Đề khảo sát HSG môn Toán lớp 6 năm học 1998-1999

Nội dung text: Đề khảo sát HSG môn Toán lớp 6 năm học 1998-1999

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN LỚP 6 Năm học: 1998-1999 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm) Tính một cách hợp lý: a) 37.69 + 31.37 - 37.30 b) –1999.19981998 + 19991999.1998 Bài 2 (4,5 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết: a) 1 2 3 2 x 7 b) (13.3x – 2- 3x) : 2 = 162 (với x2 ) Bài 3 (2 điểm): Tìm số nguyên tố p biết p + 1 cũng là số nguyên tố. Bài 4 (3 điểm): Số học sinh lớp 7A của một trường trung học cơ sở trong khoảng từ 23 đến 45, khi ngồi bàn 3, bàn 4, bàn 5 thừa ra số học sinh lần lượt là 1, 3, 1. Tính số học sinh của lớp đó. Bài 5 (3 điểm): Cho a1; a2; a3; ; a2007 là các số nguyên, b1; b2; b3; ; b2007 là một hoán vị (một cách sắp xếp theo một thứ tự khác) của các số a1; a2; a3; ; a2007. Chứng tỏ rằng (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) là số chẵn. Bài 6 (4,5 điểm): Trên tia Ox vẽ các điểm M1;M2;M3 sao cho OM1 = 12cm; OM2 = 19cm; OM3 = 26cm. a) Điểm M2 có là trung điểm của đoạn thẳng M1M3 hay không? Vì sao? b) Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M 4; M5; M6; ; M101; M102. Trong các điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao? PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN LỚP 6 Năm học: 1998-1999 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm) Tính một cách hợp lý: a) 37.69 + 31.37 - 37.30 b) –1999.19981998 + 19991999.1998 Bài 2 (4,5 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết: a) 1 2 3 2 x 7 b) (13.3x – 2- 3x) : 2 = 162 (với x2 ) Bài 3 (2 điểm): Tìm số nguyên tố p biết p + 1 cũng là số nguyên tố. Bài 4 (3 điểm): Số học sinh lớp 7A của một trường trung học cơ sở trong khoảng từ 23 đến 45, khi ngồi bàn 3, bàn 4, bàn 5 thừa ra số học sinh lần lượt là 1, 3, 1. Tính số học sinh của lớp đó. Bài 5 (3 điểm): Cho a1; a2; a3; ; a2007 là các số nguyên, b1; b2; b3; ; b2007 là một hoán vị (một cách sắp xếp theo một thứ tự khác) của các số a1; a2; a3; ; a2007. Chứng tỏ rằng (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) là số chẵn. Bài 6 (4,5 điểm): Trên tia Ox vẽ các điểm M1;M2;M3 sao cho OM1 = 12cm; OM2 = 19cm; OM3 = 26cm. a) Điểm M2 có là trung điểm của đoạn thẳng M1M3 hay không? Vì sao? b) Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M 4; M5; M6; ; M101; M102. Trong các điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?
2. ĐÁP ÁN TOÁN 6 Bài 1 (3 điểm) a) 37.69 + 31.37 - 37.30 b) –1999.19981998 + 19991999.1998 = 37.(69 + 31 - 30) 0,5 đ = –1999.1998.10001+ 1999.1998.10001 0,5 đ = 37.70 0,5 đ = (–1999.1998 + 1999.1998).10001 0,5 đ = 2590 0,5 đ = 0.10001 = 0 0,5 đ Bài 2 (4,5 điểm) x – 2 x a) 1 2 3 2 x 7 b) (13.3 - 3 ) : 2 = 162 x – 2 x – 2 + 2 13.3 - 3 = 162 . 2 0,5 đ 1 6 4 x 7 0,25 đ x – 2 2 x – 2 13.3 - 3 . 3 = 324 0,25 đ x – 2 5 4 x 7 0,25 đ (13 - 9).3 = 324 0,25 đ x – 2 4.3 = 324 0,25 đ 4 x 7 5 0,25 đ x – 2 3 = 324 : 4 0,25 đ x – 2 4 x 12 0,25 đ 3 = 81 0,25 đ 3x – 2 = 34 0,25 đ 0,25 đ x 3 x – 2 = 4 0,25 đ => x = 3 0,25 đ x = 6 0,25 đ hoặc x = -3 (loại vì x N ) 0,25 đ Vậy x = 3 0,25 đ Bài 3 (2 điểm): Ta có p và p + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên phải có một số chẵn 0,5 đ Mà p và p + 1 là hai số nguyên tố và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất nên một trong hai số p và p + 1 có một số bằng 2 0,5 đ Vì p > 1 => p + 1 > 2 0,5 đ => p = 2 0,5 đ Bài 4 (3 điểm): Gọi số học sinh của lớp 7A là a (a N; 23 a 45) Lập luận để có 2a – 2 BC(3; 4; 5) 1 đ Nên 2a - 2 = k.BCNN (3; 4; 5) với k là số tự nhiên 0,5 đ Hay 2a - 2 = k.60 => a = k.30 + 1 0,5 đ Vì số học sinh trong khoảng từ 23 đến 45 nên ta có 23 3 0 k 1 45 0,25 đ Từ đó tìm được k = 1 0,5 đ Vậy số học sinh lớp 7A là 31. 0,25 đ Bài 5 (3 điểm): Giả sử tích (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) là số lẻ Suy ra các hiệu a1- b1; a2- b2; a3 - b3; ; a2007 - b2007 (1) cùng lẻ 0,5 đ Mà (1) có số các hiệu là số lẻ (2007 hiệu) nên ta có: (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) là số lẻ (2) 0,5 đ Ta có b1; b2; b3; ; b2007 là một hoán vị của các số a1; a2; a3; ; a2007. 0,25 đ
3. Nên a1 + a2 + a3 + + a2007 = b1+ b2 + b3 + + b2007 0,25 đ => (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) = 0 0,5 đ => (a1- b1) + (a2- b2) + (a3 - b3) + + (a2007 - b2007) là số chẵn (3) 0,25 đ Từ kết quả trên ta thấy (2) mẫu thuẫn với (3) 0,25 đ Do đó điều giả sử (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) là số lẻ là sai 0,25 đ Vậy (a1- b1)(a2- b2) (a3 - b3) (a2007 - b2007) là số chẵn 0,25 đ Bài 6 (4,5 điểm): x oM1 M2 M3 a) (2 điểm) Điểm M2 có là trung điểm của đoạn thẳng M1M3 hay không? Vì sao? Trên tia Ox ta có OM1 M2 nằm giữa M1 và M3 (1) 0,5 đ Tính được M2M3 = 7 cm 0,5 đ Tính được M1M2 = 7 cm 0,5 đ Suy ra M1M2 = M2M3 (2) 0,25 đ Từ (1); (2) => M2 là trung điểm của đoạn thẳng M1M3 0,25 đ b) (2,5 điểm): Giả sử trong các điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 (1) không có ba điểm nào thẳng hàng 0,25 đ Từ một điểm bất kỳ trong (1) ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong (1) 0,5 đ Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 = 10302 đường thẳng 0,5 đ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả chỉ có 10302 : 2 = 5151 (đường thẳng) 0,5 đ Vì trong (1) có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2 0,5 đ Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 – 2 = 5149 (đường thẳng). 0,25 đ * Chú ý: 1, Trong từng câu: + Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tương ứng. + Các bước tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bước liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt được không làm tròn.