Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Kim thành - Môn: Toán 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Kim thành - Môn: Toán 6

1. UBND HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015-2016 Mụn: Toỏn 6 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể giao đề) Câu 1:(3 điểm) Cho S =20 +22 +24 +26 + +22014 . a) Chứng tỏ S chia hết cho cỏc số 7; 17; 51. b) Tỡm chữ số tận cựng của S. Caõu 2: (4 điểm) a) Khụng quy đồng hóy tớnh tổng sau: 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 7 15 15 7 b) So sỏnh: N = và M = 102015 102016 102015 102016 Câu 3. (4,5 điểm) a) CMR tổng của ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 3, cũn tổng của bốn số tự nhiờn liờn tiếp thỡ khụng chia hết cho 4. b) Chứng tỏ rằng 12n 1 là phõn số tối giản. 30n 2 5 15 c) Chứng tỏ: S = 16 2 chia hết cho 33. Câu 4: ( 3,5 điểm) Số HS của một trường THCS là số tự nhiờn nhỏ nhất cú 4 chữ số mà khi chia số đú cho 5 hoặc cho 6, hoặc cho 7 đều dư 1. Tớnh số học sinh của trường đú. Câu 5: (5 điểm) 1)Cho hai gúc kề bự xOz và yOz biết rằng : xã Oz ãyOz 4ãyOz a/ Tớnh số đo của cỏc gúc xOz và yOz. 0 b/ Trờn một nữa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om sao cho xãOm 75 . Tia Om cú phải là tia phõn giỏc của gúc xOz khụng ? Vỡ sao? c/Trong trường hợp tia Om là tia phõn giỏc của gúc xOz, gọi On là tia phõn giỏc. 2) Cho 2016 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. ___ Hết ___
2. UBND HUYỆN KIM THÀNH HƯỚNG DẪN CHẤM PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIOI GIỎI CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn 6 Hướng dẫn chấm gồm cú 03 trang Cõu Đỏp ỏn Điểm Tổng S cú 2014: 2 + 1 = 1008 số hạng. S =(20 +24 )+22 (20 +24 )+ +22010 (20 +24 ) . S là tổng của cỏc số hạng chia hết cho 17 nờn S chia hết cho 17. 0,5 điểm S =(20 +22 +24 )+26 (20 +22 +24 )+ +22010 (20 +22 +24 ) S chia hết cho 21 nờn S chia hết cho 7. 0,5 điểm Câu 1 S chia hết cho 21 nờn S chia hết cho 3 và S chia hết cho 17 nờn S chia hết cho 51 (=3.17) 0,5 điểm Xột S' =24 +26 + +22014 24 (20 22 ) 22012 (20 22014 ) 0,5 điểm S’ chia hết cho 2 và S’ chia hết cho 5 nờn S’ chia hết cho 10. Hay S’ cú 0,5 điểm chữ số tận cựng là 0. Do 20 + 22 = 5 nờn S cú chữ số tận cựng là 5. 0,5 điểm 1 1 1 1 1 1 a)Tớnh 90 72 56 42 30 20 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 0,5 điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 0,5 điểm 4 5 5 6 6 7 9 10 1 1 = - ( ) 0,5 điểm 4 10 Câu 3 = 2. 20 0,5 điểm b) So sỏnh 7 15 7 8 7 Xột N = = 0,5 điểm 102015 102016 102015 102016 102016 15 7 7 8 7 và: M = = 0,5 điểm 102015 102016 102015 102015 102016 8 8 Ta cú: > 0,5 điểm 102016 102015 Vậy: N > M 0,5 điểm a) 1) Gọi ba số tự nhiờn liờn tiếp đú là: n, n + 1, n + 2 . 0,5 điểm Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3 Câu 3 Thật vậy ta cú: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3  3 Gọi bốn số tự nhiờn liờn tiếp đú là: n, n + 1, n + 2, n + 3. Ta cú: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 khụng chia hết cho 4 vỡ 4n chia hết cho 4 cũn 7 khụng chia hết cho 4.
3. Vậy tổng của ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 3, cũn tổng 0,5 điểm của bốn số tự nhiờn liờn tiếp thỡ khụng chia hết cho 4. 0,5 điểm 12n 1 b) Chứng tỏ rằng là phõn số tối giản 30n 2 Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta cú 0,5 điểm 5(12n+1)-2(30n+2) =1 chia hết cho d vậy d=1 nờn 12n+1 và 30n+2 nguyờn tố cựng nhau 0,5 điểm 12n 1 do đú là phõn số tối giản 0,5 điểm 30n 2 5 15 c) Chứng minh: S = 16 2 chia hết cho 33 Cú S = 165 215 = (24 )5 215 0,5 điểm = 220 215 = 215.25 215 0,5 điểm 15 5 15 = 2 (2 1) = 2 .33 S chia hết cho 33 0,5 điểm Gọi số HS của trường là x (x N) x : 5 dư 1 x - 1  5 0,5 điểm x : 6 dư 1 x - 1  6 0,5 điểm x : 7 dư 1 x -1  7 Suy ra x -1 là BC(5, 6, 7) 0,5 điểm Câu 4 Ta cú BCNN(5, 6, 7) = 210 0,5 điểm BC(5, 6, 7) = 210k (k N) 0,5 điểm x - 1 = 210k x = 210k + 1 mà x số tự nhiờn nhỏ nhất cú 4 chữ số nờn x 1000 suy ra 210k + 1 1000 0,5 điểm 53 k 4 (k N) nờn k nhỏ nhất là k = 5. 0,5 điểm 70 1) a.Vỡ xã 0z và ãy0z kề bự nhau nờnxã 0z ãy0z 1800 (1) Câu 5 ã ã ã ã ã Mặt khỏc: x0z y0z 4y0z x0z 5y0z ( 2) 0,5 điểm Từ (1) và (2) 6.ãy0z 1800 ãy0z 300 ; xã 0z 1500 0,5 điểm Vậy xã 0z 1500 ; ãy0z 300
4. b. Trường hợp 1 : Nếu hai tia Om và Oz cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox. m z y O x Ta cú: xã 0m xã 0z (750 < 1500) tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oz (3) 0 0,5 điểm mã 0z xã 0z xã 0m mã 0z 1500 75 750 xã 0m mã 0z 750 (4). Từ (3) và (4) suy ra tia Om là tia phõn giỏc của gúc xOz 0,5 điểm Trường hợp 2 : Nếu tia Oz và tia Om nằm trờn 2 nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Ox. Khi đú tia Om khụng nằm giữa hai tia Ox và Oz. z y x O 750 0,5 điểm m Vậy trong trường hợp này tia Om khụng phải là tia phõn giỏc của gúc xOz 0,5 điểm ãyOz 300 c. Vỡ On là tia phõn giỏc của gúc yOz nờn zãOn 150 2 2 Vậy mã On mã Oz zãOn 750 150 900 2) Mỗi đường thẳng cắt 2015 đường thẳng còn lại tạo nên 2015 giao điểm. 0,5 điểm Mà có 2016 đường thẳng có : 2016 x 2015 giao điểm. 0,5 điểm Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: 0,5 điểm (2015 x 2016):2 = 2015 x 1008= 2031120 giao điểm. 0,5 điểm (Bài thi của thớ sinh giải theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa) Hướng dẫn chấm gồm cú 03 trang, trang số 03