Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 8

1. PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khĩa thi: Ngày 2/05/2019 Bài 1. (6,0 điểm) a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 Bài 2. (4,0 điểm) a. Chứng minh a 2 b 2 c 2 2 a b b c ca với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. Bài 3 (3.0 điểm): 1 1 1 1 1 Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. Bài 5 (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cĩ Aˆ Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAˆC ABˆC . Đường phân giác của gĩc BAˆH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE. ___Hết___ \
2. ĐÁP ÁN Câu 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 1 2019(x2 x 2019) A = (x - 1)(x2 x 1) 2019(x2 x 1) A = x2 x 1 (x 1 2019) A = (x2 + x + 1 )(x 2018) b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 x2 y2 4x 2y 5 0 (x2 4x 4) (y2 2y 1) 0 (x 2)2 (y 1)2 0 x 2 và y 1 c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n  59 và 8(64n – 5n)  (64 – 5) = 59 vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 Câu 2: a. Chứng minh a 2 b 2 c 2 2 a b b c ca với mọi số thực a, b, c. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta cĩ: 0 a b c a2 ab ca ; 0 b c a b2 bc ab 0 c a b c2 ca bc Do đĩ, suy ra: a2 b2 c2 2(ab bc ca) b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. Ta cĩ: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. P (x 5)(x 11)(x 7)(x 9) + 16. P (x2 16x 55)(x2 16x 63)+ 16. P (x2 16x 55)2 8(x2 16x 55)+ 16. P (x2 16x 55)2 2(x2 16x 55).4+ 42. P (x2 16x 59)2.Vơi x là số nguyên thì P là một số CP. Bài 4 (3.0 điểm): 1 1 1 1 1 Cho biểu thức: P x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 b) Rút gọn đúng: 1 1 1 1 1 P x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = x 1 x x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 1 1 5 x 5 x x x 5
3. I K 1 B H Q 1 P S Câu 4 A C Chứng minh: ABC KPC ( G.G) b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. PB Ta cĩ: AQ KQ (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuơng). 2 Lại cĩ: HK HA (Giả thiết). Do đĩ: QH là đường trung trực của AK. S Ta cĩ: CEˆA Bˆ BAˆE HAˆC EAˆH CAˆE 0,5đ 5 CAE cân ở C CA = CE (1) (2đ) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta cĩ: BE MB MA FA (2) 0,5đ EH KH KH FH BE AB 0,25 AE là phân giác của ABH (3) EH AH đ AB CA CE CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) 0,25 AH CH CH đ (4) FA CE AH EH Từ (2), (3), (4) hay AE PCF (đpcm) 0,5đ FH CH FH CH