Đề thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái

Nội dung text: Đề thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA YÊN BÁI NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1:(4 điểm) x 2 1.Cho hàm số y có đồ thị (C) và (d) y=-x-m.Tìm tất cả giá trị thực m để d cắt x 1 đồ thị (C) tại 2 điểm A,B phân biệt sao cho AB 10 2.Cho hàm số f( x ) x42 2 x m 1 tìm tất cả m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 18 Bài 2:(2 điểm) Một nhóm học sinh gồm 10 em trong đó có 2 học sinh lớp 11A1, 3 học sinh lớp 12A2 và 5 học sinh lớp 12A1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau. 22 9x 1 3 x 9 y 1 3 y 1 Bài 3:(4 điểm) Giải hệ phƣơng trình trên tập số thực 3x 2 y 2 x x 2 y 6 10 Bài 4:(4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = 2a, BD = 3.AC, mặt bên SAB là tam giác cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AO. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SB và CD. Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đƣờng tròn (O), M là trung điểm của cạnh BC. Đƣờng phân giác trong của BAC cắt cạnh BC tại D và cắt đƣờng tròn (O) tại điểm P (P khác A). Gọi E là điểm đối xứng với D qua M; trên đƣờng thẳng AO và đƣờng thẳng AD lần lƣợt lấy các điểm H, F sao cho các đƣờng thẳng HD, FE cùng vuông góc với đƣờng thẳng BC. 1) Gọi K là giao điểm của PE và DH. Chứng minh rằng BHCK là tứ giác nội tiếp và bốn điểm B, H, C, F cùng nằm trên một đƣờng tròn. 2) Gọi (w) là đƣờng tròn qua bốn điểm B, H, C, F và T là giao điểm khác F của AD và (w). Biết đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MTP cắt đƣờng thẳng TH tại điểm thứ hai Q (Q khác T). Chứng minh rằng đƣờng thẳng QA tiếp xúc với đƣờng tròn (O).
2. Bài 6:(2 điểm) Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x2 y 2 z 2 3 .Tìm min của 16xy yz zx 1 P x2 y 2 z 2 y 2 x 2 z 2 1 x y z Bài 7:(1 điểm) Xác định tất cả các số nguyên dƣơng n 2 thỏa n a22 b trong đó a là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất cuả n và b là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n Câu 1.1) Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): (x - 2)/(x - 1) = -x - m (ĐKXĐ: x # 1) > x^2 + mx - m - 2 = 0 (1) Delta = m^2 + 4m + 8 (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x_A; x_B # 1. > Delta > 0 và 1^2 + m.1 - m - 2 # 0 (luôn đúng) Theo hệ thức Viete, ta có: x_A + x_B = -m và x_A.x_B = -m - 2 Ta có: AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt(2(x_B - x_A)^2) Mà AB = sqrt(10) > 2(x_B - x_A)^2 = 10 (x_B - x_A)^2 = 5 (x_B + x_A)^2 - 4x_A.x_B = 5 (-m)^2 - 4(-m - 2) = 5 m = 1 hoặc m = 3 Câu 3 (hệ): ĐKXĐ: x + 2y - 2 >= 0; x - 2y + 6 >= 0 Ở phương trình đầu, ta biến đổi được: sqrt(9x^2 + 1) + 3x = sqrt(9y^2 + 1) + 3y Xét f(t) = sqrt(t^2 + 1) + t Do f’(t) > 0 —> f(t) đồng biến.
3. —> 3x = 3y x = y Thế x = y vào phương trình dưới, ta được: 3sqrt(3x - 2) + x.sqrt(6 - x) = 10 (2/3 <= x <= 6) Tới đây dùng liên hợp và dễ dàng tìm được nghiệm x = 2 (thoả) Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2).
4. Câu 7) Trước tiên,ta chứng minh n chẵn. Giả sử n lẻ thì ta cũng có a,b lẻ > n=a^2+b^2 chẵn (Mâu thuẫn). Vậy, n chẵn > a=2 nên n=4+b^2. Vì 2|n, 2|4 nên 2|b^2 > 4|b^2. Đặt b=2k thì ta có n=4.(1+k^2) ( với k là số nguyên dương ) Vì b là ước của n nên 2k|4(1+k^2) k|2.(1+k^2). Mà (k,1+k^2)=1 nên k=1 hoặc k|2 > k=1 hoặc k=2. Suy ra n=8=2^2+2^2 hoặc n=20=2^2+4^2.