Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 6; 7; 8 cấp huyện - Môn: Toán 6

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 6; 7; 8 cấp huyện - Môn: Toán 6

1. PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8 CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 1 23 a) Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 6 6 6 3 3 3 6 3 304304304 b) Thực hiện phép tính: A = 2016. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 6 945945945 7 289 85 13 169 91 Câu 2, (2,5 điểm) a)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b)Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c) Tìm tất cả các số M =62xy427 , biết rằng số M chia hết cho 99. Câu 3. (2,0 điểm) 12n 1 a) Chứng minh rằng phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n: . 30n 2 b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015. Câu 4. (2,0 điểm) a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia BA lấy O (O khác B). So sánh độ dài đoạn thẳng OM và trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA và OB. b) Cho 10 đường thẳng đồng quy tại O. Hỏi có bao nhiêu góc ở đỉnh O được tạo thành (không kể góc bẹt) ? Câu 5. (1,5 điểm) 1 1 1 3 4 a) Cho tổng :S . Chứng minh rằng : S 31 32 60 5 5 b) Tìm 2 số tự nhiên A và B biết rằng A có n ước số tự nhiên là a 1, a2, , an và B có m ước số tự nhiên là b1, b2, , bm thỏa mãn : 2 2 2 2 2 2 a1 .a2 an = 729 và b1 .b2 bm =1296. Hết Chú ý : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
2. PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 6 Câu Phần Nội dung Điểm a 1 1 1 23 Theo đề bài ( + + . . . + ).x = 1đ 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 Câu 1 1 1 1 1 1 1 23 ( ).x = 0,5 (2 điểm) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 1 1 23 .( ) .x = 2 2 90 45 23 x = 0,5 11 Vậy không có giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán. b 6 6 6 3 3 3 6 3 1đ 304304304 Ta có: . A 2016. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 6 945945945 7 289 85 13 169 91 1 1 1 1 1 1 6 1 3 1 7 289 85 13 169 91 304.1001001 2016. : . 0,5 1 1 1 1 1 1 945.1001001 4 1 6 1 7 289 85 13 169 91 6 3 304 2016. : . 4 6 945 0,25 3 2 304 9728 = 2016. . . 2 1 945 5 0,25 Ta có 2x+1; y-5 là ước của 12 Câu 2 a 12= 1.12=2.6=3.4 0,25 ( 2,5 điểm ) 0,75đ do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 0,25 Vậy (x,y) = (0,17); (1,9) 0,25 b Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 0,25 0,75đ Để 4n-5 chia hết cho 2n - 1 => 3 chia hết cho 2n - 1 *) 2n - 1=1 => n =1 0,25 *) 2n – 1 = 3 => n = 2 0,25 *) 2n-1=-1=> n=0 *) 2n-1=-3 (loại)
3. vậy n = 0; 1 ; 2 c Ta có 99=11.9 1đ M chia hết cho 99 => M chia hết cho 11và M chia hết cho 99 +) M chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 0,25 (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 +) M chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> 0,25 (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 y-x=2 và x + y = 6 => y = 4; x = 2 0,25 y-x = 2 và x + y = 15 (loại) vậy B = 6224427 0,25 Câu 3 a Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2 (2 điểm) 1đ 2 30n 2 5 12n 1 1d d 1 0,5 Vậy phân số 1tối2n giản 1 với mọi số tự nhiên n 30n 2 0,5 b Xét 2016 số : 2;22;222; ;222 2 số cuối cùng có 2016 chữ 0.25 1đ số 2. Các số này khi chia cho 2015 ta được 2016 số dư. Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2015 chỉ có thể có số dư là :0;1;2; ;2014 có 2015 khả năng dư. Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong các số trên 0.25 có cùng số dư khi chia cho 2015. Hiệu của chúng có dạng 222 2000 0 chia hết cho 2015. 0.5 Câu 4 a A M B O (2 điểm ) 1đ M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M nằm giữa A và B ; MA=MB (1) 0,25 Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối nhau do đó B nằm giữa O và M suy ra OM=OB+BM (2). 0,25 Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng nhau suy ta hai tia MA, MO đối nhau do đó M nằm giữa A và O. Vậy 0,25 OM+MA=OA OM=OA-MA (3). 0,25 Từ (1), (2) và (3) suy ra 2OM=OA+OB hay OM= OA OB 2
4. 10 đường thẳng đồng quy tại O có 20 tia gốc O. Chọn ra b một tia, tia đó tạo với mỗi tia trong 19 tia còn lại thành 1 góc. 1đ Làm như thế với 20 tia ta có 20.19 =380 góc, trong đó mỗi góc đã được tính hai lần. 0,5 Do đó số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc. Số góc tạo thành khác góc bẹt là: 190-10 = 180 góc. 0,5 Câu 5 Ta có : ( 1,5 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 30 30 30 40 40 40 50 50 50 10 10 10 47 48 4 0,25 hay S từc là: S Vậy S (1) 30 40 50 60 60 5 Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 S 40 40 40 50 50 50 60 60 60 10 10 10 37 36 3 S tức là : S Vậy S (2). 40 50 60 60 60 5 0,25 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm. 2 2 2 Từ a1 a2 an = 729 suy ra a1a2 an =27 . Giả sử a1< a2 < < an Khi đó an =A và an a1, an a2, , an an-1 Mặt khác a1a2 an =27 =1.3.9 nên an=9 Từ đó A=9 2 2 2 0,5 Lại có b1 b2 bm =1296, suy ra b1b2 bm=36. Giả sử b1< b2 < < bm Khi đó bm =B và bm b1, bm b2, , bm bm-1 Vì b1b2 bm=36=1.2.3.6 nên bm=6 hay B=6. 0,25 Vậy A=9; B=6 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.