 9a 20 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 1 1 a 4 a a 5 a a 5 Bài 2. a) x 2008 4 x 2010 4 2 (I) Đặt y x 2009 ta có: I y 1 4 y 1 4 2 2y4 12y2 0 2y2 y2 6 0 y 0 x 2009 0 x 2009 b)x 1 2 x 2 3 x 3 4 (II) +Nếu x 1 ta có II 2x 6 4 x 1 (ktm) +Nếu 1 x 2 ta có: II 0.x 4 4 , Phương trình nghiệm đúng với 1 x 2 +Nếu 2 x 3 ta có: II 4x 8 x 2(thỏa mãn) +Nếu 3 x ta có: II 2x 10 x 5(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình II là x 5hoặc 1 x 2 Bài 3. 3x2 6x 10 1 1 Ta có: B 3 3 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 2 2 1 1 7 Mà 3 3 x 1 2 2 2 2 7 Vậy giá trị lớn nhất của B là x 1 2
3. ax 1 1 Bài 4. a 1 x a 0 III a a 2 Với a 0 ta có III a 2 x * a 2 * x nếu a 2 và a 0 a a 2 2 * 0x đúng với mọi x nếu a 2 2 2 * x nếu a 2 a a 2 Bài 5. A K I C B H a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng là : ABH : ACH (Vì có B· AH C· AH ) ABH : BCK (vì có ·ABH B· CK) ACH : BCK (vì cùng đồng dạng với ABH ) AB AH 10 5 b) Từ ABH : BCK BC BK 12 6 AB 5 3 BH AB(H là chân đường cao, trung tuyến) 2BH 6 5
4. Ta lại có: AB2 BH 2 AH 2 (Định lý Pytago) 2 2 3 2 AB AB 10 AB 12,5cm 5 AC AB 12,5cm ;BC 15cm c) Chỉ ra được BIC cân tại I BIC cân tại I trở thành tam giác đều khi I·BC 600 Mà I·BC H· AB H· AB 600 B· AC 1200. Vậy để BIC là tam giác đều thì ABC phải cân tại A và µA 1200