Đề thi chọn học sinh giỏi - Năm học: 2018 - 2019 - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi - Năm học: 2018 - 2019 - Môn: Toán 8

1. UBND HUYỆN KIM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học : 2018-2019 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(1.5 điểm): Thực hiện phép tính a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2 1 4x c) 2x 1 : 2 1 2x 2x 1 Câu 2(1.5 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x3 – 9x b) 4x2 – 3x – 1 c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a) Câu 3. ( 1.5 điểm): a) Chứng minh rằng: Nếu a N, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số b) Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 a2 4a 4 Câu 4(1.5 điểm): Cho A = a3 2a 4a 8 a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên a để A là số nguyên Câu 5(3.25 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh Câu 6(0.75 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, µA 450 ; Bµ 600 và chiều cao của hình thang bằng 18m HẾT
2. UBND HUYỆN KIM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm a/ = 188 – (188 – 1) 0.25 = 188 – 188 + 1 = 1 0.25 2 b/ = 2x 1 x 1 0.25 0.25 = (3x)2 = 9x2 1 1 4x 4x2 1 1 4x 2 4x 0.25 c/ = 2x 1 : 2 : 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4x2 2 = : 2x2 0.25 2x 1 2x 1 a/ = x(x2 - 9) 0.25 = x(x + 3)(x -3) 0.25 b/ = 4x2 + 4x – x – 1 = (4x2 + 4x) – (x + 1) 0.25 = 4x(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(4x - 1) 0.25 2 2 2 2 2 c/ = ab( a - b) + b c – bc + ac – a c = ab( a-b) + ( b2c – a2c) + (ac2 – bc2) = ab( a - b) + c( b2- a2) + c2(a - b) 0.25 2 = ( a - b) ab ac bc c a b a b c c b c 0.25 = (a - b)( b - c)( a - c) a/Đặt a2+ a + 1 = x (1) A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) 0.25 Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) 2 2 3 = (a + 2a – a - 2)(a + a + 5) 0.25 = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy Aa 1; Aa 2; Aa2 a 5 0.25 Vậy A là hợp số 0.25 b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2 0.25 mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2 nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2) = 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2 0.25 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP 4 a 2 2 a/ A = 0.25 a3 2a2 4a2 8a 4a 8 2 2 a 2 a 2 1 0.5 = a 2 a2 4a 4 a 2 a 2 2 a 2 1 b/ Để A Z Z nên a – 2 là ước của 0.25 a 2 Với a – 2 = 1 thì a = 3
3. Với a – 2 = - 1 thì a = 1. 0.5 Vậy a 1;1 thì A là số nguyên 5 a/ CM được BHA PEA (g.c.g) 0.5 AB = AP mà B· AP 900 (gt) A E 0.25 Vậy BPA vuông cân 0.25 b/Ta có : HA = HK P B I C H nằm trên đường trung trực của AK H K 0.25 Ta có : AE = KE Q E nằm trên đường trung trực của KA 0.25 PBK vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP) IK IP IB (*) Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( BPA vuông cân tại A) APQB là hình thoi, mà B· AP 900 (gt) 0.5 APQB là hình vuông nên PI = IA( ). 0.25 Từ (*) và( ) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của AK 0.25 Vậy H, I, E thẳng hàng. c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ 0.25 PB AQ mà IK = IK 2 2 AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv) 0.5 AQ Mà IK (cmt) AKQ vuông ở K 2 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hv) QK // HE Vậy HEKQ là hình thang 6 Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD. Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m ·A' AB 900 , D· AB 450 ·A' AD 450 D C Do đó V A’AD vuông cân A' B' A’D = A’A = 18m · 0 · 0 · 0 B ' BA 90 ,CBA 60 B ' BC 30 A B 0.25 vì thế trong tam giác vuông B’BC BC ta có B’C = . Theo định lí Pi ta go, ta có: 2 0.25 B’C2 = BC2 – B’B2 B’C2 = 4B’C2 – B’B2 3B’C2 = B’B2 B ' B 18 B’C = (cm) 3 3 0.25 Suy ra : 18 18 CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 24 (cm) 3 3 1 1 18 2 Vậy SABCD = AB CD .A' A 42 24 18 498,6 (cm ) 2 2 3 HẾT