Đề kiểm tra đội tuyển lần 1 môn Toán - Trường THPT Lương Đắc Bằng

Nội dung text: Đề kiểm tra đội tuyển lần 1 môn Toán - Trường THPT Lương Đắc Bằng

1. SỞ GD VÀ ĐT THANH HểA ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN 1 TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG MễN: TOÁN ( Thời gian: 180 phỳt ) Cõu I (4,0 điểm). 1. Cho Parabol (P): y x2 3x 2 và đường thẳng d:y x m . Tỡm m để đồ thị cỏc hàm số đú cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A, B và đồng thời khoảng cỏch từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến cỏc trục tọa độ bằng nhau. 2. Tỡm tất cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x 1 : 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 Cõu II (4,0 điểm). 1. Giải phương trỡnh: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 3 2 2 x y xy 2 x y 2. Giải hệ phương trỡnh: 2 4 x x 1 9 y 1 2x 2 Cõu III (4,0 điểm). 1. Cho ba số thực x, y, z thỏa món: 2018x 2018y z xyz . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 1 1 20182 biểu thức: P . x2 1 y2 1 z2 20182 2. Cho tam giỏc nhọn ABC cú cỏc đường cao AA1, BB1, CC1 đồng quy tại H. Biết AA1 2 2, CC1 3 vàHB 5HB1. Tớnh tớch cot A.cot C và diện tớch tam giỏc ABC. Cõu IV (4,0 điểm). 1. Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẵn gồm 6 chữ số mà cỏc chữ số đứng cạnh nhau thỡ khỏc nhau? 2.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh đường thẳng AD :x 2y 3 0 . Trờn đường thẳng qua B và vuụng gúc với đường chộo AC lấy điểm E sao choBE AC (D và E nằm khỏc phớa so với đường thẳng AC ). Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật biết E(2; 5) và đường thẳng AB đi qua điểm F(4; 4) . Cõu V (4,0 điểm). 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M là trung điểm SA, N là trung điểm SD và G là trọng tõm tam giỏc SBC. Tỡm giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNG). AM 5 2. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A'B'C'. Điểm M thuộc cạnh AB' sao cho . Mặt phẳng MB ' 4 NC đi qua M song song với A'C và BC' cắt CC' tại N. Tớnh . NC ' HẾT
2. ĐÁP ÁN MễN TOÁN Cõu Nội dung Điểm I.1 Cho Parabol (P): y = x2 – 3x + 2 và đường thẳng d: y = - x + m. Tỡm m để đồ thị 2.0 cỏc hàm số đú cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A, B và đồng thời khoảng cỏch từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến cỏc trục tọa độ bằng nhau. Phương trỡnh hoành độ giao điểm: x2 – 3x + 2 = - x + m 0.25 x2 – 2x + 2 – m = 0 (1) d cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt ’ = m – 1 > 0 m > 1 (2) 0.5 Gọi xA, xB lần lượt là hoành độ của cỏc điểm A và B, khi đú x A, xB là cỏc nghiệm của 0.25 phương trỡnh (1) và A(xA; - xA + m), B(xB; - xB + m) x A x B 2 Theo vi ột, ta cú: x A x B 2 m x x x x 0.25 Vỡ I là trung điểm của AB I A B ; A B m = (1; m - 1) 2 2 m 0 0.5 Vỡ I cỏch đều cỏc trục tọa độ 1 = |m – 1| m 2 Kết hợp với điều kiện (2) m = 2 0.25 I.2 Tỡm tất cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi 2.0 x 1: 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 (1) Điều kiện :x ³ 1 ổ ử2 ỗ x - 1ữ x - 1 x - 1 ỗ4 ữ 4 4 PT (1) Û 3ỗ ữ + m ³ 2 (2). Đặt t = , ốỗ x + 1ứữ x + 1 x + 1 x - 1 2 Do 0 Ê 4 = 4 1- < 1 ị 0 Ê t < 1 x + 1 x + 1 0.75 Phương trỡnh (2) trở thành : 3t 2 + m ³ 2t Û m ³ - 3t 2 + 2t (3) 0.5 2 ộ Xột hàm số f (t) = - 3t + 2t , t ẻ ởờ0;1) 1 Ta cú : f '(t) = - 6t + 2 ; f '(t) = 0 Û t = 3 Bảng biến thiờn :
3. 0.25 ộ Bất phương trỡnh (1) nghiệm đỳng x ẻ ởờ1;+ Ơ ) Û bất phương trỡnh (3) nghiệm đỳng 1 0.5 với mọi t ẻ ộ0;1)Û m ³ ởờ 3 II.1 Giải phương trỡnh: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 2.0 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 0,5 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 0,5 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 0,5 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k  6 6 2 5 x k2 x k2 3 0,5 6 6 II.2 3 3 2 2 x y xy 2 x y Giải hệ phương trỡnh: 2 2.0 4 x x 1 9 y 1 2x 2 Điều kiện: x ≥ 1 Từ (2) y ≥ 1 Từ (1) (x3 + y3)2 = 2x2y2(x2 + y2) (x + y)2(x2 + y2 - xy)2 = 2x2y2(x2 + y2) (x2 0,25 + y2 + 2xy) (x2 + y2 - xy)2 = 2x2y2(x2 + y2) (3) a x 2 y 2 Đặt (a ≥ 2, b ≥ 1). b xy 0,25 PT (3) trở thành: (a + 2b)(a - b)2 = 2b2a a3 – 5ab2 + 2b3 = 0 (4) Đặt a = kb, k > 0. Khi đú (4) k3 – 5k + 2 = 0 (k - 2)(k2 + 2k - 1) = 0 0,25
4. k 2 k 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 Với k = - 1 + 2 a = (- 1 + 2 )b x2 + y2 = (2 - 1)xy 0 (vỡ 0) 3 x 2 1 4 5 5 5 5 Khi đú, từ (5) x = y = . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x; y) = ( ; ) 0,25 3 3 3 3 III.1 Cho ba số thực x, y, z thỏa món: 2018x 2018y z xyz . Tỡm giỏ trị nhỏ 1 1 20182 2.0 nhất của biểu thức: P . x2 1 y2 1 z2 20182 z z Ta cú: 2018x 2018y z xyz x y xy (*) 2018 2018 z Đặt x tanα, y tan β, tan γ, α, β,γ 0;π 0.5 2018 (*) tanα tan β tan γ tanα tan β tan γ 0.5 tanα tan β tan γ tan( γ) tan(α β) 1 tanα tan β γ α β kπ
5. Do α, β,γ 0;π γ α β π α β γ π 1 1 1 P 2 2 2 Khi đú: 1 tan α 1 tan β 1 tan γ 2 2 2 cos α cos β cos γ 0.25 1 = cos2α cos2β cos2γ 1 =cos α β cos α β cos2γ 1 . = 2 cosγcos α β cos2γ 1 2 1 1 1 3 =cosγ cos α β cos2 α β 1 1 P 2 4 4 4 1 α β cosγ cos α β π Đẳng thức xảy ra 2 1 α β γ 2 cosγ 3 cos α β 1 2 3 Vậy GTNN của P là , đạt khi x y 3, z 2018 3 . 4 0.75 III.2 2. Cho tam giỏc nhọn ABC cú cỏc đường caoAA1, BB1, CC1 đồng quy tại H 2.0 (A1 BC, B1 AC, C1 AB) .BiếtAA1 2 2, CC1 3 vàHB 5HB1. Tớnh tớch cot A.cot C và diện tớch tam giỏc ABC. A C 1 B1 H B A1 C HB BB1 BB1 ã B1C Ta cú 5 6 Mặt khỏc tan C ; tan A tan B1HC HB1 HB1 B1C HB1 BB1 B1C BB1 1 tan A.tan C . 6 . Suy ra cot A.cot C (1) 0.5 B1C HB1 HB1 6 2 AA1 2 2 sin C 2 2 sin C 8 2 CC1 3 sin A 3 sin A 9 0.25 9 8 2 2 2 2 2 2 9 1 cot A 8 1 cot C 9cot A 1 8cot C (2) sin A sin C 1 1 cot A cot A.cot C 3 Từ (1) và (2) ta cú 6 0.25 2 2 1 9cot A 1 8cot C cot C 2
6. 1 1 5 2 AA 5 Do cot C 1 cot2 C sin C AC 1 2 2. 10 2 sin2 C 4 5 sin C 2 1 Ta cúAB BB .cot A BB ; 1 1 3 1 1 5 6 6 10 CB BB .cot C BB AC AB B C BB BB AC 0.75 1 1 2 1 1 1 6 1 1 5 5 1 1 6 10 Suy ra S AC.BB 10. 6 0.25 ABC 2 1 2 5 IV.1 Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẵn gồm 6 chữ số mà cỏc chữ số đứng cạnh nhau thỡ 2.0 khỏc nhau? Gọi số cần tỡm là a1a 2a3a 4a5a6 Do a6 {0;2;4;6;8} nờn cú 5 cỏch chọn a6, ứng với mỗi cỏch chọn đú cú 9 cỏch chọn a1. 0.5 Do a2 a1 nờn ta cú 9 cỏch chọn a2. Tương tự ta cú 9 cỏch chọn a3, 9 cỏch chọn a4. 0.5 Do a5 khỏc a4 và a6 nờn cú 8 cỏch chọn a5. 0,5 Vậy cú tất cả 5.94.8 = 262440 số thỏa món yờu cầu. 0.5 IV.2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh đường thẳng AD :x 2y 3 0 . Trờn đường thẳng qua B và vuụng gúc với đường chộo AC lấy điểm E sao choBE AC (D và E nằm khỏc phớa so với 2.0 đường thẳng AC ). Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật biết E(2; 5) và đường thẳng AB đi qua điểm F(4; 4) . Đường thẳng AB đi qua điểm F(4; 4) và vuụng gúc với AD AB cú phương 0.25 x 4 y 4 trỡnh: 2x y 4 0 .Ta cú A AB  AD tọa độ A là nghiệm của 1 2 x 2y 3 0 x 1 hệ phương trỡnh: A(1;2) 2x y 4 0 y 2 Từ E kẻ EH  AB tại H . Xột ABC và EHB cú HẳEB BẳAC, EẳHB ẳABC 900 0.25 và BE AC (gt) ABC EHB EH AB . 4 5 4 Mà EH d(E; AB) 5 AB 5 5 D C x - 2y + 3 = 0 F(4;-4) B A H E(2; - 5)
7. Mặt khỏc 0.25 2 2 b 0 B AB B(b;4 2b) AB b 1 2 2b 5 b 1 1 b 2 Với b 0 B(0;4) phương trỡnh BC là: x 2(y 4) 0 x 2y 8 0 0.25  Phương trỡnh AC qua A và cú vộc tơ phỏp tuyến EB( 2;9) phương trỡnh AC : 2(x 1) 9(y 2) 0 2x 9y 16 0 Ta cú C AC  BC tọa độ C là nghiệm của hệ phương trỡnh: 0.25 2x 9y 16 0 x 8 C( 8;0) x 2y 8 0 y 0 7 Gọi I là trung điểm AC I( ;1) D( 7; 2) . Loại do D, E cựng phớa so với AC 2 Với b 2 B(2;0) phương trỡnh BC là: (x 2) 2y 0 x 2y 2 0 0.25  Phương trỡnh AC qua A và cú vộc tơ phỏp tuyến EB(0;5) phương trỡnh AC : y 2 0 Ta cú C AC  BC tọa độ C là nghiệm của hệ phương trỡnh: 0.25 x 2y 2 0 x 6 C(6;2) y 2 0 y 2 7 Gọi I là trung điểm AC I( ;2) D(5;4) . Thỏa món 2 0.25 Vậy A(1;2) , B(2;0) , C(6;2) , D(5;4) . V.1 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M là trung điểm SA, N là trung điểm SD và G là trọng tõm tam giỏc SBC. Tỡm giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNG). 2.0 Gọi T là trung điểm BC. SM SG 0.5 Trong mặt phẳng (SAT) cú MG cắt AT tại H. SA ST 1.0 E O
8. Hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) cú điểm chung H và lần lượt chứa hai đường thẳng song song MN, AD nờn giao tuyến của chỳng là đường thẳng d qua H và // MN, AD. Trong mặt phẳng (ABCD) cú AC cắt d tại K. Giao điểm của AC và (MNP) là K 0.5 V.2 AM 5 Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A'B'C'. Điểm M thuộc cạnh AB' sao cho . MB ' 4 NC Mặt phẳng đi qua M song song với A'C và BC' cắt CC' tại N. Tớnh . NC ' 2.0 Gọi K là trung điểm của A'B'. BC' cắt B'C tại H, suy ra KH//A'C => ( BKC')//A'C => //(BKC'). Gọi Q là trung điểm AB => CQ//C'K. Dựng MS//BK S AB , 0.5 SR//CQ, RN//BC'. B 'T B ' K 1 2 5 AM 5 BK cắt B'A tại T=> => AT AB ' mà AM AB ' => TA AB 2 3 9 AT 6 0.5 AS 5 BS 1 1 0.5 => BS AB AB 6 BA 6 6 BS BR 1 BR NC ' 1 NC 0.5 Cú SR//CQ mà 2 BQ BC 3 BC CC ' 3 NC ' HẾT