Đề khảo sát HSG môn Toán lớp 6 - Năm học 2012-2013

Nội dung text: Đề khảo sát HSG môn Toán lớp 6 - Năm học 2012-2013

1. TRƯỜNG THCS TÍCH SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) a. Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3. b. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65. Bài 2 : (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a. x (x 1) (x 2)  (x 2010) 2029099 b. 2 4 6 8  2x 210 c. (x - 2)6 = (x – 2)8 Bài 3: (6,0 điểm) a. Tìm n biết: 5n + 7 chia hết cho 3n + 2 b. Chứng minh rằng: Nếu 8p – 1 và p là các số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số c. Chứng minh rằng 102011 8 chia hết cho 72. Bài 4: (4 điểm) Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1h 5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ 2 quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ 3 quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ 2 trong ngày và lúc đó là mấy giờ Bài 5: (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. CA CB a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM 2 CA CB b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM . 2
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 3 điểm) a)- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101ab . 0,75 - Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội 0,75 của 3. Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 5. 126 + 52.126 + 53.126 0,50 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56). 0, 25 Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126. Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. 0,25 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 . S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 0,25 130. Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 0,25 Bài 2 : (3,0 điểm) a)- 2011x 1 2  2010 2029099 2010.2011 - 2011x 2029099 0, 5 2 2010.2011 - 2011x 2029099 - 2 2010.2011 - 4 x 2029099 - : 2011 0,50 2 b) 2(1 2 3  x) 210 0,50 x(x 1) - 2 210 2 - x(x 1) 210 0,5 - Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) c) ( x – 2 ) 8 – ( x – 2) 6 = 0 0,5 ( x – 2 )6[(x-2)2 – 1] = 0 x-2 = 0 hoặc x -2 =1 0,5 x = 2 hoặc x = 3 Bài 3: (6,0 điểm) a) 3(5n + 7) – 5( 3n + 2) chia hết cho 3n + 2 0,50 11 chia hết cho 3n + 2 0,50 3n + 2 = 1 hoặc 3n + 2 = 11 0,50 n = 3 0,50
3. Nếu p = 3k mà p nguyên tố p= 3 8p + 1 = 25 là hợp số 0,50 Nếu p = 3k +1 mà 8p + 1 = 24k + 9 = 3(8k +3) 8p + 1 là hợp số 0,50 Nếu p = 3k +2 mà 8p - 1 = 24k + 15 = 3(8k +5) 8p - 1 là hợp số ( vô lý) 0,50 Vậy 8p – 1 là hợp số. 0,50 c) Vì 102011 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 0,75 Lại có 102011 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 0,75 Vậy 102011 8 chia hết cho 72 0,50 Bài 4: ( 1,5 điểm) - Gọi a là thời gian để 3 xe cùng xuất phát tại bến lần thứ 2 tại bến 0,50 a là BCNN (75,60,50) 0,25 Tìm được BCNN (75,60,50) = 300 (phút) = 5 giờ. 0,50 Sau 5h 3 xe lại cùng xuất phát. Lúc đó là 11h 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) A M C B 0,50 CA = MA + CM 0,50 CB = MB – CM 0,25 Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 CA CB CM 0,25 2 0,50 A M B C CA = CM + MA 0,50 CB = CM – MB 0,25 Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 CA CB CM 0,25 2