Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Lai Vung (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Lai Vung (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN LAI VUNG NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/06/2016 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi có 02 trang, gồm 6 câu) Câu 1 (3,0 điểm) a) Cho biểu thức A = n( n 5) ( n 3)( n 2) (với n là số tự nhiên). Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n. b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh biểu thức B 4 xxyxyzxz yz2 2 là một số chính phương. Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho biểu thức P 4 x2 4 x 5. Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của x. x 3 b) Giải bất phương trình: 2 x 2 Câu 3 (3,0 điểm) x 3 . x 4 a) Rút gọn biểu thức N với 3 x 4 x2 7 x 12 b) Cho x, y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện x2 9 y 2 4 xy 2 xy x 3 . x2 25 y 2 Tính giá trị của biểu thức N : . x3 10 x 2 25 x y 2 y 2 Câu 4 (4,0 điểm) a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ B trở về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h. b) Cho a, b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ 2 2 1 1 nhất của biểu thức M 1 1 a b
2. Câu 5 (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân? AB 5 b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng , đường cao AC 6 AH=30cm. Tính HB, HC. Câu 6 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a) Chứng minh rằng CM. DN a2 0 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 90 . c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ? HẾT Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 – 2016 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang MÔN: TOÁN I. HƯỚNG DẪN CHUNG: 1. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó. 2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. 3. Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: Câu Nội dung Điểm a) Cho biểu thức A = n( n 5) ( n 3)( n 2) (với n là số tự nhiên). Chứng 1,0 minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n. A n2 5 n n 2 n 6 0,5 6n 6 6 ( với mọi n N ) 0,5 b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh 2 2 2,0 1 B 4 xxyxyzxz yz là một số chính phương. B 4 x2 xy xz x 2 xy xz yz y 2 z 2 . Đặt a x2 xy xz 0,5 B 4 a a yz y2 z 2 4 a 2 4 ayz y 2 z 2 0,5 B 2 a yz 2 0,5 2 Vậy B 2 x2 2 xy 2 xz yz là số chính phương 0,5 a) Cho biểu thức P 4 x2 4 x 5 . Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của x. 1,0 P 4 x2 4 x 5 4 x 2 4 x 1 4 0,5 P 2 x 1 2 4 0 với mọi giá trị của x. 0,5 x 3 b) Giải bất phương trình: 2 2,0 x 2 x 3 x 3 2 2 0 0,5 2 x 2 x 2 x 3 2 x 4 x 7 0 0 0,5 x 2 x 2 x 7 0 x 7 TH1: (loại) 0,5 x 2 0 x 2 x 7 0 x 7 TH2: 7 x 2 x 2 0 x 2 0,5 Vậy tập nghiệm của bpt: S x R  7 x 2
4. Câu Nội dung Điểm x 3 . x 4 a) Rút gọn biểu thức N với 3 x 4 1,5 x2 7 x 12 Vì 3 x 4 nên x 3 x 3; x 4 4 x 0,5 x 3 4 x N 0,5 x2 7 x 12 x 3 4 x 1 0,5 x 3 x 4 b) Cho x, y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện x2 9 y 2 4 xy 2 xy x 3 . x2 - 25 y - 2 1,5 3 Tính giá trị của biểu thức N : . x3-10 x 2 25 x y 2 - y - 2 x 5 x 5 y 1 y 2 x 5 y 1 N 2  0,5 x x 5 y 2 x x 5 x2 9 y 2 4 xy 2 xy x 3 x 3 y 2 x 3 0 x 3 y 0 x 3 0,5 x 3 0 y 1 8 N 0,5 3 a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ B trở về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết 2,0 rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h. - Gọi quãng đường nằm ngang CD là x (0 < x < 30; km) 0,5 Thì tổng quãng đường lên dốc và xuống dốc AC + DB là: 30 – x 0,5 - Kể cả lúc đi và lúc về thì: 0,25 + Quãng đường nằm ngang dài: 2x 0,25 + Quãng đường lên dốc dài: 30 – x 0,25 + Quãng đường xuống dốc dài: 30 – x 2x 30 x 30 x 5 - Lập được phương trình: 4 0,5 15 10 20 12 - Giải phương trình tìm được: x 5 0,5 4 - Trả lời: Quãng đường nằm ngang dài 5 km. 0,25 b) Cho a, b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ 2 2 1 1 2,0 nhất của biểu thức M 1 1 a b 2 2 a b a b M 1 1 0,5 a b 2 2 b a a2 b 2 a b M 2 2 8 2 2 4 0,5 a b b a b a a2 b 2 a b Vì 2; 2 nên MM 8 2 4.2 18 b2 a 2 b a 0,5 1 Vậy GTNN của M = 18 a b 0,5 2
5. Câu Nội dung Điểm a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang 2,0 cân? A DE B C H M Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC DE// HM . Do đó tứ giác DEMH là hình thang. 0,5 Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên: AC 0,5 HE 1 2 DM là đường trung bình của tam giác ABC nên: AC 0,5 DM 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE. 5 Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang 0,5 cân. (đpcm) AB 5 b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng , đường cao AH = AC 6 2,0 30cm. Tính HB, HC. A B H C AB AH Chứng minh: ABH CAH AC CH 0,5 5 30 CH 36 cm 6 CH 0,5 AH BH Từ ABH CAH BH. HC AH 2 HC AH 0,5 AH 230 2 BH 25 cm 0,5 CH 36
6. Câu Nội dung Điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng 3,0 CD theo thứ tự ở M, N. K A B F E a N D C M a) Chứng minh rằng CM. DN a2 . 1,0 - Ta có : AB // MN CM CE AF BA 6 0,5 BA BE FD DN CM.DN = AB2 = a2 0,5 0 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 90 . 1,0 CM AB CM DA - Ở câu a ta có nên 0,25 AB DN CB DN - Do đó CMB đồng dạng DAN (c.g.c) nên CMB = DAN 0,5 0 0 Suy ra CMB + DNA = 90 .Vậy MKN = 90 0,25 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? 1,0 - Độ dài MN nhỏ nhất CM + DN nhỏ nhất. 0,25 mà CM.DN = a2 là không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất CM = DN 0,25 - Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi 0,5 và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Hết