Đề thi chọn đội tuyển - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển - Môn: Toán 8

1. PHÒNG GD & ĐT BỈM SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể chép đề) Bài 1. (3đ) Cho a,b,c là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a b c 0 1 1 1 Chứng minh rằng: M là bình phương của một số hữu tỷ a2 b2 c2 Bài 2. (5 điểm) Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên: x2 2x 2x2 1 2 M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Bài 3. (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x Bài 4. (6 điểm) a) Cho tam giác ABC có B· AC 1200. Các phân giác AD,BE và CF 1 1 1 Chứng minh rằng AD AB AC b) Tính F· DE Bài 5. (3 điểm) Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 5
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 1 1 1 2 2 2 2 2. a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c Vậy M là bình phương của một số hữu tỉ Bài 2. x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 4. 2 x x2. 2 x x2 2 x 4 2 x2 2x 2x2 x 2 . x 1 M . 2 2 x2 2 x 4 x 4 x 2 x2. x 2 2 4x2 x 2 x 1 x x2 4x 4 4x x 2 x 1 M . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x 2 x2 4 x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 M . 2 x 2 x2 4 x2 2x 2x2 8 0 2 x 0 Để M xác định thì x 4 x 2 0 x 2 2 x 0 x 1 Khi đó M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên . Mà x x 1 1 1 ¢ x U (1) 1 x x Với x 1 thỏa mãn (*) và M 0 ¢ Với x 1thỏa mãn * và M 1 ¢ Vậy x 1; x 1 thỏa mãn điều kiện bài ra.
3. Bài 3. x x 3 4 Phương trình đã cho có thể viết lại là : 1 5 5 Ta thấy x 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Với x 2 ta xét: x x 3 4 Nếu x 2 thì 1 5 5 Với x 2dễ thấy x 0; x 1 không phải là nghiệm của phương trình Với x 0 ta đặt x y thì y 0 nên y 1 . Ta có: x x y y y y 3 4 3 4 5 5 1 1 1 5 5 5 5 3 4 y y 5 5 5 5 Phương trình này vô nghiệm vì 1 3 4 3 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2
4. Bài 4. A E F I C D B K a) Từ B kẻ BK / / AC cắt AD tại K, ta có tam giác ABK đều Do đó: AB DB DK AB AD 1 1 1 AC. AB AD AC DC DA AD AD AB AC BC.AB b) Áp dụng tính chất đườn phân giác tính được BD AB AC AB.AC Từ (a) suy ra AD AB AC DA CA EA Suy ra nên DE là phân giác của B· DA DB CB EB Chứng minh tương tự được DF là phân giác ·ADC Từ đó suy ra E· DF 900
5. Bài 5. Từ giả thiết ta có: 2 a 2 b 2 c 0 8 2 ab bc ca 4 a b c abc 0 Cộng hai vế với a2 b2 c2 , sau đó thu gọn ta được: a b c 2 a2 b2 c2 abc 4 a2 b2 c2 abc 5 Mà abc 0 nên a2 b2 c2 5 Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a,b,c có một số bằng 0, một số bằng 2, một số bằng 1.