Đề thi chọn học sinh giỏi THCS - Môn thi: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS - Môn thi: Toán lớp 8

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC : 2013-2014 MÔN THI: TOÁN – LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) Bài 1. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng 22008 22009 22010 chia hết cho 7 b) Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 2n3 3n2 n 3chia hết cho giá trị của biểu thức n2 n Bài 2. (1,5 điểm) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ? Bài 3. (2,0 điểm) 2x3 x2 x x2 x x2 1 x Cho biểu thức: M 3 2 . 2 x 1 x 1 2x x 1 2x 1 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. Bài 4. (2,0 điểm) a) Cho a b 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 1 1 b) Cho x2 14 x 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức x3 x2 x3 Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K a) Chứng minh : BM vuông góc với AN b) Chứng minh : ME.NK MI.NE c) Biết diện tích của tam giác ABC là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S.
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a. 22008 22009 22010 22008. 1 2 4 7.22008 7 b. Chia 2n3 3n2 n 3 cho n2 n dư 3 Vì n2 n n n 1 là số chẵn nên n n 1 Ư(3). Bài 2. Gọi x(m) là chiều dài đoạn đường cả khối 8 là vệ sinh (x 0 ) Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x 9 Sau khi lớp 8 /1nhận, đoạn đường còn lại: x 0,1x 9 0,9x 9 Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9x 9 20 0,09x 17,1 Ta có phương trình : 0,1x 9 0,09x 17,1 Giải ra : x 810 (thích hợp) Khối 8 có 9 lớp Mỗi lớp chăm đoạn đường dài 90m Bài 3. a. x3 1 x 1 x2 x 1 0 x 1 x2 1 x 1 x 1 0 x 1 1 2x 1 0 x 2 1 2x2 x 1 x 1 2x 1 0 x 1; x 2 b. 2x3 x2 x x x 1 x 1 x 1 x . 2 x 1 x 1 x 1 . 2x 1 2x 1 x 1 x x 1 2 2x3 x2 x x x x 1 x 1 x 2 2 2x 1 2x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2x3 x2 x x3 x2 x x 1 x . 2 2x 1 2x 1 x 1 x x 1
3. 3 2 x3 2x 1 x x 2x x x x 1 2 . 2 x x 1 2x 1 2x 1 x x 1 2x 1 2 2x3 x2 x 2x 1 x x x2 x x2 x 1 . 2x 1 x2 x 1 . 2x 1 x2 x 1 c) x2 x x2 x 1 1 1 M 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 M có giá trị nguyên x2 x 1 Ư(1) 2 2 x 0(tm) x x 1 1 x x 0 x 1(ktm) x2 x 1 1 x2 x 2 0(VN) Vậy x 0 Bài 4. 4a. a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab (với mọi a,b) a b 3 a b 2 9 a2 b2 2ab 9 2 a2 b2 9 a2 b2 4,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của a2 b2 4,5 4b. 2 1 2 1 2 x x 2 x x 2 1 1 x 16 x 4 x x 1 3 1 1 2 3 x x 2 x 1 x x x 1 1 Với x 0 x 4; thì x3 4. 14 1 52 x x3 1 1 Với x 0 x 4; thì x3 4. 14 1 52 x x3
4. Bài 5. A F K N I M P E B H D C a) Gọi F là giao điểm của BM và AN ·ABH H· AC (cùng phụ với B· AH ) · · · 1 · · 1 · ABF CAN ABF ABH;CAN BAH 2 2 ·ABF B· AF 900 (vì C· AN B· AF 900 ) ABF vuông tại F BM  AN b) Gọi P là giao điểm của BM và CN AP là phân giác B· AC nên AP là phân giác AIK Chứng minh tương tự câu a ta có: CN  AM P là trực tâm AMN AP  IK; AP là đường cao AIK AIK vuông cân tại A AI AK. Áp dụng tính chất đường phân giác vào AIE và AEK ta có: MI AI NK AK MI NK ; (Do AI AK) ME AE NE AE ME NE ME.NK MI.NE 1 c) Gọi D là trung điểm BC; AD BC 2
5. AMI AMH (g.c.g) AI AH 1 1 S AI.AK AH 2 AIK 2 2 1 1 S AH.BC AH.2AD AH.AD ABC 2 2 1 1 Vì AH AD S S S S AIK 2 ABC AIK 2 1 Vậy diện tích lớn nhất của AIK là S 2