›
›
›

Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

doc 59 trang hoaithuong97 6300
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_on_tap_mon_toan_8_chuyen_de_7_gia_tri_lon_nhat_nho_nhat.doc

Nội dung text: Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

  1. ĐS8-Chuyên đề 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Qua Các Đề Thi HSG Môn Toán Lớp 8 A. Bài toán Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Bài 2: a) Tìm GTLN : x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 3 x 1 b) Tìm GTLN : x3 x2 x 1 Bài 3: Cho a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của biểu thức A a a2 2b b b2 a Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 P a b c a b c Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 x 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu x2 1 x2 thức P 2 x2 1 x2 2 2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2012 x 2013 2015 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 14x2 8x 9 a) A 3x 1 x 2 4x 3 b) B 3x2 6x 9 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 3x 4 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A(x) x 1 x 3 x 4 x 6 10 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x 1 Bài 15:
  2. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 19: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M 1 24 Bài 20: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 x y Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 23: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 2010x 2680 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 x2 x 1 Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006
  3. 2010x 2680 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết: A x 1 4 x 3 4 6 x 1 2 . x 3 2 Bài 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16x 4y z Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 3x2 6x 10 Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x2 2x 3 Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. 3x2 2x 3 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C . x2 1 Bài 36. Cho a b 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 x2 8x 7 Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 1 Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 4 x2 2x Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z 1 1 Bài 41: Cho a 0; b 0 và a2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a2 b2 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x3 3x2 2x 1
  4. Bài 44: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Bài 45: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P 16x 4y z 2 2 Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 x 2013 Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 48: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M 1 24 Bài 49: Cho x,y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 x y Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Bài 51: Cho a,b,c 0;1 và a b c 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 2010x 2680 Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 54: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 – 8x 1. Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x2 + 4x + 5 x2 2x 3 Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:
  5. 1 x2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 6 x2 2x 1 Bài 60: : a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Bài 61: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 x3 2000 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) C , x 0 x 3 2018x2 x Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . 8 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Bài 64: a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 2 2 Bài 65: a) Tìm GTNN của Abiết x y x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 2 Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. 1 24 Bài 67: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 GTLN x y Bài 68: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Bài 69: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a2 b2 2 a3 b3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2016a 2017b 2017a 2016b Bài 70: Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:x4 y4 z4 biết x y z 2
  6. Bài 71: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 2010x 2680 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x y z Bài 75: Cho x, y, z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P y z z x x y x2 2x 3 Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 2 1 x x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x 2 2 x 6 x 2 2x 1 Bài 78: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Bài 79: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 x3 2000 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) C , x 0 x 3 2018x2 x Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 3 Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Bài 82: a) Tìm GTNN của Abiết x2 y2 x y 4 2 b) Tìm GTNN của B x4 3 x c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Bài 83: : a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023
  7. 2 Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. 1 1 Bài 85: Cho a 0;b 0 và a2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a 2 b 2 Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2010x 2680 Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0 4x 3 b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = x2 1 Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x2 3 x2 1 9 . 2012 Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 20(x y) 2213 3 Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = a2 + b2 + c2 Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Bài 97: a) Cho a1,a2 , ,a2m ,m N * thoả mãn a1 a2 a2m . Tìm GTNN của biểu thức A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m . b) Cho a1,a2 , ,a2m 1,m N,m 2 thoả mãn a1 a2 a2m 1 . Tìm GTNN của biểu thức B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 .
  8. Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.Q m n mn 1 3 4x Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 Bài 100: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z Bài 101: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z 2 Bài 102: Cho hai số x,y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Bài 104: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P . 16x 4y z 1 1 1 Bài 105: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: 2. Tìm giá trị lớn nhất của 1 a 1 b 1 c biểu thức Q abc. Bài 106: Cho 6a 5b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 25b2 Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 y2 xy x y 1 Bài 108: Cho a,b 0 và a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 M 1 1 a b Bài 109: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  9. A x 2 x 5 x2 7x 10 B.Lời giải Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Lời giải a)A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 2016 2016 x 0 2 Dấu " " xảy ra 2x 3x 0 x 2x 3 0 3 x 2 x 0 Vậy Amin 2016 3 x 2 Bài 2: a) Tìm GTLN : x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 3 x 1 b) Tìm GTLN : x3 x2 x 1 Lời giải a) P= x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 P x2 5y2 2xy 4x 8y 2015 P x2 2xy y2 4 x y 4 4y2 4y 1 2010 Bài 1. x y 2 4(x y) 4 2y 1 2 2010 x y 2 2 2y 1 2 2010 2010 3 1 Suy ra MinP 2010 x ; y 2 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) Q x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 Q đạt GTLN x2 1đạt GTNN mà x2 1 1
  10. GTLN của C là 3 x 0 Bài 3: Cho a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của biểu thức A a a2 2b b b2 a Lời giải 1 1 Do: avới b 1 a x,b y x y 0 2 2 Ta có: A a a2 2b b b2 a a3 b3 ab a2 b2 2 2 1 1 1 2 2 1 x y x y 2 2 2 2 1 1 GTNN A x y 0 a b 2 2 Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 P a b c a b c Lời giải a a b b c c a b a c b c P 1 1 1 3 b c a c a b b a c a c b P 3 2 2 2 9 Vậy Pmin 9 a b c Bài 5: Cho số thực xthỏa mãn điều kiện 0 x 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu x2 1 x2 thức P 2 x2 1 x2 Lời giải Đặt x2 a,0 a 1.Biểu thức đã cho trở thành: a 1 a a 1 a 2 2 P 1 1 2 2 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 3 3 2 1 2 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 *) Vì 0 a 1. P 2 1 1 2
  11. a 0 x 0 Đẳng thức xảy ra khi . a 1 x 1 x 0 Vậy MinP 1 x 1 *) 0 a 1 nên a và 1 a là hai số không âm a 1 a 1 3 2 Áp dụng BĐT Cô si ta có: a 1 a P 2 1 1 4 4 2 3 4 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a a hay x2 x 2 2 2 2 1 Vậy MaxP x 3 2 2 2 Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 x 2013 Lời giải Ta có: P x 2012 2 x 2013 2 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 2 2 1 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 2 1 Vậy MinP 8100312,5 x 2 2015 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Lời giải - Xét x 3 x 3 0 B 0 - Xét x 3 thì do x ¢ nên x 0;1;2 + Khi x 0 B 403 + Khi x 1 x 1 B 503,75 + Khi x 2 x 2 B 2015 Vậy min B 2015 x 2 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
  12. 14x2 8x 9 a) A 3x 1 x 2 4x 3 b) B 3x2 6x 9 Lời giải a) Áp dụng tính chất a a,dấu " " xảy ra a 0, ta có: A 3x 1 x 2 4x 3 3x 1 x 2 4x 3 6 A 6 1 1 Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và x 2 0 x và x 2 x 3 3 1 Vậy min A 6 x 3 2 14x2 8x 9 2 b) Ta có B 3 3x2 6x 9 3 14x2 8x 9 2 x2 2x 3 3 x2 2x 3 2 12x2 12x 3 2x 1 3 x2 2x 3 x 1 2 2 2 2 Với mọi x, ta có: 3 2x 1 0, x 1 2 2 0 2 2x 1 2 2 1 0 B 0 B x x 1 2 2 3 3 2 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 3x 4 Lời giải 2 2 3 7 7 Ta có: A x 3x 4 x 2 4 4 2 7 49 3 A . Dấu bằng xảy ra x 4 16 2 49 3 Vậy min A x 16 2 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A(x) x 1 x 3 x 4 x 6 10 Lời giải
  13. 2 2 A x x 7x 6 x 7x 12 10 2 Đặt 2 2 x 7x 6 t A t t t 6 10 t 6t 9 1 t 3 1 1 7 13 x 2 2 Khi đó: t 3 x 7x 6 3 7 13 x 2 7 13 x 2 Vậy MinA x 1 7 13 x 2 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 Lời giải A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2015 y2 4xy 2y 13x2 16x 2015 y2 2y 2x 1 2x 1 2 9x2 12x 2015 y 2x 1 2 3x 2 2 2010 2 1 Chứng tỏ A 2010.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x ; y 3 3 2 x 3 Vậy min A 2010 1 y 3 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của Lời giải 2 27 12x x2 9 x2 12x 36 x 6 Ta có: B 1 1 x2 9 x2 9 x2 9 MinB 1 x 6 2 27 12x 4x2 36 4x2 12x 9 2x 3 Ta có: B 4 4 x2 9 x2 9 x2 9
  14. 3 MaxB 4 x 2 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 Lời giải Biến đổi để có: A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 a2 2 a2 2a 1 3 a2 2 a 1 2 3 2 2 Vì a2 2 0a và a 1 0a nên a2 2 a 1 0a 2 Do đó: a2 2 a 1 3 3 a Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x 1 Lời giải E 2x2 8x 1 2x2 8x 8 7 2 x 2 2 7 7 x Vậy giá trị nhỏ nhất của E 7 x 2 Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 2 2 Do x y 0; y 2 0 2 2 Nên A x y y 2 1 1 Dấu " " xảy ra 1 x y 2
  15. Vậy GTNN của A là 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1 nên B 3.Dấu " " xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 Lời giải Ta có: A 2 x2 2xy y2 y2 8x 2y 18 A 2 x y 2 4 x y 4 y2 6y 9 1 A 2 x y 2 2 y 3 2 1 1 x 5 Vậy min A 1 y 3 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 Lời giải 2 Ta có M 4x2 4x 5 4x2 4x 1 4 2x 1 4 2 2 Vì 2x 1 0 2x 1 4 4 M 4 1 Vậy Min 4 x M 2 Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x2 y2 2xy 8x 2028 Lời giải B 2x2 y2 2xy 8x 2028 x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 x y 2 x 4 2 2012 2012 x y 0 x 4 Đẳng thức xảy ra x 4 0 y 4
  16. x 4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2012 y 4 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 19: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải a) x 4 2 x 2 1 x 2 3 M x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 2 3 x 4 2 x 2 1 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x 4 2 x 4 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 2 2 x 4 x 2 x . x 1 x 2 x 2 1 x 4 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1 x2 Vậy M với mọi x x4 x2 1 x2 b) Ta có : M với mọi x x4 x2 1 - Nếu x 0 ta có M 0 1 - Nếu x 0 , chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có: M 1 x2 1 x2 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: x 2 1 x 2.x. 2 1 x 1 1 x x x x 1 Nên ta có: M 1 . Dấu " " xảy ra khi x 1. 1 x2 x2 1 Vậy M lớn nhất là M 1 khi x 1 1 24 Bài 20: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 x y Lời giải
  17. 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " " xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1, y 2 Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3 Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018
  18. Vậy Pmin 2018 x y 2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 23: Cho biểu thức P 2 : x 2x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x2 x x 1 x 1 : : x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2 . x 1 2 x 1 x 1 b) x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 1 Vì x 1 nên x 1 0. Áp dụng BĐT Cosi ta có: x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 1 2 Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 1 x 1 1 x 2(TM ) x 1 Vậy GTNN của P là 4 x 2 2010x 2680 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 Ta có: A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3
  19. Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 Lời giải A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 2016 2016 x 0 2 Dấu " " xảy ra 2x 3x 0 x 2x 3 0 3 x 2 x 0 Vậy Amin 2016 3 x 2 x2 x 1 Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Lời giải 2 2 2 2 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 3 x x 1 2x2 4x 2 2 x 1 3 3 3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Vậy MaxA 3 x 1 Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Lời giải 2 2 a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 2 2 Do x y 0; y 2 0 2 2 Nên A x y y 2 1 1 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MinA 1 x y 2 3(x 1) 3 x 1 3 b) B x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1
  20. B Do x2 1 1 3 . Đẳng thức xảy ra x 0 x2 1 Vậy MaxB 3 x 0 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Lời giải Ta có : P x 2006 x 2007 2006 x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007 Vậy min P 2007 2006 x 2007 2010x 2680 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x 2 1 2 335x 2 335 335x 2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x 2 1 x 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết: A x 1 4 x 3 4 6 x 1 2 . x 3 2 Lời giải Đặt a x 1,b 3 x ta có: a b 2 2 A a4 b4 6 ab 2 a2 b2 4a2b2 2 a b 2 2ab 4a2b2 4 2ab 2 4a2b2 8a2b2 16ab 16 8 ab 1 2 8 8 Dấu " " xảy ra a b 2 và ab 1 a b 1 x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 tại x 2 Bài 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16x 4y z Lời giải
  21. 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 Theo BĐT Cô si ta có: .Dấu " " xảy ra y 2x 16x 4y 4 z x 1 Tương tự: , dấu “=” xảy ra z 4x 16x z 2 z y 1, dấu " " xảy ra z 2y 4y z 49 1 2 4 P .Dấu " " xảy ra x ; y ; z 16 7 7 7 49 1 2 4 Vậy MinP khi với x ; y ; z 16 7 7 7 Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 Lời giải A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 x y 6 2 5 y 1 2 4 4 y 1 0 x 7 Giá trị nhỏ nhất A 4 khi x y 6 0 y 1 3x2 6x 10 Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x2 2x 3 Lời giải 3x2 6x 10 1 1 Ta có: B 3 3 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 2 2 1 1 7 Mà 3 3 x 1 2 2 2 2 7 Vậy giá trị lớn nhất của B là x 1 2 Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
  22. Lời giải Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3) 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3) Dấu đẳng thức xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Vậy P có GTLN nhất là 5 (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. 3x2 2x 3 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C . x2 1 Lời giải 3x2 2x 3 2(x2 1) (x2 2x 1) (x 1)2 C = =2 ≥ 2 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy min C = 2 x = 1 3x2 2x 3 4(x2 1) (x2 2x 1) (x 1)2 C = =4 ≤ 4 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy max C = 4 x = -1 Bài 36. Cho a b 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 Lời giải 2 a b 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab (với mọi a,b) a b 3 a b 2 9 a2 b2 2ab 9 2 a2 b2 9 a2 b2 4,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của a2 b2 4,5 x2 8x 7 Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 1 Lời giải 2 x2 8x 7 2x2 8x 8 x2 1 2 x 2 P 1 1 P 1 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 min 2 x2 8x 7 9x2 9 8x2 8x 2 2 2x 1 1 P 9 9 P 9 x x2 1 x2 1 x2 1 max 2
  23. Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 4 x2 2x Lời giải C 4 x2 2x 5 x2 2x 1 5 x 1 2 5 Vậy Cmax 5 x 1 Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,cdương, dấu bằng xảy ra a b c a b c a b 4 a b a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy MinP x y z 1 2 Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z Lời giải Vì x y z 1 nên:
  24. 1 1 1 1 1 1 M x y z 16x 4y z 16x 4y z 21 x y x z y z 16 4y 16x z 16x z 4y Ta có: 2 2 x y 16x2 4y2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1 x, y 0 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: ; 1 x, y 0 z 16x 2 z 4y 1 x 7 4x 2y z 21 1 1 49 2 Từ đó M 1 . Dấu " " xảy ra x y z 1 y 16 4 2 16 7 x, y, z 0 4 x 7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là x ; y ; z 16 7 7 7 1 1 Bài 41: Cho a 0; b 0 và a2 b2 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a2 b2 Lời giải 1 1 1 a2 b2 2ab; 2 a2 b2 ab 2 2 1 1 2 1 1 4 2 a b 2ab. 4 a2 b2 ab a2 b2 10 5 2 Vậy MinQ a b 5 5 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Lời giải A x 2 x 5 x2 7x 10 x2 7x 10 x2 7x 10 Đặt x2 7x t, ta có biểu thức: A t 10 t 10 t2 100 100
  25. Dấu " " xảy ra t 0 2 x 0 x 7x 0 x 7 x 0 Với thì A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 100 x 7 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x3 3x2 2x 1 Lời giải P x4 2x3 3x2 2x 1 x4 2x2 1 2x3 2x x2 2 2 x2 1 2x x2 1 x2 x2 x 1 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 3 9 Vì x x 1 x 2x. x P 2 4 4 2 4 4 4 16 1 Dấu " " xảy ra x 2 Bài 44: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu a b thức: S a 1 b 1 Lời giải Ta có: a2 1 2a; b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x,y thì x y x y 1 1 4 Do đó: S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a b 1 Bài 45: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P 16x 4y z Lời giải Ta có:
  26. 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z Theo 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 BĐT cô si ta có: .Dấu “=” xảy ra y 2x 16x 4y 4 z x 1 Tương tự: , dấu “=” xảy ra z 4x 16x z 2 z y 1, dấu “=” xảy ra z 2y; 4y z 49 1 2 4 P . Dấu “=” xảy ra khi x ; y ; z 16 7 7 7 49 1 2 4 Vậy MinP x ; y ; z 16 7 7 7 2 2 Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2012 x 2013 Lời giải 2 2 P x 2012 x 2013 x2 4024x 4048144 x2 4026x 4052169 2 2 1 2x 2x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 2 1 Vậy MinP 8100312,5 x 2 Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015
  27. *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3 x4 2 x2 1 x2 3 Bài 48: Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải x4 2 x2 1 x2 3 a)M x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 3 x4 2 x2 1 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x4 2 x4 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 2 2 x4 x2 x . x 1 x2 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 Vậy M với mọi x x4 x2 1 x2 b) Ta có : M với mọi x x4 x2 1 - Nếu x 0 ta có M 0 1 - Nếu x 0 , chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có: M 1 x2 1 x2 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: x 1 x 2.x. 1 x 1 1 x2 x x2 x 1 Nên ta có: M 1 . Dấu " " xảy ra khi x 1. 1 x2 x2 1 Vậy M lớn nhất là M 1 khi x 1 1 24 Bài 49:Cho x,y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 x y Lời giải
  28. 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " " xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1 và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1,y 2 Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 2 2 x 2 y 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 51: Cho a,b,c 0;1 và a b c 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Lời giải Vì a,b,c 0;1 1 a 1 b 1 c 0 Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ac abc Vi a b c 2 1 ab bc ac abc 0 ab bc ac abc 1 1(Vi abc 0) 2 ab bc ac 2 Lại có: a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac P a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ac 4 2 ab bc ac 4 2 2 Vậy Pmax 2 a,b,c là hoán vị của 0;1;1 Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 Lời giải a) Ta có:
  29. A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 Do x y 2 0; y 2 2 0 Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu " "xảy ra x y 2 Vậy GTNN của A là 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 B) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1 nên B 3.Dấu " "xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 2010x 2680 Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Lời giải 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 54: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0 nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời giải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018
  30. Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 – 8x 1. Lời giải E 2x2 – 8x 1 2x2 – 8x 8 7 2 x2 – 4x 4 – 7 2 x – 2 2 – 7 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của E 7 khi x 2 Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M 4x2 4x 5 Lời giải Ta có : M 4x2 4x 5 2x 2 2.2x.1 1 4 2x 1 2 4 Vì 2x 1 2 0 2x 1 2 4 4 M 4 Vậy GTNN của M 4 x 0,5 x2 2x 3 Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Lời giải: HD: + Tìm GTLN: 2 2 2 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 Ta có: A 2 2 x2 2 x2 2 x2 2 Dấu “ =” x 1 2 0 x 1 Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tìm GTNN: 2 2 2 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1 Ta có: A x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2 Dấu “ =” x 2 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN(A) = x 2 2 Bài 59: Tìm giá trị của biến x để: 1 x2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 6 x2 2x 1 Lời giải: 1 a) P đạt giá trị lớn nhất. x2 2x 6 1 1 1 2 HD: Ta có: P ( Vì 1 > 0 và x 1 5 5 ) 2 2 x 2x 6 x 1 5 5 Dấu « = » x 1 2 0 x 1
  31. 1 Suy ra GTLN(P) = x 1 . 5 x2 x 1 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 1 HD: ĐKXĐ: x 1 2 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 Ta có: Q 1 2 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 3 3 Đặt t . Ta có: Q 1 t t t x 1 2 4 4 1 1 1 1 Dấu « = » t 0 t x 1 2 2 x 1 2 3 Suy ra GTNN(Q) = x 1 4 Bài 60 : a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Lời giải: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 2 Ta có: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 2 Đặt t x 4 0 , khi đó: A 2t t 2 t 1 1 1 x 3 Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 x 5 x 3 Suy ra GTLN A 1 x 5 9x 2 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 . 2 x x 9x 2 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 2  1 2 9 1 7 2 x x 2 x x 2 x x 9x 2 x 1 Dấu “ =” x 2 x x 2 1 Vậy, GTNN(B) =7 x . 2 a b Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số a,b không âm, ta có: ab . Dấu “=” a b 0 2 9x 2 9x 2 x * Cách biến đổi B : Ta viết B m. n. p . 2 x x 2 x x Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra m 1,n 1, p 1 . Bài 61: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 x3 2000 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) C , x 0 x 3 2018x2 x Lời giải:
  32. Tìm GTNN của: a) Ta có: 16 16 16 A x 2007 x 3 2010 2. x 3 2010 2.4 2010 2018 x 3 x 3 x 3 16 ( Vì x 3 nên x 3 0 , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương x 3 và ) x 3 16 Dấu « = » x 3 , x 3 x 7 x 3 Suy ra GTNN A 2018 x 7 . x2 2x 2018 b) B , x 0 2018x2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  2 2  2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018 2 1 1 2017 2017 2 2 x 2018 2018 2018 1 1 Dấu “=” 0 x 2018 ( thỏa x 0 ) x 2018 2017 Suy ra GTNN B x 2018 20182 x3 2000 c) C , x 0 x 2000 1000 1000 1000 1000 x2 x2 33 x2   3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=” x2 x 10 ( thỏa x 0 ) x Suy ra GTNN C 300 x 10 . Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 Từ 3x y 1 y 3x 1 , Khi đó, M 3x2 y2 3x2 3x 1 2 3x2 9x2 6x 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 12x 6x 1 12 x x 12 x 2.x 12 x 2 12 4 16 48 4 4 4 1 1 Dấu “=” x ; y 4 4 1 1 1 Suy ra GTNN M x ; y 4 4 4 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Từ 3x y 1 y 3x 1 ,
  33. 2 2 1 Khi đó, N xy x 3x 1 3x x 3 x x 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2.x 3 x 6 36 36 6 12 12 1 1 Dấu « = » x 0 x 6 6 1 1 Suy ra GTLN N x 12 6 Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . 8 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y b) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Lời giải: 8 3 8 3 a) Ta có : Q 2x 3y 7 x y x y 8 3 2 .2x 2 .3y 7 2.4 2.3 7 7 x y 2x 3y 7 8 2x x x 2 Dấu “=” 3 y 1 3y y x, y 0 Suy ra GTNN(Q) = 7 x 2, y 1 . b) Ta có:A x2 y2 xy x y 2A x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 A 1 Dấu “=” x y 1 Suy ra GTLN(A) = 1 x y 1 Bài 64: a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Lời giải: a) Ta có: A x3 y3 x y x2 xy y2 x2 xy y2 ( Vì x y 1 ) x2 x 1 x 1 x 2 ( Vì y 1 x ) 2 1 3 x x 3 2 1 1 1 3 x 2 4 4
  34. 1 Dấu “=” x y 2 1 1 Suy ra GTNN A x y . 4 4 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Ta có: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 4x2 4xy y2 y2 4y 4 x2 2x 1 2018 2x y 2 y 2 2 x 1 2 2018 2018 2x y 0 x 1 Dấu “=” y 2 0 y 2 x 1 0 Suy ra GTNN B 2018 x 1 và y 2 . 2 2 Bài 65: a) Tìm GTNN của Abiết x y x y 4 b) Tìm GTNN của B x4 3 x 2 c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x2 y2 biết x y 4 2 * Cách 1 : Ta có: x + y = 4 x2 + 2xy + y = 16 (1) 2 2 Ta lại có: (x y) 0 x2 - 2xy + y 0 (2) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x2 + 2y 16 x2 + y 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 8 x y 2 * Cách 2: Ta có : x y 4 y 4 x Suy ra A x2 y2 x2 4 x 2 2x2 8x 16 2 x 2 2 8 8 x 2 0 x 2 Dấu “=” y 4 x y 2 Vậy, GTNN A 8 x y 2 . b) Ta có : B x4 3 x 2 x4 2x2 1 3 x2 2x 1 5 2 x2 1 3 x 1 2 5 5 x2 1 0 Dấu “=” x 1 x 1 0 Suy ra GTNN (B ) = 5 x 1 c) Ta có: C x 1 x 3 x 5 x 7 x2 4x 5 x2 4x 21
  35. 5 21 Đặt t x2 4x 13 ( chú ý : 13 ) 2 Khi đó, C t 8 t 8 t 2 64 64 2 x 2 17 Dấu “=” t 0 x2 4x 13 0 x 2 17 x 2 17 x d) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt GTLN: D x với x 0 x 2019 2 *Cách 1: Đặt a 2019 2 2 2 2 2 x x a x a 4ax x a x a 1 x a 1 Khi đó D x x a 2 4a x a 2 4a x a 2 4a 4a x a 2 4a ( Vì a 0, x 0 ). Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 *Cách 2: Đặt a 2019 0 2 2 1 1 Ta có: x a 0 x a 4ax ( Vì a 0, x 0 nên 4ax 0 ) x a 2 4ax x x 1 Suy ra D x ( Vì a 0, x 0 ) x a 2 4ax 4a Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 2 Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Lời giải: 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Ta biết: A 2 A2 . Đặt: X 2x 3 , X 0 . 2 Khi đó biểu thức (*) viết thành: Q X 2 4X 7 X 2 3 3 . Dấu “=” xảy ra X 2 2x 3 2 2x 3 2 . 2x 3 2 5 *) 2x 3 2 2x 5 x . 2 1 *) 2x 3 2 2x 1 x . 2
  36. 1 x 2 Vậy minP 3 5 x 2 1 24 Bài 67: Cho x, y 0 thỏa mãn x 2y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H x2 2y2 GTLN x y Lời giải 1 24 Ta có: H x2 2y2 x y 2 2 1 24 x 2x 1 2y 8y 8 x 2 6y 24 x 2y 17 x y 2 2 2 2 x 1 6 y 2 x 1 2 y 2 x 2y 17 x y 0 0 0 0 5 17 22 2 2 2 2 x 1 6 y 2 Dấu " "xảy ra x 1 2 y 2 0 và x 2y 5 x y x 1và y 2.Vậy H nhỏ nhất là H 22 x 1, y 2 Bài 68: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Lời giải Ta có: a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y 1 1 4 Do đó: S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a b 1 Bài 69: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a2 b2 2 a3 b3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2016a 2017b 2017a 2016b Lời giải
  37. a3 a 2016a 2017b M 2 2016a 2017b 4033 2 2 b3 b 2017a 2016b 2016 a b 4034ab 2 2 2017a 2016b 4033 4033 2 2 2 2 a b 2 2 2016 a b 4034. 2 2 2a 2b a b 2 2 4033 4033 40332 4033 4033 2 M . Dấu " "xảy ra a b 1 4033 2 Vậy GTNN của M a b 1 4033 Bài 70: Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x4 y4 z4 biết x y z 2 Lời giải Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có: 2 2 x y z 4 x y z 2 3 x y z 2 2 9 x2 y2 z2 27 x4 y4 z4 16 16 27 x4 y4 z4 x4 y4 z4 27 16 2 Vậy GTNN của x4 y4 z4 là x y z 27 3 Bài 71: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải 2 P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0 nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5 Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 Lời giải L x4 4x3 7x2 12x 20 x4 4x3 4x2 3x2 12x 12 8 x2 x2 4x 4 3 x2 4x 4 8 x 2 2 x2 3 8 Do x 2 2 0(x); x2 3 0 x L 8 x Đẳng thức xảy ra x 2 2 0 x 2. Vậy với x 2 thì L có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của L là 8 2010x 2680 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Lời giải
  38. 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy GTNN của A là 335 khi x 3 Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 Lời giải B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3 x y z Bài 75: Cho x, y, z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P y z z x x y Lời giải a b c Đặt y z a; z x b; x y c x y z 2 a b c a b c a b c x ; y ; z 2 2 2 a b c a b c a b c P 2a 2b 2c 1 b c a c a b . 1 1 1 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 . 3 2 a b a c c b 2 3 MinP a b c x y z 2 x2 2x 3 Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A . x2 2 Lời giải + Tìm GTLN:
  39. 2 2 2 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 Ta có: A 2 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 Dấu “ =” x 1 0 x 1 Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tìm GTNN: 2 2 2 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1 Ta có: A x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2 2 Dấu “ =” x 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN(A) = x 2 2 Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 1 x 2 x 1 a) P đạt giá trị lớn nhất b) Q đạt giá trị nhỏ nhất x2 2x 6 x 2 2 x 1 Lời giải a) 1 1 1 2 Ta có: P ( Vì 1 > 0 và x 1 5 5 ) 2 2 x 2x 6 x 1 5 5 2 Dấu « = » x 1 0 x 1 1 Suy ra GTLN(P) = x 1 . 5 b) ĐKXĐ: x 1 2 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 Ta có: Q 1 2 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 3 3 Đặt t . Ta có: Q 1 t t t x 1 2 4 4 1 1 1 1 Dấu « = » t 0 t x 1 2 2 x 1 2 3 Suy ra GTNN(Q) = x 1 4 Bài 78: a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 9x 2 b) Tìm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 2 x x Lời giải
  40. a) Tìm GTLN của A x 4 2 x 4 2 Ta có: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 2 Đặt t x 4 0 , khi đó: A 2t t 2 t 1 1 1 x 3 Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 x 5 x 3 Suy ra GTLN A 1 x 5 9x 2 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 . 2 x x 9x 2 9x 2 x 9x 2 x Ta có: B 1 2  1 2 9 1 7 2 x x 2 x x 2 x x 9x 2 x 1 Dấu “ =” x 2 x x 2 1 Vậy, GTNN(B) =7 x . 2 Bài 79: Tìm GTNN của: 16 x2 2x 2018 x3 2000 a) A x 2007, x 3 ; b) B , x 0 ; c) C , x 0 x 3 2018x2 x Lời giải 16 16 16 a) Ta có: A x 2007 x 3 2010 2. x 3 2010 2.4 2010 2018 x 3 x 3 x 3 16 ( Vì x 3 nên x 3 0 , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương x 3 và ) x 3 16 Dấu « = » x 3 , x 3 x 7 x 3 Suy ra GTNN A 2018 x 7 . x2 2x 2018 b)Ta có B , x 0 2018x2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  2 2  2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018 2 1 1 2017 2017 2 2 x 2018 2018 2018 1 1 Dấu “=” 0 x 2018 ( thỏa x 0 ) x 2018
  41. 2017 Suy ra GTNN B x 2018 20182 x3 2000 c) C , x 0 x 2000 1000 1000 1000 1000 x2 x2 33 x2   3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=” x2 x 10 ( thỏa x 0 ) x Suy ra GTNN C 300 x 10 . Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x y 1 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 ; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Lời giải c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3x2 y2 Từ 3x y 1 y 3x 1 , 2 Khi đó, M 3x2 y2 3x2 3x 1 3x2 9x2 6x 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 12x 6x 1 12 x x 12 x 2.x 12 x 2 12 4 16 48 4 4 4 1 1 Dấu “=” x ; y 4 4 1 1 1 Suy ra GTNN M x ; y 4 4 4 d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N xy Từ 3x y 1 y 3x 1 , 2 2 1 Khi đó, N xy x 3x 1 3x x 3 x x 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2.x 3 x 6 36 36 6 12 12 1 1 Dấu « = » x 0 x 6 6 1 1 Suy ra GTLN N x 12 6
  42. Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x 3y 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 3 Q x y e) Tìm GTLN của A x2 y2 xy x y Lời giải 8 3 8 3 a) Ta có : Q 2x 3y 7 x y x y 8 3 2 .2x 2 .3y 7 2.4 2.3 7 7 x y 2x 3y 7 8 2x x x 2 Dấu “=” 3 y 1 3y y x, y 0 Suy ra GTNN(Q) = 7 x 2, y 1 . b) Ta có:A x2 y2 xy x y 2A x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 2 2 A 1 Dấu “=” x y 1 Suy ra GTLN(A) = 1 x y 1 Bài 82: a) Tìm GTNN của Abiết x2 y2 x y 4 2 b) Tìm GTNN của B x4 3 x c) Tìm GTNN của C x 1 x 3 x 5 x 7 x d) Tìm GTLN của D x với x 0 x 2019 2 Lời giải 2 a) * Cách 1 : Ta có: x + y = 4 x2 + 2xy + y = 16 (1) 2 2 Ta lại có: (x y) 0 x2 - 2xy + y 0 (2) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x2 + 2y 16 x2 + y 8
  43. Vậy giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 8 x y 2 * Cách 2: Ta có : x y 4 y 4 x 2 2 Suy ra A x2 y2 x2 4 x 2x2 8x 16 2 x 2 8 8 x 2 0 x 2 Dấu “=” y 4 x y 2 Vậy, GTNN A 8 x y 2 . 2 2 b) Ta có : B x4 3 x 2 x4 2x2 1 3 x2 2x 1 5 x2 1 3 x 1 5 5 x2 1 0 Dấu “=” x 1 x 1 0 Suy ra GTNN (B ) = 5 x 1 c) Ta có: C x 1 x 3 x 5 x 7 x2 4x 5 x2 4x 21 5 21 Đặt t x2 4x 13 ( chú ý : 13 ) 2 Khi đó, C t 8 t 8 t 2 64 64 2 x 2 17 Dấu “=” t 0 x2 4x 13 0 x 2 17 x 2 17 x d) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt GTLN: D x với x 0 x 2019 2 *Cách 1: Đặt a 2019 2 2 2 2 2 x x a x a 4ax x a x a 1 x a 1 Khi đó D x x a 2 4a x a 2 4a x a 2 4a 4a x a 2 4a ( Vì a 0, x 0 ). Dấu “=” x a 0 x a . 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 *Cách 2: Đặt a 2019 0 2 2 1 1 Ta có: x a 0 x a 4ax ( Vì a 0, x 0 nên 4ax 0 ) x a 2 4ax x x 1 Suy ra D x ( Vì a 0, x 0 ) x a 2 4ax 4a Dấu “=” x a 0 x a .
  44. 1 1 Suy ra GTLN D x x a 2019 . 4a 4.2019 Bài 83: : a) Cho x y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Lời giải a) Ta có: A x3 y3 x y x2 xy y2 x2 xy y2 ( Vì x y 1 ) 2 x2 x 1 x 1 x ( Vì y 1 x ) 2 1 3 x x 3 2 1 1 1 3 x 2 4 4 1 Dấu “=” x y 2 1 1 Suy ra GTNN A x y . 4 4 b) Tìm GTNN của B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 Ta có: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2023 4x2 4xy y2 y2 4y 4 x2 2x 1 2018 2 2 2 2x y y 2 x 1 2018 2018 2x y 0 x 1 Dấu “=” y 2 0 y 2 x 1 0 Suy ra GTNN B 2018 x 1 và y 2 . 2 Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2x 3 4 2x 3 7 và các giá trị của x tương ứng. Lời giải 2 Ta biết: A A2 . Đặt: X 2x 3 , X 0 . 2 Khi đó biểu thức (*) viết thành: Q X 2 4X 7 X 2 3 3 . Dấu “=” xảy ra X 2
  45. 2x 3 2 2x 3 2 . 2x 3 2 5 *) 2x 3 2 2x 5 x . 2 1 *) 2x 3 2 2x 1 x . 2 1 x 2 Vậy minP 3 5 x 2 2 2 1 1 Bài 85: Cho a 0;b 0 và a b 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a 2 b 2 Lời giải Ta có: 1 1 1 a 2 b 2 2ab; 2 a 2 b 2 ab 2 2 1 1 2 1 1 4 2 a b 2 2 2ab. 4 2 2 a b ab a b 10 5 2 Vậy M inQ a b 5 5 Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải Ta có: Vì x2 + x + 1 = Suy ra : Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: Lời giải
  46. Ta có: Chứng minh được với hai số dương x,y thì Do đó: Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a = b = 1 Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải Ta có: Theo BĐT cô si ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x Tương tự : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 4x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 2y Suy ra: . Dấu “=” xảy ra khi Vậy: Min P = Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải Ta có: Vậy Min P = 8100312,5 2010x 2680 Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Lời giải
  47. 2 2010x 2680 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 A 335 335 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0 4x 3 b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = x2 1 Lời giải a) Cộng vế với vế của các đẳng thức x + 5y = 21 và 2x + 3z =51 ta được 3(x + y + z) + 2y = 72 Như vậy 3(x + y + z) lớn nhất khi và chỉ khi 2y nhỏ nhất . Mặt khác y 0 nên 2y nhỏ nhất khi y = 0 x = 21 và z = 3 Do đó 3(x + y + z) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0 và z = 3 4x 3 x2 4x 4 x2 1 (x 2)2 b) Ta có = 1 1 minB = -1 với x = -2 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là B = -1 khi x = -2 4x 3 4x2 4 4x2 4x 1 4(x2 1) (4x2 4x 1) (2x 1)2 Mặt khác ta lại có = 4 4 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 1 maxB = 4 với x = 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của B là B = 4 khi x = 2 Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x2 3 x2 1 9 . Lời giải Ta có P x4 2x2 3 x2 1 9 = (x2 1)2 3 x2 1 10 3 49 49 ( x2 1 )2 2 4 4 3 10 Đẳng thức xảy ra khi x2 1 0 x 2 2 49 10 Vậy Min P = khi x 4 2 2012 Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 20(x y) 2213 Lời giải Ta có x2 y2 20(x y) 2213 (x 10)2 (y 10)2 2013 2013 với mọi x, y.
  48. 2012 2012 P (x 10)2 (y 10)2 2013 2013 2012 P = khi x = 10 và y = 10 2013 2012 Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10. 2013 3 Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = a2 + b2 + c2 Lời giải 2 1 Ta có: a 0 với mọi a 2 1 a2 a 0 với mọi a 4 1 a2 a với mọi a (1) 4 1 Tương tự: b2 b với mọi b (2) 4 1 c2 c với mọi c (3) 4 Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được : 3 a2 b2 c2 a b c . 4 3 3 Vì a b c nên: P = a2 b2 c2 2 4 1 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = . 2 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là đạt được khi và chỉ khi a = b = c = . 4 2 Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 Lời giải 1 1 Q (1 )(1 ) xy x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 = 1 xy 1 xy y2 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
  49. (x y)2 2xy 1 1 2xy 1 2 = 1 xy 1 xy 1 xy x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 xy 1 Áp dụng BĐT AM-GM ta có x y 2 xy 1 4xy 4 (*) xy 2 1 31 Q 1 xy 1 (xy ) xy 16xy 16xy Áp dụng BĐT AM-GM và kết hợp (*) ta có: 1 31 37 Q 1 4 2 16 4 1 37 1 Đẳng thức xảy ra x y . Vậy MinQ khi x y . 2 4 2 Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Lời giải Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . 2 Ta có: x2013 y2013 2x1006 y1006 x2013 y2013 4x2012 y2012 (2) 2 Mặt khác: x2013 y2013 4x2013 y2013 (3) Từ (2) và (3) suy ra: 4x2012 y2012 4x2013 y2013 Hay : 4x2012 y2012 (1 xy) 0 .Do đó P 1 xy 0 . Đẳng thức xảy ra khi: xy 1 x2013 y2013 1 (4). x2013 y2013 1 x 1 Từ (1) và (4) ta có: 2013 2013 . x y 2 y 1 Vậy Min (P) = 0 khi x = y =1. Bài 97: a) Cho a1,a2 , ,a2m ,m N * thoả mãn a1 a2 a2m . Tìm GTNN của biểu thức A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m . b) Cho a1,a2 , ,a2m 1,m N,m 2 thoả mãn a1 a2 a2m 1 . Tìm GTNN của biểu thức B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 . Lời giải a) Ta có: A x a1 x a2 x a2m 1 x a2m x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m x x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m x am 1 am 2 a2m a1 a2 am
  50. Dấu “=” am x am 1 . Vậy, GTNN A am 1 am 2 a2m a1 a2 am . Dấu “=” am x am 1 . b) Ta có: B x a1 x a2 x a2m 2 x a2m 1 x a1 x a2 x am am 1 x am 2 x a2m 1 x x a1 x a2 x am 1 0 am 1 x am 2 x a2m 1 x am 1 am 2 a2m 1 a1 a2 am 1 Dấu “=” x am . Vậy, GTNN B am 1 am 2 a2m 1 a1 a2 am 1 . Dấu “=” x am . Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.Q m n mn 1 Lời giải Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q m n mn 1 (2). Từ (2) ta có: 2Q 2 m n 2mn 2 Do đó: 2Q m2 n2 m2 n2 2m 2n 2mn 2 2 m n 1 1 1 Suy ra:2Q 1 m2 n2 4 (do (1)) Q 2 . m 2 m2 n2 5 n 1 Dấu “=” xảy ra . m n 1 0 m 1 n 2 Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2. Bài 99: 3 4x Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 Lời giải 2 2 2 3 4x x2 4x 4 x2 1 x 2 x 1 x 2 1 1 Ta có: K 2x2 2 2 x2 1 2 x2 1 2 x2 1 2 2 Dấu “=” x 2 0 x 2 1 Suy ra GTNN K x 2 2 2 2 3 4x 4x2 4 4x2 4x 1 4x 4 4x 4x 1 Ta có: K 2x2 2 2 x2 1 2 x2 1
  51. 2 4 x2 1 2x 1 2x 1 2 2 2 2 x2 1 2 x2 1 1 Dấu “=” 2x 1 0 x 2 1 Suy ra GTLN K 2 x 2 Bài 100: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 16x 4y z Lời giải 1 1 1 1 1 1 Vì x y z 1 nên: M x y z 16x 4y z 16x 4y z 21 x y x z y z 16 4y 16x z 16x z 4y 2 2 x y 16x2 4y2 4x 2y 2.4x.2y 4x 2y 1 1 Ta có: x,y 0 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: ; 1 x,y 0 z 16x 2 z 4y 1 x 4x 2y z 7 21 1 1 49 2 Từ đó M 1 . Dấu " " xảy ra x y z 1 y 16 4 2 16 7 x,y,z 0 4 x 7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là x ; y ; z 16 7 7 7 Bài 101: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1
  52. 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương, dấu bằng xảy ra a b c a b c a b 4 a b a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy MinP x y z 1 2 2 Bài 102: Cho hai số x,y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2 Lời giải 2 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 2 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1 2 x2 y2 1 3x2 1 2 Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 x 0 A 0 2 2 x y 0.Vậy min A 0 x y 0 x y 0 x 0 x 0 x 0 A 2 2 2 2 . Vậy max A 2 2 x y 2 y 2 y 2 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 4 x y 2010 Lời gải P x2 y2 4 x y 2010 x2 4x 4 y2 4y 4 2018 x 2 2 y 2 2 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài 104: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Lời gải
  53. 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 Theo BĐT cô si ta có: y 2x 16x 4y 4 z x 1 z y Tương tự z 4x; 1 z 2y 16x z 2 4y z 49 1 2 4 P . Dấu bằng xảy ra khi x ; y ; z 16 7 7 7 1 1 1 Bài 105: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: 2. Tìm giá trị lớn nhất của 1 a 1 b 1 c biểu thức Q abc. Lời gải 1 1 1 b c bc Ta có: 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 ac 1 ab Tương tự: 2 ; 2 1 b 1 a 1 c 1 c 1 a 1 b 1 a2b2c2 8 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 abc 8 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a b c 1 Dấu " " xảy ra 1 1 1 a b c 2 2 1 a 1 b 1 c Bài 106: Cho 6a 5b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 25b2 Lời gải Đặt x 2a, y 5b . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
  54. 2 1 1 3x y x2 y2 9 1 x2 y2 hay 4a2 25b2 Dấu bằng xảy ra 10 10 1 b 3 1 50 3y x 15b 2a 6a 45b x y 3 a 20 Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 y2 xy x y 1 Lời giải 4M 4x2 4y2 4xy 4x 4y 4 2x y 1 2 3y2 2y 3 2 2 2 1 8 2x y 1 3 y y 3 9 3 2 2 1 8 2x y 1 3 y 3 3 1 y 8 3 Giá trị nhỏ nhất của 4M là nên 3 2 x 3 2 x 2 3 Giá trị nhỏ nhất của M là 3 1 y 3 Bài 108: Cho a,b 0 và a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 M 1 1 a b Lời giải 2 2 a b a b M 1 1 (Vi a b 1) a b 2 2 b a M 2 2 a b 4b b2 4a a2 M 4 4 a a2 b b2 b2 a2 a b M 8 2 2 4 8 2 4.2 18(Co si) a b b a 1 Dấu " " xảy ra a b & a b 1 a b 2
  55. 1 Vậy MinM 18 a b 2 Bài 109: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 3 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x3 x2 x 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Lời giải a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 2 2 Do x y 0; y 2 0 2 2 Nên A x y y 2 1 1 Dấu " " xảy ra x y 2 Vậy GTNN của A là 1 x y 2 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 b) B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 1 nên B 3.Dấu " " xảy ra x 0 x2 1 Vậy GTLN của B là 3 x 0 c) Ta có: A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 x2 2x y 1 y2 2y 1 y2 6y 9 2003 x y 1 2 y 3 2 2003 2 2 Nhận thấy với mọi x, y ta có: x y 1 0; y 3 0 A 2003 Dấu " " xảy ra khi x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003đạt được khi x 4, y 3 Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 x 5 x2 7x 10 Lời giải A x 2 x 5 x2 7x 10 x2 7x 10 x2 7x 10 Đặt x2 7x t, ta có biểu thức:
  56. A t 10 t 10 t 2 100 100 Dấu " " xảy ra t 0 2 x 0 x 7x 0 x 7 x 0 Với thì Ađạt giá trị nhỏ nhất bằng 100 x 7 LỜI NGỎ DỰ ÁN TÁCH CHUYÊN ĐỀ VÀ DẠNG THEO CHUYÊN ĐỀ HSG6789-VÀO 10 1.Sản Phẩm Là Để Chúng Ta Dùng Nhìn Đẹp Mắt Thì Bao Giờ Cũng Thấy Thích Và Thấy Được Giá Trị Dự Án Đề nghị thầy cô tham gia dự án làm việc nghiêm túc , trách nhiệm và đúng thời gian quy định của các giám sát Thầy cô làm việc không trách nhiệm , sẽ kích khỏi Tổ và khỏi nhận sản phẩm
  57. 2.Sản phẩm là công sức của các thầy cô tham gia dự án.Vì vậy khi nhận sản phẩm ,thầy cô hạn chế chia sẻ hay cho , tặng TRIỂN KHAI DỰ ÁN I.GIÁM SÁT :Cần 4 Giám Sát Bước 1:Giám sát 1 (Lập danh sách và gmail trong tổ ) : -Xây dựng chuyên đề , các dạng bài thường gặp của HSG 6789 hoặc vào 10 tương ứng với tổ ( Chú ý :Chuyên đề và dạng bài trong chuyên đề phải có tính tổng quát ) -Nhận đề của tổ từ Toán Học Sơ Đồ qua gmail ( đã lời giải chi tiết). -Phân chia thu nhận chuyên đề phù hợp cho các Giám sát 2,3,4 từ tổ viên nộp về. (Ví dụ :GS1 thu nhận chuyên đề 1,2,3,4.GS2 là 5,6,7,8 ) -Chuyển mẫu chuyên đề vừa xây dựng trên mẫu chung và chia đề cho tổ viên tổ mình (Ví dụ có 300 đề -tổ gồm 15 giáo viên.Thì chia mỗi giáo viên 20 đề ngẫu nhiên (ko trùng lặp các GV,kèm chú thích riêng ) Bước 2:Giám sát 2,3,4, - Nhận nhiệm vụ thu nhận Chuyên đề từ Giám sát 1 .(Ví dụ tổ có 15 chuyên đề .Giám sát 1 thu nhận chuyên đề 1,2,3,4 Tương Tự GS 3,4 Thu 5678 ) -Đợi thu nhận bài từ tổ viên khi hoàn thành với các chuyên đề được phân công thu nhận từ Giám sát 1 -Sau nhận bài Hoàn thiện chuyên đề , mỗi chuyên đề là 1 file (ghi file ví dụ :HH9- CHUYÊN ĐỀ 9.TỨ GIÁC NỘI TIẾP ) . Lưu ý hoàn thiện :Chuyên đề - Dạng bài -Thứ tự Bài 1,2,3, làm đẹp và gửi về gmail cho Giám sát 1 Bước 3:Giám sát 1 Gửi lại sản phẩm về gmail: toanhocsodo0945943199@gmail.com Bước 4:Toán Học Sơ Đồ copy gmail theo tổ và gửi sản phẩm gồm 6 bộ tách cho tất cả GV. II.TỔ VIÊN Do Mình Cân Đối Phê Duyệt Bước 1.Nhận nhiệm vụ.Nhận phân công số lượng đề từ Giám sát 1. Bước 2.Tiến hành nhiệm vụ.Tách dạng bài theo chuyên đề trên mẫu chung Mỗi chuyên đề là 1 file (Ví dụ File 1 là chuyên đề :A , File 2 là chuyên đề B ( Không cần ghi rõ bài ,đề nào )
  58. Bước 3.Hoàn thành nhiệm vụ.Gửi chuyên đề về thầy cô giám sát 2,3,4 được phân công nhận.(Ví dụ :Giám sát 2 được phân công nhận 2 Chuyên đề :Tứ Giác Nội Tiếp và Phương Trình.Thì tổ viên chỉ gửi 2 chuyên đề trên về cho giám sát 2 Tương tự là Giám sát 3,4 ) Lưu ý:Thầy cô tách dạng - làm trực tiếp trên mẫu trên , với font Time New Roma cỡ chữ 12 (đề đã làm sẵn font này ) Màu , mẫu chữ các đề mục trên được giữ nguyên kể cả dấu : hay dấu chấm (.) theo mẫu trên và dãn dòng 1.5 PHÂN CÔNG GIÁM SÁT CÁC TỔ Tổ 5-TÁCH CHUYÊN ĐỀ -PHÂN DẠNG .Đại trà vào 10 Chính Thức Và Đề Thi Thử Giám sát 1:Hoàng Yến Giám sát 2.Phạm Dương Giám sát 3.Quang Trí Giám sát 4.Nguyễn Xuân Trường
  59. Tổ 1-TÁCH CHUYÊN ĐỀ -TỪ ĐỀ HSG 6 (Đã có lời giải chi tiết ) Giám sát 1.Dương Thị Phương Thảo Giám sát 2.Vhp Giám sát 3.Thanh Dũng