Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Hoài Nhơn năm học 2017 – 2018 môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Hoài Nhơn năm học 2017 – 2018 môn Toán 7

1. HSG Toán 7 – H. Hoài Nhơn – Bình Định – 2018 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: Toán 7 Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 27/04/2018 Bài 1. (3 điểm) 1 1 1 1 a. Tính giá trị biểu thức: M 2 3 4 2012 . 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 x x x x x x x x x x 220 b. Tìm x biết: . 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Bài 2. (3.5 điểm) a b c a b c b c a a. Cho a , b , c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa: . Tính giá trị của c b a a b b c a c biểu thức M . abc y z 1x z 2 x y 3 1 b. Tìm x , y , z biết: . x y z x y z Bài 3. (4.0 điểm) a. Cho a1; a 2 ; ; an 1; 1 với mọi n nguyên dương thỏa: a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 an a 1 0 . Chứng minh rằng n4 . b. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chi hết cho tích các chữ số của nó. Bài 4. (3.5 điểm) a. Cho xyz 2 và x y z 0 . Tính giá trị biểu thức B x y y z z x . b. Cho đa thức f x 2016 x4 32 25 k 2 x 2 k 2 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f x có đúng ba nghiệm phân biệt a , b , c a b c . Tính a c . Bài 5. (3 điểm) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA: MB : MC 3 : 4 : 5 . Tính số đo góc AMB. Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120 . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE . Gọi M là giao điểm của DC và BE . Chứng minh rằng: a. BMC 120  . b. AMB 120 . HẾT Lời giải: Lê Hồng Quốc
2. HSG Toán 7 – H. Hoài Nhơn – Bình Định – 2018 ĐÁP ÁN 1 1 1 1 Bài 1. a. Tính giá trị biểu thức: M 2 3 4 2012 . 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 Lời giải. Ta có 2011 2010 2009 1 2010 2009 2008 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2011 2 3 4 2011 2012 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1 2012 . 2 3 4 2011 2012 2 3 4 2012 1 Suy ra M . 2012 x x x x x x x x x x 220 b. Tìm x biết: . 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Lời giải. x x x x x x x x x x 220 Cách 1. Ta có 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 x 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Lại có 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 2 2 . 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 11 12 12 13 3 13 39 20 220 220 20 Khi đó ta được x. x : 11 . 39 39 39 39 Vậy x 11 . x x x x x x x x x x 220 Cách 2. 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220 x 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 20 220 220 20 x. x : 11. 39 39 39 39 Vậy x 11 . a b c a b c b c a Bài 2. a. Cho a , b , c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa: . Tính giá trị của c b a a b b c a c biểu thức M . abc a b c a b c b c a a b c a b c b c a Lời giải. Ta có 1 . c b a a b c Lời giải: Lê Hồng Quốc
3. HSG Toán 7 – H. Hoài Nhơn – Bình Định – 2018 a b c 1 c a b 2 c a b c Suy ra 1 a c 2 b  a b b c a c 8 abc . b b c a b c2 a 1 a a b b c a c 8abc Khi đó M 8 . abc abc Vậy M 8 . y z 1x z 2 x y 3 1 b. Tìm x , y , z biết: . x y z x y z y z 1x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 Lời giải. Ta có 2 . x y z x y z y z 1 2 x 1 y z 1 2 x x y z 3 x 1 x z 2 x 2 2 x z 2 2 y x y z 3 y 2 y 5 Suy ra x y 3 2 z x y z 3 z 3  y . x y 3 6 2 z 1 1 7 x y z x y z z 1 2 2 6 2 x y z 1 5 7 Vậy x , y , z . 2 6 6 Bài 3. a. Cho a1; a 2 ; ; an 1; 1 với mọi n nguyên dương thỏa: a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 an a 1 0 . Chứng minh rằng n4 . Lời giải. Vì a1; a 2 ; ; an 1; 1 suy ra mỗi tích a1 a 2; a 2 a 3 ; a 3 a 4 ; ; an a 1 nhận giá trị 1 hoặc 1 . Mà a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 an a 1 0 suy ra số tích có giá trị 1 bằng với số tích có giá trị 1 n và cùng bằng . 2 2 Lại có aaaaaa1 2. 2 3 . 3 4 aan 1 aa 1 . 2 a n 0 suy ra số tích có giá trị 1 là số chẵn. n 2 hay n4 . 2 b. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chi hết cho tích các chữ số của nó. Lời giải. Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab ( a, b , 0 a , b 10 ) Theo đề ta có: ab: a . b 10 a b mab m ,0 m 10 . 10a 10 1 5 5 Khi đó b , vì b , b 10 m ; 2; ; 5;10 . ma 1 1 a 3 2 m a 1 Trường hợp 1. m 2; 5;10  a 1. Do đó m 2; 3; 6  b 5; 2;1 . a Suy ra có các số thỏa là 11;12;15 . 1 5 Trường hợp 2. m  a 3  b 6 . Suy ra số thỏa là 36 . a 3 Lời giải: Lê Hồng Quốc
4. HSG Toán 7 – H. Hoài Nhơn – Bình Định – 2018 1 5 Trường hợp 3. m  a 2  b 4 . Suy ra số thỏa là 24 . a 2 Vậy các số thỏa là 11;12;15; 24; 36 . Bài 4. a. Cho xyz 2 và x y z 0 . Tính giá trị biểu thức B x y y z z x . x y z Lời giải. Theo đề ta có x y z 0 suy ra y z x z x y  B x y y z z x z x y xyz 2 . Vậy B 2 . b. Cho đa thức f x 2016 x4 32 25 k 2 x 2 k 2 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f x có đúng ba nghiệm phân biệt a , b , c a b c . Tính a c . Lời giải. Vì đa thức f x là đa thức bậc 4 có đúng ba nghiệm phân biệt nên có nghiệm x 0 . Suy ra f 0 0 2016.04 32 25k 2 .0 2 k 2 100 0 k 2 100 0 k 10 (vì k là số thực dương). Khi đó f x 2016 x4 32 25 k 2 x 2 2016 x 4 8064 x 2 . Xét 2016x4 8064 x 2 0 2016 x 2 x 2 4 0 suy ra x2 0 x 0 hoặc x2 4 x 2 . Suy ra a 2 , b 0 , c 2  a c 4 . Vậy a c 4 . Bài 5. Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA: MB : MC 3 : 4 : 5 . Tính số đo góc AMB. Lời giải. MA MB MC – Theo đề MA: MB : MC 3 : 4 : 5 . Khi đó ta đặt a . 3 4 5 Suy ra MA 3 a , MB 4 a , MC 5 a . – Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều AMN AM AN MN 3 a và AMN 60  .     AA1 2 60   Ta thấy  AA1 3 .    AA2 3 60  – Xét ABN và ACM , ta có AB AC ( ABC là tam giác đều)   AA1 3 (cmt) AM AN (cmt) Suy ra ABN ACM c g c BN CN 5 a . 2 2 2 – Xét BMN , ta có: BM2 MN 2 4 a 3 a 25 a 2 và BN2 5 a 25 a 2  BN2 BM 2 MN 2 . Theo định lý PYTAGO đảo ta suy ra BMN vuông tại M NMB 90  Suy ra: AMB AMN NMB 90  60  150  . Vậy AMB 150 . Bài 6. Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120 . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE . Gọi M là giao điểm của DC và BE . Chứng minh rằng: Lời giải: Lê Hồng Quốc
5. HSG Toán 7 – H. Hoài Nhơn – Bình Định – 2018 a. BMC 120  . b. AMB 120 . Lời giải.  BAE BAC A a. Ta có 1 .  DAC BAC A2   mà AA1 2 60  (Các tam giác đều ABD và ACE ). Suy ra BAE DAC . Xét BAE và DAC , ta có BA DA ( BAD đều) BAE DAC (cmt) AE AC ( EAC đều)   Suy ra BAE DAC c g c BD2 2 .      Lại có DD2 1 60  BDB2 1 1 120   BMC 120  (Vì BMC là góc ngoài của BMD ). Vậy BMC 120  . b. Trên ti đối của tia ME lấy điểm I sao cho MI MD 1 . Vì BMC và M2 là hai góc kề bù, suy ra M2 60  2 .   Từ 1 và 2 suy ra MID đều MD MI và DD1 3 60  .     Mà DD1 2 60   DD3 2 . Xét ADM và BDI , ta có BD DA ( BAD đều)   DD3 2 (cmt) MI MD (cmt)   Suy ra ADM BDI c g c MI2 60  . Khi đó AMB M1 M 2 120  . Vậy AMB 120 . Lời giải: Lê Hồng Quốc