Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Yên Dũng - Môn: Toán học lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Yên Dũng - Môn: Toán học lớp 8

1. UBND HUYỆN YấN DŨNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014-2015 Mụn: TOÁN LỚP 8 x 2 2x x2 4x 6 x2 1 Cõu 1. (4 điểm) Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 2 x x x 2 2x 4x 1) Rỳt gọn A 2) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A. Cõu 2. (5 điểm) 1) Tỡm cỏc số nguyờn x; y thỏa món: x2 y2 12x 8y 15 0 2) Chứng minh: Tổng lập phương của ba số nguyờn dương liờn tiếp chia hết cho 9. 3) Tỡm đa thức H x cú bậc 3 thỏa món: H 1 H 2 H 3 0 và với mọi x luụn cú H x x. f x 24 , trong đú f x là đa thức bậc 2. Cõu 3. (4 điểm) 1) Giải phương trỡnh: 3x 5 3 x 6 3 4x 11 3 0 2) Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh: Quóng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 80km. Lỳc 7 giờ 10 3 phỳt một xe mỏy đi từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động. Đi được 4 quóng đường xe bị hỏng phải dừng lại 32 phỳt để sửa, rồi đi tiếp với vận tốc kộm vận tốc lỳc đầu 5km / h.Biết xe mỏy đến huyện Sơn Động lỳc 10 giờ 30 phỳt cựng ngày. Hỏi xe mỏy bị hỏng lỳc mấy giờ ? Cõu 4. (6 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường cao AM ,BN,CP cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng: AMC : BNC và Cã AB Nã MC b) Chứng minh rằng: Tia MA là tia phõn giỏc của Nã MP c) Gọi I là giao điểm của BN và MP.Chứng minh HN.BI HI.BN Cõu 5. (1 điểm) 1 1 1 1 1 Cho A với n Ơ * n 1 n 2 2n 1 2n 2 3n 1 Chứng minh rằng A 1
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. x 2 2x x2 4x 6 x2 1 1) A 2 : 2 x 1 2 x x x 2 2x 4x ĐKXĐ: x 1; x 0; x 2 x 2 2x x2 4x 6 x2 1 A : 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 4x 4x A x2 1 2 4x 2x2 2 2x2 4x 2 2 x 1 2) A 2 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 2 x 1 2 Mà 0 2 2 hay A 2 x2 1 x2 1 x 1 2 Dấu bằng xảy ra khi 0 x 1 x2 1 Vậy GTLN của biểu thức A là 2, đạt được khi x 1 Cõu 2. 1) Học sinh biến đổi về phương trỡnh x y 10 x y 2 5 Do x, y nguyờn nờn x y 10; x y 2 nguyờn Mà 5 5.1 1.5 1. 5 5. 1 Tỡm được x; y 3; 6 ; 9; 2 ; 3; 2 ; 9; 6  2) Gọi ba số là a,a 1 và a 2 (a nguyờn dương) Ta cú: a3 a 1 3 a 2 3 3a3 15a 9a2 9 Xột 3a3 15a 3a a2 5 Nếu a3 thỡ 3a2 15a9 khi đú a3 a 1 3 a 2 39 (1) Nếu a khụng chia hết cho 3 thỡ a2 chia 3 dư 1 a2 53 3a2 15a9khi đú a3 a 1 3 a 2 39 (2) Từ (1) và (2) suy ra a3 a 1 3 a 2 39 với mọi a nguyờn dương. 3) Do đa thức H (x) cú bậc là 3 thỏa món : H 1 H 2 H 3 0 Nờn H x a x 1 x 2 x 3 H 0 6a
3. Lại cú H x x. f x 24 đỳng với mọi x Chọn x 0 ta cú: H 0 24 Nờn 6a 24 a 4 Vậy H x 4. x 1 x 2 x 3 Cõu 3. 1)Học sinh chứng minh được: Nếu a b c 0 thỡ a3 b3 c3 abc (*) 3x 5 3 x 6 3 4x 11 3 0 3x 5 3 x 6 3 11 4x 3 0 5 x 3 3x 5 x 5 11 4x 0 theo (*) x 6 11 x 4 3 2) Gọi vận tốc xe mỏy đi trong quóng đường đầu là x km / h (x 5) 4 1 vận tốc xe mỏy đi trong quóng đường cuối là x 5(km / h) 4 3 Ta cú quóng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 60km 4 Thời gian xe mỏy đi đến huyện Sơn Động (kể cả thời gian dừng là) 10 10 giờ 30 phỳt – 7 giờ 10 phỳt = 3 giờ 20 phỳt = h 3 60 20 32 10 Theo bài ra ta cú phương trỡnh: x x 5 60 3 x 30 (tm) 25 x (ktm) 7 Thời gian xe mỏy đi đến lỳc hỏng xe là : 60:30 2h Vậy xe mỏy bị hỏng lỳc 9giờ 10 phỳt
4. Cõu 4. A N P H I B M C ả à 0 a) Xột AMC và BNC cú: gúc C chung; M N 90 CM CA AMC : BNC CN CB CM CA Xột ABC và MNC cú: ;Cà chung CN CB ABC : MNC c.g.c Cã AB Nã MC b) Ta cú: Cã AB Nã MC Chứng minh tương tự: Cã AB Nã MC Chỉ ra được: ãAMC ãAMB 900 ãAMN ãAMP Tia MA là tia phõn giỏc của Nã MP c) Ta cú: MH là đường phõn giỏc trong của tam giỏc MNI Mà MB  MH nờn MB là đường phõn giỏc ngoài của tam giỏc MNI MN HN BN (tớnh chất đường phõn giỏc trong, ngoài tam giỏc) MI HI BI HN.BI HI.BN(dfcm)
5. Cõu 5. 1 1 4 Ta cú: với mọi a,b 0 . Dấu bằng xảy ra khi a b a b a b 1 1 1 1 1 A n 1 n 2 2n 1 2n 2 3n 1 Ta cú A cú 2n 1hạng tử Áp dụng BĐT trờn với cỏc cặp số đụi một khỏc nhau ta cú: 1 1 2 n 1 3n 1 2n 1 1 1 2 n 2 3n 2n 1 Cộng cỏc bất đẳng thức cựng chiều ta được: 2 2A 2n 1 A 1(dfcm) 2n 1